lista.TransformaçãoLinear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
5a Lista de Exercícios – Álgebra Linear 
1.Seja T : IR
3
 → IR3 a função definida por 
 T ( x , y , z ) = (x + 2y + 3z , 4x + 5y + 6z , 5x + 7y + 9z ). 
1. Prove que T é um operador linear. 
2. Exiba uma base de NT 
3. Determine uma base de ImT 
4. Identifique geometricamente NT e ImT. 
 
2. Seja T o operador linear sobre IR
3
 definido por 
T ( x , y , z ) = ( x + y , x + y , x – z ) 
a. Exiba uma base de NT e ImT. 
b. Identifique geometricamente NT e ImT. 
 
3.Seja }0;),,({ 3 =++∈= zyxRzyxW 
a. Mostre que W é um subespaço de R
3
 e exiba uma base de W. 
b. Defina um operador sobre R
3
 cujo núcleo seja W e exiba uma base da imagem deste 
operador. 
c. Defina um operador sobre R
3
 cuja Imagem seja W e exiba uma base do núcleo deste 
operador. 
 
4.Seja T uma função de R
3
 em R
2
 definida por T(x, y, z) = (x – y +z, 2x + z) 
a. Mostre que T é uma transformação linear de R
3
 em R
2
. 
b. Mostre que )}1,0,1(),1,1,0(),0,1,1{(=β é uma base de R3 e )}1,0(),1,1{( −=δ é uma base 
de R
2
. 
c. Encontre a matriz de T em relação ao par de bases β e δ . 
d. Encontre uma base da imagem da transformação transposta de T. 
 
5.Mostre que a transformação A : R
3
 → R2 dada por A ( x, y, z ) = ( x - y, 3x – y + z) é 
uma transformação linear. Encontre a matriz associada à transformação A com relação à base 
canônica. Encontre uma base para o núcleo e para a imagem da transformação A. 
 
6- Seja P3 o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3, e 
 T: P3 → P3 dada por T( f) a f
 ‘
 (derivada)
 
 
a) Mostre que T é uma transformação linear. 
b) Determine NT e ImT e encontre uma base para cada um destes subespaços 
 vetoriais. 
 
 
7-Sejam α = {(1,0,0),(-1,-1,0),(0,-1,-1)} e β = {(1,0),(0,1)} bases do R3 e R2 
 respectivamente e [ ] 





=
210
011α
βT . 
a) Ache T. 
b) Ache uma base γ de R2 tal [ ] 





−−
=
210
011α
γT . 
 
8.Seja T : IR
3
 → IR2 uma transformação linear e B={v1, v2, v3}, onde v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) e 
v3=(1,1,1). Se T(v1)= (1,1), T(v2)= (2,0) e T(v3)= (1,3) encontre T(1,2,3) 
 
9. Encontre o núcleo e a imagem do operador linear T : IR
3
 → IR3 dado por T(x,y,z) = 
 (x + 2y - z, y + 2z, x + 3y + z). Verifique se (1,1,1) pertence à imagem de T. 
 
10. Verifique se a transformação T : IR
3
 → IR2 tal que T(1,0,0)= (1,2), T(0,1, 0) = (2,1) e 
T(0,0,1)= (0,1) é um isomorfismo. 
11. Encontre uma transformação linear T : IR
3
 → IR4 cujo núcleo é o conjunto 
{(x, y, z) � IR
3
 tal que z = x – y}.