INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR - UNESP

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
CAPÍTULO 7 
 
ISOMORFISMO 
A pergunta inicial que se faz neste capítulo e que o motiva é: dada uma transformação linear 
WV:T → , é possível definir uma transformação linear que seja inversa de T, ou seja, existe 
a transformação linear VW:T →−1 ? Serão dados, a seguir, definições e resultados que 
permitam responder a esta pergunta. 
Primeiramente, recordar-se-ão três definições importantes sobre funções reais de uma variável 
real, para, em seguida, estendê-las às transformações lineares. 
Definições: Dados dois subconjuntos não vazios de ℜ , A e B, e uma função f de A em B, 
define-se: 
• ( )xfy = é injetora se ( ) ( ) 2121 xxxfxf =⇒= , ou seja, 2121 xxyy =⇒= . 
Isto significa que cada y pertencente ao conjunto ( )fIm é imagem de um único x do domínio 
de f . Equivalentemente, tem-se: ( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠ . Assim, elementos distintos do 
domínio de f têm imagens diferentes. 
• ( )xfy = é sobrejetora se ( ) ( ) ( )xfy/fDx,fCDy =∈∃∈∀ , isto é: ( ) ( )fCDfIm = . 
Isto significa que todo elemento de B é imagem de pelo menos um x do domínio de f . Aqui, 
( )fD e ( )fCD denotam, respectivamente, o domínio e o contradomínio de f. 
Quando a função é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, diz-se que ela é bijetora. Assim, 
tem-se: a função f de A em B é uma bijeção (ou bijetora) se todo elemento de B é imagem de 
um único elemento de A. 
Apresentam-se, agora, as definições análogas para transformações lineares. 
Definição: Dados dois espaços vetoriais não vazios V e W, diz-se que uma transformação 
linear WV:T → é injetora se ( ) ( ) 2121 vvvTvT =⇒= , Vv,v ∈∀ 21 . Equivalentemente, tem-
se: ( ) ( )2121 vTvTvv ≠⇒≠ . 
Isto significa que cada w pertencente ao conjunto ( )TIm é imagem de um único v do domínio 
de T . Assim, elementos distintos do domínio de T têm imagens diferentes. 
Definição: Dados dois espaços vetoriais não vazios V e W, diz-se que uma transformação 
linear WV:T → é sobrejetora se ( ),TCDw ∈∀ ( ) ( )vTw/TDv =∈∃ , isto é: 
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( ) ( ) WTCDTIm == . 
Isto significa que todo elemento de W é imagem de pelo menos um v do domínio de T . Aqui, 
( )TD e ( )TCD denotam, respectivamente, o domínio e o contradomínio de T. 
Definição: Dados dois espaços vetoriais não vazios V e W, diz-se que uma transformação 
linear WV:T → é bijetora se é injetora e sobrejetora. 
Exemplo: considere-se a transformação linear 22 ℜ→ℜ:T definida por: 
( ) ( ) ( )yx,yxy,xTvT −+== , para todo ( ) 2ℜ∈= y,xv . 
Afirma-se: T é bijetora. 
Para ver que essa afirmação é verdadeira, deve-se mostrar que T é injetora e sobrejetora. 
Tomando-se dois elementos ( )111 y,xv = e ( )222 y,xv = no domínio de T, tem-se: 
( ) ( ) ( )1111111 yx,yxy,xTvT −+== e ( ) ( ) ( )2222222 yx,yxy,xTvT −+== . 
Então: 
( ) ( ) ( ) ( )2222111121 yx,yxyx,yxvTvT −+=−+⇒= , 
de onde se obtém o sistema linear: 



−=−
+=+
2211
2211
yxyx
yxyx
. 
Resolvendo-se esse sistema, conclui-se que 21 xx = e 21 yy = , ou seja, conclui-se que 
21 vv = e, portanto, T é injetora. 
Para mostrar que T é sobrejetora, deve-se mostrar que todo elemento de ( ) 2ℜ=TCD é 
imagem de pelo menos um elemento de ( ) 2ℜ=TD , isto é, deve-se mostrar que ( ) 2ℜ=TIm . 
Um elemento ( )y,xw = pertencente ao conjunto ( )TIm é escrito na forma ( )yx,yxw −+= . 
Então, vem: 
( ) ( )1111 −+= ,y,xv , 
ou seja, o conjunto ( ) ( ){ }1111 −= ,,,B é uma base de ( )TIm . Entretanto, B também é uma base 
do 2ℜ . Logo, ( )( ) ( )2ℜ= dimTImdim . Como ( ) 2ℜ⊂TIm , conclui-se que ( ) 2ℜ=TIm , ou seja, T é 
sobrejetora. 
Sendo injetora e sobrejetora, segue-se que T é bijetora. 
Serão enunciados, a seguir, teoremas que auxiliarão a verificar se uma transformação linear é 
ou não bijetora. 
Teorema 1: Seja WV:T → uma transformação linear. Então T é injetora se, e somente se, 
( ) { }0=TKer . 
Demonstração: 
(i) Condição necessária 
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Hipótese: WV:T → é uma transformação linear injetora 
Tese: ( ) { }0=TKer . 
Seja ( )TKerv ∈ ; então, ( ) 0=vT . Mas, sendo T uma transformação linear, sabe-se que 
( ) 00 =T e, portanto, segue-se que ( ) ( )0TvT = . Mas, por hipótese, T é injetora e, portanto, 
conclui-se que 0=v , ou seja, ( ) { }0=TKer . 
(ii) Condição suficiente 
Hipótese: ( ) { }0=TKer 
Tese: T é injetora. 
Sejam Vv,u ∈ tais que ( ) ( )vTuT = . Então: 
( ) ( ) 0=− vTuT , 
de onde vem que 
( ) 0=− vuT , 
isto é, ( )TKervu ∈− . Como, por hipótese, ( ) { }0=TKer , conclui-se que 0=− vu , ou seja, 
vu = . Portanto, T é injetora. 
Exemplo: considere-se novamente a transformação linear 22 ℜ→ℜ:T , definida por: 
( ) ( ) ( )yx,yxy,xTvT −+== , para todo ( ) 2ℜ∈= y,xv , 
a qual é injetora. Tomando um elemento ( ) ( )TKery,xu ∈= , tem-se: 
( ) 0=uT , ou seja, ( ) 0=y,xT , ressaltando que, neste caso, o elemento “0” que figura no 
segundo membro da igualdade é o vetor ( )000 ,= . Assim, vem: 
( ) 0=y,xT ( ) ( )00,yx,yx =−+⇒ , 
ou seja, 



=−
=+
0
0
yx
yx
 , 
de onde se segue que 0== yx , ou seja, 0=u . Conclui-se, assim, que o único elemento que 
pertence a ( )TKer é o vetor nulo, isto é, ( ) { }0=TKer , ou, equivalentemente, ( ) ( ){ }00,TKer = . 
Teorema 2: Seja WV:T → uma transformação linear injetora. Se { }nv,,v,v L21 são 
vetores LI de V, então ( ) ( ) ( ){ }nvT,,vT,vT L21 são vetores LI de W. 
Demonstração: 
Hipóteses: WV:T → é uma transformação linear injetora; { } Vv,,v,v n ⊂L21 são LI 
Tese: ( ) ( ) ( ){ } WvT,,vT,vT n ⊂L21 são LI 
Considerem-se os escalares K,,, n ∈ααα L21 tais que: 
( ) ( ) ( ) 02211 =+++ nn vTvTvT ααα L ; 
sendo T uma transformação linear, pode-se escrever: 
( ) 02211 =+++ nnvvvT ααα L . 
Como T é injetora, segue-se que: 
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02211 =+++ nnvvv ααα L . 
Sendo { }nv,,v,v L21 LI, segue-se que 021 ==== nααα L e, portanto, 
( ) ( ) ( ){ }nvT,,vT,vT L21 são LI. 
Exemplo: considere-se, uma vez mais, a transformação linear 22 ℜ→ℜ:T , definida por: 
( ) ( ) ( )yx,yxy,xTvT −+== , para todo ( ) 2ℜ∈= y,xv , 
e os vetores ( )211 ,v = e ( )102 −= ,v , os quais são LI. Tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( )132121211 −=−+== ,,,TvT 
e 
( ) ( ) ( ) ( )111010102 ,,,TvT −=+−=−= 
Verificar-se-á que os vetores obtidos ( ) ( )131 −= ,vT e ( ) ( )112 ,vT −= são LI. Para isso, escreve-
se a equação abaixo, onde a e b são escalares: 
( ) ( ) 021 =+ vbTvaT , 
ou seja, 
( ) ( ) ( )001113 ,,b,a =+− , 
ou, ainda, 
( ) ( )003 ,ba,ba =+−+ , 
de onde se obtém o sistema linear 



=+−
=+
0
03
ba
ba
, 
cuja solução é 0== ba . Assim, conclui-se que ( )1vT e ( )2vT são LI. 
Teorema 3: Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, sendo V de dimensão finita, e 
WV:T → uma transformação linear. Então: 
( ) ( )( ) ( )( )TKerdimTImdimVdim += . 
Demonstração: 
Hipóteses: V e W são espaços vetoriais K; V tem dimensão finita; WV:T → é transformação 
linear 
Tese: ( ) ( )( ) ( )( )TKerdimTImdimVdim += 
Supondo-se que ( )( ) 0≠TKerdim , considere-se { } Vu,...,u,u n ⊂21 uma base de ( )TKer . Pode-
se completar esse conjunto, de modo a obter uma base de V. Sejam { } Vv,...,v,v m ⊂21 tais 
que { }mn v,...,v,v,u,...,u,u 2121 é uma base de V. Então, ( ) mnVdim += . Mostrar-se-á que 
( ) ( ) ( ){ }mvT,,.vT,vT L21 é uma base de ( )TIm . 
(a) O conjunto ( ) ( ) ( ){ }mvT,,.vT,vT L21 gera ( )TIm , isto é: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]mvT,,.vT,vTTIm L21=. 
De fato, tomando-se ( )TImw ∈ , existe Vv ∈ tal que ( ) wvT = . 
Sendo um elemento de V, v é uma combinação linear dos vetores da base de V. Logo, existem 
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escalares ( )nii ≤≤1β e ( )mjj ≤≤1α tais que: 
mmnn vvvuuuv αααβββ +++++++= LL 22112211 . 
Então: 
( ) ( )mmnn vvvuuuTvTw αααβββ +++++++== LL 22112211 , 
isto é, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mmnn vTvTvTuTuTuTvTw αααβββ +++++++== LL 22112211 . 
Como os vetores ( )niui ≤≤1 pertencem a ( )TKer , tem-se que ( ) ( )niuT i ≤≤= 10 , e, 
portanto, ( ) ( ) ( )mm vTvTvTw ααα +++= L2211 . 
Conclui-se, assim, que ( ) ( ) ( ){ }mvT,,.vT,vT L21 gera ( )TIm . 
(b) Deve-se mostrar, agora, que 0=iβ ( )ni ≤≤1 , ou seja, que os vetores 
( ) ( ) ( )mvT,,.vT,vT L21 são LI. Para isso tomam-se escalares m,,, ααα L21 tais que: 
( ) ( ) ( ) 02211 =+++ mm vTvTvT ααα L . 
Dessa equação, pode-se escrever: 
( ) 02211 =+++ mmvvvT ααα L , 
de onde se segue que ( )TKervvv mm ∈+++ ααα L2211 e, portanto, é uma combinação linear 
dos elementos da base deste espaço, ou seja, existem escalares ( )mii ≤≤1β tais que: 
mmmm uuuvvv βββααα +++=+++ LL 22112211 , 
ou seja, 
022112211 =−−−−+++ mmmm uuuvvv βββααα LL . 
Como { }mn v,...,v,v,u,...,u,u 2121 é uma base de V, segue-se que ( )nii ≤≤= 10β e 
( )nii ≤≤= 10α . Portanto, ( ) ( ) ( ){ }mvT,,.vT,vT L21 é LI. 
De (a) e (b), segue-se que ( )( ) mTImdim = e vem: 
( )( ) ( )( ) ( )VdimnmTKerdimTImdim =+=+ , 
o que prova o teorema. 
Corolário: Nas hipóteses do teorema anterior, se ( ) ( )WdimVdim = , as seguintes afirmações 
são equivalentes: 
(i) T é sobrejetora 
(ii) T é bijetora 
(iii) T é injetora 
(iv) T leva uma base de V em uma base de W 
Demonstração: 
(i) ⇒ (ii) 
Hipóteses: ( ) ( )WdimVdim = e T é sobrejetora 
Tese: T é bijetora 
De fato, por hipótese, ( ) WTIm = e, portanto, ( )( ) ( ) ( )VdimWdimTImdim == . Pelo teorema 
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anterior, tem-se que ( ) ( )( ) ( )( )TKerdimTImdimVdim += , de onde se conclui que ( )( ) 0=TKerdim , 
ou seja, ( ) { }0=TKer . Pelo Teorema 1, segue-se que T é injetora e, portanto, T é bijetora. 
(ii) ⇒ (iii) 
Hipóteses: ( ) ( )WdimVdim = e T é bijetora 
Tese: T é injetora 
Se T é bijetora, então T é injetora. 
(iii) ⇒ (iv) 
Hipóteses: ( ) ( )WdimVdim = e T é injetora 
Tese: T leva uma base de V em uma base de W 
Seja { }nv,,v,vB L21= uma base de V. Mostrar-se-á que ( ) ( ) ( ){ }nB vT,,vT,vTT L21= é uma 
base de W. 
Uma vez que T é injetora, BT tem tantos vetores quanto B. Dessa forma, resta mostrar que 
BT é LI. Considerem-se, então escalares ( )nii ≤≤1α tais que: 
( ) ( ) ( ) 02211 =+++ nn vTvTvT ααα L . 
Sendo T uma transformação linear, pode-se escrever: 
( ) 02211 =+++ nnvvvT ααα L ; 
sendo T injetora, tem-se que 02211 =+++ nnvvv ααα L e, como { }nv,,v,vB L21= é base 
de V, segue-se que ( )nii ≤≤= 10α . Portanto, ( ) ( ) ( ){ }nB vT,,vT,vTT L21= é base de W. 
(iv) ⇒ (i) 
Hipóteses: ( ) ( )WdimVdim = e T leva uma base de V em uma base de W 
Tese: T é sobrejetora 
De fato, seja Ww ∈ . Tomando uma base { }nv,,v,vB L21= de V, segue-se, por hipótese, que 
( ) ( ) ( ){ }nB vT,,vT,vTT L21= é uma base de W. Logo, w é uma combinação linear dos elementos 
desta base, isto é, existem escalares ( )nii ≤≤1α tais que: 
( ) ( ) ( )nn vTvTvTw ααα +++= L2211 , 
ou seja, 
( )nnvvvTw ααα +++= L2211 . 
Isso mostra que ( )TImw ∈ e, portanto, T é sobrejetora. 
Teorema 4: Se V e W são espaços vetoriais de dimensão finita e WV:T → é uma 
transformação linear, então: 
(a) Se ( ) ( )WdimVdim > , então T não é injetora. 
(b) Se ( ) ( )WdimVdim < , então T não é sobrejetora. 
Demonstração: 
(a) Hipótese: ( ) ( )WdimVdim > 
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Tese: T não é injetora 
Demonstrar-se-á a seguinte afirmação equivalente à (a): “Se T é injetora, então 
( ) ( )WdimVdim ≤ ”. De fato, têm-se as seguintes equivalências: 
T é injetora ( ) { }0=⇔ TKer ( )( ) 0=⇔ TKerdim . 
Por outro lado, pelo Teorema 3, tem-se: 
( ) ( )( ) ( )( )TKerdimTImdimVdim += . 
Assim, segue-se que ( ) ( )( )TImdimVdim = . 
Como ( )( ) ( )WdimTImdim ≤ , segue-se que ( ) ( )WdimVdim ≤ , 
o que demonstra a afirmação. 
(b) Hipótese: ( ) ( )WdimVdim < 
Tese: T não é sobrejetora 
De modo análogo, demonstrar-se-á a seguinte afirmação equivalente: “Se T é sobrejetora, 
então ( ) ( )WdimVdim ≥ . De fato, sendo T sobrejetora, tem-se que ( ) WTIm = e, portanto, 
( )( ) ( )WdimTImdim = . 
Do Teorema 3, tem-se: 
( ) ( )( ) ( )( )TKerdimTImdimVdim += 
ou seja, 
( ) ( ) ( )( ) ( )WdimTKerdimWdimVdim ≥+= , 
O que demonstra a afirmação. 
As afirmações (a) e (b) do Teorema 4 asseguram o seguinte resultado: 
Teorema 5: Se uma transformação linear WV:T → é bijetora, então ( ) ( )WdimVdim = . 
Exemplos: 
1) Considere-se novamente a transformação linear 22 ℜ→ℜ:T definida por: 
( ) ( ) ( )yx,yxy,xTvT −+== , para todo ( ) 2ℜ∈= y,xv . Mostrar-se-á que T é bijetora, 
utilizando-se os resultados dos teoremas anteriores. 
Sendo 2ℜ== WV , tem-se que ( ) ( )WdimVdim = . Seja ( ) 2ℜ∈= y,xv ; para que esse elemento 
pertença ao núcleo de T, deve-se ter ( ) 0=vT , isto é: 
( ) ( ) ( ) ( )00,yx,yxy,xTvT =−+== , 
ou seja, 



=−
=+
0
0
yx
yx
, 
de onde se obtém que 0== yx . Portanto, ( ) { }0=TKer ; assim, pelo Teorema 1, segue-se que 
T é injetora. Pelo Corolário do Teorema 3, conclui-se que T é bijetora. 
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2) Seja ( ) ( )ℜ→ℜ 22 MP:T uma transformação linear definida por: 
( ) 





−
−
=++
21
102
210 0
0
aa
aa
tataaT . 
Pergunta-se: 
(a) T é sobrejetora? 
(b) T é injetora? 
(c) Quais são as dimensões dos espaços ( )TKer e ( )TIm ? 
(a) Uma vez que ( )( ) ( )( )ℜ<ℜ 22 MdimPdim , conclui-se, pelo Teorema 4, que T não é sobrejetora. 
(b) Seja ( ) 2210 tataatp ++= um elemento de ( )TKer . Então, ( )( ) 0=tpT , isto é: 
( ) 





=





−
−
=++
00
00
0
0
21
102
210
aa
aa
tataaT , 
de onde vem que: 



=−
=−
0
0
21
10
aa
aa
, 
resultando em 210 aaa == . Logo, todo elemento ( ) ( )TKertp ∈ é da forma: 
( ) ( )202000 1 ttatataatp ++=++= . 
Portanto, { }21 tt ++ é base de ( )TKer , isto é, ( )( ) 1=TKerdim . Logo, pelo Teorema 1, conclui-
se que T não é injetora. 
(c) Conforme se viu em (b), ( )( ) 1=TKerdim . Para determinar ( )( )TImdim , utiliza-se a 
igualdade: 
( )( ) ( )( ) ( )( )TImdimTKerdimPdim +=ℜ2 ; 
como ( )( ) 32 =ℜPdim e ( )( ) 1=TKerdim , segue-se que ( )( ) 2=TImdim . 
Definição: Dados dois espaços vetoriais não vazios V e W, diz-se que a transformação linear 
WV:T → é um isomorfismo se é bijetora. 
Observação: quando WV = , ou seja, VV:T → é um operador linear bijetor, então T é 
chamado de um automorfismo. 
Definição: Seja WV:T → um isomorfismo. Então, a aplicação inversa VW:T →−1 é 
também um isomorfismo tal que IdTTTT == −− oo 11 . 
Observação: quando um operador linear VV:T → admite o operador inverso 1−T , diz-se que 
T é inversível, ou invertível, ou regular, ou não singular. 
Exemplos: 
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1) Considere-se o operador linear 
( ) ( )yx,yxy,x
:T
+−
ℜ→ℜ
32
22
a
. 
Mostrar que T é inversível e determinar 1−T . 
Para mostrar que T é inversível, mostrar-se-á queé bijetora. 
O núcleo de T é constituído dos elementos ( )y,x tais que ( ) ( )00,y,xT = , ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( )003200 ,yx,yx,y,xT =+−⇒= , 
isto é, 



=+
=−
03
02
yx
yx
. 
Esse sistema apresenta apenas a solução trivial ( )00, . Conclui-se, assim, que ( ) ( ){ }00,TKert = 
e, portanto, T é injetora. 
Por outro lado, tem-se: 
( )( ) ( ) ( )( ) 2022 =−=−ℜ= TKerdimdimTImdim . 
De acordo com o Corolário do Teorema 3, segue-se que T é bijetora e, portanto, admite 
inversa. 
Determinar-se-á, agora, 1−T . Para isso, seja ( ) ( )b,ay,xT =−1 . Então: 
( ) ( ) ( )ba,bab,aTy,x +−== 32 , 
de onde se segue que: 



=+
=−
yba
xba
3
2
, 
ou seja, 



+−=
=−
yxb
xba
37
2
, 
isto é, 






+=
+−=
yxa
yxb
7
2
7
1
7
1
7
3
. 
Portanto: 
( ) 





+−+=− yx,yxy,xT
7
1
7
3
7
2
7
11 . 
2) Seja ( ) 32 ℜ→ℜP:T a transformação linear definida por: 
( ) ( )21021102210 aaa,aa,aatataaT ++−+=++ . 
Verificar se T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determinar o isomorfismo inverso. 
Determinar-se-á o núcleo de T, para verificar se T é injetora. Considere-se, assim, um 
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elemento 2210 tataa ++ de ( )TKer . Então, 
( ) 02210 =++ tataaT , 
ou seja, 
( ) ( )0002102110 ,,aaa,aa,aa =++−+ . 
Obtém-se, assim, o sistema linear: 





=++
=−
=+
0
0
0
210
21
10
aaa
aa
aa
, 
do qual se conclui que 0aaa 210 === . Logo ( ) { }0=TKer . Pelo Teorema 1, segue-se que T é 
injetora. 
Uma vez que ( )( ) ( ) 332 =ℜ=ℜ dimPdim , segue-se, do Corolário do Teorema 3, que T é 
sobrejetora e, assim, T é um isomorfismo. 
Quer-se determinar, agora, o isomorfismo inverso ( )ℜ→ℜ− 231 P:T . Como o contradomínio 
de 1−T é o espaço vetorial ( )ℜ2P , tem-se: 
( ) 22101 tataaz,y,xT ++=− . (1) 
Então: 
( )( ) ( )22101 tataaTz,y,xTT ++=− , 
ou seja, 
( ) ( )22101 tataaTz,y,xTT ++=−o 
Sendo T e 1−T isomorfismos inversos, tem-se que IdTT =−1o e, portanto, 
( ) ( )2210 tataaTz,y,x ++= . 
Pela definição de T, vem: 
( ) ( )2102110 aaa,aa,aaz,y,x ++−+= , 
de onde se segue que 





++=
−=
+=
210
21
10
aaaz
aay
aax
. 
Resolvendo-se esse sistema para obter os coeficientes 0a , 1a e 2a , vem: 





+−=
++−=
−−=
zxa
zyxa
zyxa
2
1
0 2
. 
Substituindo-se esses coeficientes na expressão de 1−T dada por (1), obtém-se, finalmente o 
isomorfismo inverso procurado: 
( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 tzxtzyxzyxz,y,xT +−+++−+−−=− . 
Observação: nos exemplos anteriores, determinou-se o núcleo de T, isto é, ( )TKer , para 
verificar se a transformação linear era ou não injetora. Um erro muito comum que se observa 
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
é considerar ( )TKer contido no espaço de chegada da transformação. Ressalta-se que ( )TKer é 
um subespaço do domínio da transformação. No exemplo anterior, tem-se ( ) ( )ℜ⊂ 2PTKer . 
Assim, os elementos de ( )TKer são polinômios de grau menor ou igual a 2, os quais são 
levados, por T, no vetor nulo 30 ℜ∈ . 
3) Considere-se o operador linear 33 ℜ→ℜ:T , com as seguintes características: 
( ) ( )001012 ,,,T =− , ( ) ( )100101 −= ,,,,T e ( ) ( )11011 ,,,,T −=−− . Determinar o operador inverso 1−T , 
sabendo-se que ele existe. 
Pela definição de operador inverso, tem-se: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )





−=−
=−
−=
−
−
−
111110
101100
012001
1
1
1
,,,,T
,,,,T
,,,T
 (1) 
Observe-se que ( ) ( ) ( ){ }110100001 ,,,,,,, −− é uma base de 3ℜ e que se conhece a imagem de 
cada um desses vetores pela aplicação 1−T . O que se quer é calcular ( )z,y,xT 1− . 
Com esse objetivo, expressa-se ( )z,y,x como combinação linear dessa base, isto é: 
( ) ( ) ( ) ( )110100001 ,,c,,b,,az,y,x −+−+= , 
ou seja: 
( ) ( )cb,c,az,y,x +−−= , 
de onde se segue: 





+−=
−=
=
cbz
cy
ax
, 
e, portanto, 





−−=
−=
=
yzb
yc
xa
. 
Então, tem-se: 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )110100001 ,,y,,zy,,xz,y,x −−+−−−+= . 
Portanto, tem-se: 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]11010000111 ,,y,,zy,,xTz,y,xT −−+−−−+= −− . 
Uma vez que 1−T é uma transformação linear, vem: 
( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ]110100001 1111 ,,yT,,zyT,,xTz,y,xT −−+−−−+= −−−− , 
ou, ainda, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )110100001 1111 ,,Ty,,Tzy,,xTz,y,xT −−+−−−+= −−−− . 
De (1), vem: 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1111010121 ,,y,,zy,,xz,y,xT −−+−−+−=− , 
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de onde se conclui que 
( ) ( )zy,yx,zyxz,y,xT −−+−−−=− 2221 , 
que é a expressão de 1−T que se procurava. 
4) Seja 22 ℜ→ℜ:T definida por: ( ) ( )yx,yxy,xT 32 +−= . Verificar se T é um automorfismo. 
Observe-se, inicialmente, que o enunciado não afirma que T é uma transformação linear. 
Assim, é necessário, antes de utilizar os resultados enunciados anteriormente, que se faça 
essa verificação, que será deixada a cargo do leitor. 
Uma vez que se tenha mostrado que T é uma transformação linear, verificar-se-á se T é 
bijetora. 
Para verificar se T é injetora, determina-se seu núcleo; seja ( ) ( )TKery,x ∈ . Então: 
( ) ( )00,y,xT = , 
ou seja, 
( ) ( )0032 ,yx,yx =+− , 
de onde vem que: 



=+
=−
03
02
yx
yx
 
A resolução desse sistema linear leva à solução 0== yx e, portanto, conclui-se que 
( ) { }0=TKer , o que acarreta que T é injetora. Como os espaços de saída e de chegada de T são 
iguais, eles têm a mesma dimensão; conclui-se, assim, que T é sobrejetora e, portanto, 
bijetora. Assim, T é um automorfismo. 
Definição: Dois espaços vetoriais V e W são isomorfos se existir um isomorfismo entre eles. 
 
Exemplos: 
1) O espaço vetorial ( ){ }ℜ∈=ℜ y,x/y,x2 é isomorfo ao espaço vetorial dos números 
complexos { }ℜ∈+= y,x/yixC , pois, por exemplo, a transformação linear 
( ) yixy,x
:T
+
→ℜ
a
C2 
é um isomorfismo, ou seja, esses espaços são isomorfos. A aplicação T transforma 2ℜ no 
plano complexo C . 
2) O espaço vetorial 2ℜ é isomorfo ao subespaço ( ){ }03 =ℜ∈= z/z,y,xW do 3ℜ . Observe-
se que W é o plano 3ℜ⊂Oxy , chamado plano horizontal. 
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De fato, a aplicação linear 
( ) ( )0
2
,y,xy,x
W:T
a
→ℜ 
é bijetora, pois, a cada vetor ( ) 2ℜ∈y,x corresponde um único vetor ( ) W,y,x ∈0 e, 
reciprocamente. Assim, T é um isomorfismo e, portanto, 2ℜ e W são isomorfos. Denota-se: 
W≅ℜ2 . 
Teorema 6: Dois espaços vetoriais V e W sobre um mesmo corpo K são isomorfos se, e 
somente se, eles têm a mesma dimensão. 
Demonstração: 
(i) Condição necessária 
Hipótese: V e W são espaços vetoriais sobre K isomorfos 
Tese: V e W têm a mesma dimensão 
Sendo V e W isomorfos, existe um isomorfismo WV:T → entre eles. Se T é bijetora, então, 
pelo Teorema 5, segue-se que ( ) ( )WdimVdim = . 
(ii) Condição suficiente 
Hipótese: ( ) ( )WdimVdim = 
Tese: V e W são isomorfos 
É imediato, pois, se ( ) ( )WdimVdim = , então existe um isomorfismo entre V e W e, portanto, 
esses espaços são isomorfos. 
Exemplo: Sejam W e U subespaços dos espaços vetoriais reais 3ℜ e ( )ℜ2P , respectivamente, 
definidos por: 
( ){ }023 =+−ℜ∈= zyx/z,y,xW e ( ){ }021022210 =−+ℜ∈++= aaa/PtataaU . 
(a) Mostrar W e U são isomorfos. 
b) Determinar um isomorfismo entre W e U. 
(a) Pelo Teorema6, para mostrar que W e U são isomorfos, basta mostrar que eles têm a 
mesma dimensão. Pode-se escrever: 
( ){ }ℜ∈∀ℜ∈−= zey,z,y,zyW 32 . 
Como ( ) ( ) ( )1010122 ,,z,,yz,y,zy −+=− , então o conjunto ( ) ( ){ }101012 ,,,,,B −= forma um 
sistema de geradores LI de W, ou seja, B é uma base de W. Logo, ( ) 2=Wdim . 
Por outro lado, o subespaço U pode ser escrito na forma: 
( ){ }ℜ∈∀+++−= 2122121 a,a,tataaaU . 
Tem-se: 
( ) ( ) ( )22122121 11 tatatataaa +++−=+++− ; 
então o conjunto { }211 t,tC ++−= forma um sistema de geradores LI de U, ou seja, C é uma 
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base de U. Logo, ( ) 2=Udim . 
Como ( ) ( ) 2== UdimWdim , conclui-se, pelo Teorema 6, que U e W são isomorfos. 
(b) Para se determinar um isomorfismo entre W e U, deve-se determinar uma transformação 
linear bijetora UW:T → . 
Observe-se que todo vetor de ( ) Wz,y,x ∈ é gerado pelos vetores da base B, ou seja: 
( ) ( ) ( )101012 ,,z,,yz,y,x −+= . 
Fazendo-se: 
( ) t,,T +−= 1012 e ( ) 21101 t,,T +=− , 
tem-se: 
( ) ( ) ( )( )101012 ,,z,,yTz,y,xT −+= , 
isto é, 
( ) ( ) ( )101012 ,,zT,,yTz,y,xT −+= , 
ou seja, 
( ) ( ) ( )211 tztyz,y,xT +++−= . 
Obtém-se, assim, a aplicação ( ) ( ) 2ztytzyz,y,xT +++−= , a qual é uma transformação 
linear, pois: 
• para quaisquer vetores ( )1111 z,y,xw = e ( )2222 z,y,xw = pertencentes a W, tem-se: 
( ) ( ) =+++=+ 21212121 zz,yy,xxTwwT ( ) ( ) ( ) =++++++−−= 221212121 tzztyyzzyy 
( ) ( ) ( ) ( )212222221111 wTwTtztyzytztyzy +=+++−++++−= 
• para qualquer vetor ( )z,y,xw = de W e para qualquer número real α , tem-se: 
( ) ( ) ( ) =+++−== 2ztytzyz,y,xTwT αααααααα 
( )( ) ( )wTztytzy αα =+++− 2 
Determina-se, agora, o ( )TKer . Seja um vetor ( ) ( )TKerz,y,x ∈ . Então: 
( ) 2000 ttz,y,xT ++= , 
isto é, 
( ) 22 000 ttztytzy ++=+++− , 
de onde se segue que: 





=
=
=+−
0
0
0
z
y
zy
. 
Como todo vetor de W deve satisfazer a condição zyx −= 2 , conclui-se que 0=x . Portanto, 
tem-se que ( ) ( ){ }000 ,,TKer = . Pelo Teorema 1, conclui-se que T é injetora e, portanto, tem-se 
que ( ) ( )UdimWdim = , o que acarreta que T e bijetora, pelo Corolário do Teorema 3. Portanto, T 
é um isomorfismo. 
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Exercícios Propostos 
1) Seja ( )cba,dc,cb,ba
dc
ba
T +++++=





 uma transformação linear. Mostrar que T é um 
isomorfismo e determinar o isomorfismo inverso. 
R.: ( ) 





−++−
−++−
=−
tzxtx
tyxty
t,z,y,xT 1 
2) Seja ( ) ( )y,zx,zxz,y,xT −+= um operador linear. Mostrar que T é um automorfismo e 
determinar o automorfismo inverso. R.: ( ) 




 −+
=−
22
1 yx,z,
yx
z,y,xT 
3)Dada a transformação linear ( ) ( )z,zy,yx,xz,y,xT −−= . Determinar ( )( )TImdim e 
( )( )TKerdim . T é um isomorfismo? Por quê? 
R.: ( )( ) 0=TKerdim ; ( )( ) 3=TImdim ; T não é um isomorfismo 
4) Se ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 tzytyxzyxz,y,xT −+−+−+=− é o isomorfismo inverso de T, determinar T 
e seus espaços de saída e de chegada. 
R.: ( ) 




 −−−−−
=++
2
32
2
2
2
210210202
210
aaa
,
aaa
,
aa
tataaT ; ( ) 32 ℜ→ℜP:T 
5) Sabendo que T é um automorfismo do 2ℜ e que ( ) ( )1110 −= ,,T e ( ) 





=−
3
2
3
1
011 ,,T , 
determinar as expressões de T e de 1−T . 
R.: ( ) ( ) ;yx,yxy,xT −+= 2 ( ) 




 −+
=−
3
2
3
1 yx,
yx
y,xT