Limites do Equilíbrio de Nash em Jogos Sequenciais

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EQUILÍBRIO PERFEITO 
SEQUÊNCIA NAS DECISÕES 
3 
O JOGO DA ENTRADA 
LIMITES DO CONCEITO DE 
EQUILÍBRIO 
Jogo da entrada 
em forma estratégica 
Dominante 
Luta Acomoda 
Desafiante Entra -1, 2 3, 7 
Não entra 0, 10 0, 10 
 Em grupo: 
1. Quais são os equilíbrios de Nash deste jogo? 
2. Há algo “estranho” com algum deles? O que? 
Jogo da entrada 
em forma estratégica 
Dominante 
Luta Acomoda 
Desafiante Entra -1, 2 3, 7 
Não entra 0, 10 0, 10 
LIMITES DO CONCEITO DE 
EQUILÍBRIO 
 Parece razoável concluir que a estratégia 
{Luta} nunca será empregada pela Dominante 
 Obtivemos um equilíbrio que não parece 
realista... 
 ...Por que isto ocorre? 
PRECISAMOS REFINAR O 
CONCEITO DE EQUILÍBRIO 
 Porque o equilíbrio de Nash apenas exige que 
as estratégias empregadas pelos jogadores 
sejam as melhores respostas umas às outras 
 …supondo que as estratégias dos jogadores 
não são afetadas pelo que acontece fora do 
equilíbrio 
REFINANDO O EQUILÍBRIO 
 Conceito de equilíbrio de Nash tende a gerar 
um número “excessivo” de equilíbrios em um 
jogo sequencial de informação perfeita 
 Precisamos de novo conceito de equilíbrio… 
 
SUBJOGOS 
 Def.: um subjogo é qualquer parte de um 
jogo na forma estendida que obedece às 
seguintes condições: 
1. Sempre se inicia num único nó de decisão 
2. Sempre contém todos os nós que se seguem ao nó no 
qual ele se iniciou 
3. Se contiver qualquer nó de um conjunto de informação, 
ele conterá todos os nós do conjunto de informação 
SUBJOGOS 
 O jogo que se inicia em D é um subjogo? 
1. Inicia-se num único nó de decisão? 
2. Contém todos os nós que se seguem ao nó em que se iniciou? 
3. Se contiver qualquer nó de um conjunto de informação, contém todos 
os nós do conjunto de informação? 
SUBJOGOS 
 O jogo que se inicia em D é um subjogo? 
1. Inicia-se num único nó de decisão? 
2. Contém todos os nós que se seguem ao nó em que se iniciou? 
3. Se contiver qualquer nó de um conjunto de informação, contém todos 
os nós do conjunto de informação? 
 E o jogo que se inicia nos outros nós? 
 E o jogo tomado como um todo? 
 Todo jogo sequencial na forma estendida, tomado como 
um todo, sempre satisfará as 3 condições 
SUBJOGOS 
 Em grupo: 
1. Indicar todos os subjogos presentes nos dois jogos 
acima 
O EQUILÍBRIO DE NASH PERFEITO 
EM SUBJOGOS 
 Def.: uma combinação de estratégias é um equilíbrio 
de Nash perfeito em subjogos se ela preenche, 
simultaneamente, as duas condições seguintes: 
a) É um equilíbrio de Nash para o jogo na sua totalidade 
b) É um equilíbrio de Nash para cada subjogo 
 Intuição: que a combinação de estratégias em questão 
seja a melhor resposta em todas as situações possíveis 
do jogo 
O EQUILÍBRIO DE NASH PERFEITO 
EM SUBJOGOS 
 Como achar os “equilíbrios perfeitos”? 
 Primeiro método: 
1. Escrever o jogo sequencial na forma estratégica 
2. Encontrar os equilíbrios de Nash (os quais serão 
candidatos a equilíbrios perfeitos) 
3. Identificar todos os subjogos do jogo 
4. Testar se cada um dos ENs é também um EN em 
cada um dos subjogos 
O EQUILÍBRIO DE NASH PERFEITO 
EM SUBJOGOS 
SJ1 SJ2 
O EQUILÍBRIO DE NASH PERFEITO 
EM SUBJOGOS 
1. ENs são também ENs no SJ2 (jogo completo)? 
 (Entra, Acomoda): sim 
 (Não entra, Luta): sim 
 Um equilíbrio de Nash sempre é um equilíbrio no jogo 
sequencial como um todo 
2. ENs são também ENs no SJ1? 
 (Entra, Acomoda): sim 
O EQUILÍBRIO DE NASH PERFEITO 
EM SUBJOGOS 
1. ENs são também ENs no SJ2 (jogo completo)? 
 (Entra, Acomoda): sim 
 (Não entra, Luta): sim 
 Um equilíbrio de Nash sempre é um equilíbrio no jogo 
sequencial como um todo 
2. ENs são também ENs no SJ1? 
 (Entra, Acomoda): sim  Equilíbrio perfeito 
O EQUILÍBRIO DE NASH PERFEITO 
EM SUBJOGOS 
1. ENs são também ENs no SJ2 (jogo completo)? 
 (Entra, Acomoda): sim 
 (Não entra, Luta): sim 
 Um equilíbrio de Nash sempre é um equilíbrio no jogo sequencial 
como um todo 
2. ENs são também ENs no SJ1? 
 (Entra, Acomoda): sim  Equilíbrio perfeito 
 (Não entra, Luta): Se a desafiante não entra, a resposta é 
irrelevante 
 
 
O EQUILÍBRIO DE NASH PERFEITO 
EM SUBJOGOS 
1. ENs são também ENs no SJ2 (jogo completo)? 
 (Entra, Acomoda): sim 
 (Não entra, Luta): sim 
 Um equilíbrio de Nash sempre é um equilíbrio no jogo sequencial 
como um todo 
2. ENs são também ENs no SJ1? 
 (Entra, Acomoda): sim  Equilíbrio perfeito 
 (Não entra, Luta): não oferece a melhor resposta para a 
Dominante no caso de a Desafiante entrar 
 Portanto, não é equilíbrio de Nash no subjogo SJ2  não é equilíbrio 
perfeito 
INDUÇÃO REVERSA 
 Existe procedimento alternativo para selecionar 
entre os vários ENs de um jogo sequencial: a 
indução reversa 
 Jogo é analisado de trás para frente 
 Uma vez identificado o ramo da árvore que 
conduz ao melhor resultado, apague os demais 
ramos... e simplifique o jogo 
INDUÇÃO REVERSA 
 Qual opção da Dominante – que é a última a jogar – não é 
ótima? 
 
INDUÇÃO REVERSA 
 Qual opção da Dominante – que é a última a jogar –não é ótima? 
 {Luta} 
 Portanto, podemos “apagar” este ramo... 
INDUÇÃO REVERSA 
(-1, 2) 
(3, 7) 
(0, 10) 
Desafiante 
Entra 
Não entra 
Luta 
Acomoda 
Dominante 
Na realidade, o 
outro ramo 
(Acomoda) torna-se 
redundante… 
TEORIA DOS JOGOS - PROF. WALTENBERG 25 
INDUÇÃO REVERSA 
(3, 7) 
(Dominante 
Acomoda) 
(0, 10) 
Desafiante 
Entra 
Não entra 
Podemos simplificar o 
jogo e apresentá-lo 
agora na forma ao lado 
 
Se nos focarmos nas 
opções apresentadas à 
Desafiante, 
poderemos eliminar 
mais um ramo 
Dominante 
INDUÇÃO REVERSA 
(3, 7) 
(Dominante 
Acomoda) 
(0, 10) 
Desafiante 
Entra 
Não entra 
Dominante 
INDUÇÃO REVERSA 
(3, 7) 
(Dominante 
Acomoda) Desafiante 
Entra 
Assim, pelo método de 
indução reversa, 
chegamos ao EN 
perfeito em 
subjogos: (Entra, 
Acomoda) 
Dominante 
INDUÇÃO REVERSA 
 Resultado anterior não é mera coincidência: 
 “Em um jogo sequencial de informação perfeita, uma 
combinação de estratégias é um equilíbrio perfeito em 
subjogos se, e somente se... 
 ... essa combinação é selecionada como um equilíbrio de 
Nash por intermédio de indução reversa.” 
 Estudo do equilíbrio perfeito nos permite identificar quando 
ameaças (ou promessas) de outros jogadores podem ou 
não ser levadas a sério 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 Vamos imaginar que, antes de a Desafiante decidir se entra ou não, o 
presidente da Dominante ameace: 
“Faremos tudo o que estiver a nosso alcance para competir ferozmente [isto é: 
lutar] com qualquer concorrente que se aventure no nosso mercado. Não é à 
toa que nossa Empresa chama-se Dominante.” 
 Você é o presidente da Desafiante: leva a sério a ameaça? 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 Ameaças, assim como promessas... 
 ... para serem críveis, devem fazer parte de um 
equilíbrio perfeito 
 Se o jogador obtiver recompensa maior ao 
deixar de cumprir promessas, então estas não 
serão críveis 
 Vejamos exemplo... 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,9 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
c 
d 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,9 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher a. 
Promessa é crível? 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,9 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher a.Promessa é crível? 
Sim! (9>5) 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,9 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher a. 
Promessa é crível? 
Sim! 
 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher b 
Promessa é crível? 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,9 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher a. 
Promessa é crível? 
Sim! 
 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher b 
Promessa é crível? 
Sim! (6>4) 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,9 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
Portanto, Jogador 1 
deveria escolher a 
ação ??? 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,9 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
Portanto, Jogador 1 
deveria escolher a 
ação b (7>5) 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,3 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
Alteremos o jogo… 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,3 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher a. 
Promessa é crível? 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,3 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher a. 
Promessa é crível? 
Não! Se Jogador 1 
escolhe a, então 
Jogador 2 tem ganho 
maior escolhendo d. 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,3 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher a. 
Promessa é crível? 
Não! Se Jogador 1 
escolhe a, então 
Jogador 2 tem ganho 
maior escolhendo d. 
 
O que o Jogador 1 
deveria fazer? 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
5,3 
5,5 
7,6 
5,4 
1 
2 
2 
a 
b 
c 
d 
O Jogador 2 afirma 
que se compromete a 
escolher c se 
Jogador 1 escolher a. 
Promessa é crível? 
Não! Se Jogador 1 
escolhe a, então 
Jogador 2 tem ganho 
maior escolhendo d. 
 
O que o Jogador 1 
deveria fazer? 
Jogar b 
c 
d 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 Jogo da regulação, com dois jogadores: 
1. Empresa de serviços de infra-estrutura 
 Ex: operadora das barcas, de ônibus... 
 Decide volume e tipo de investimento que fará 
a) Investimento elevado  serviço de boa 
qualidade 
b) Baixo investimento  insuficiente para 
atender demanda 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 Jogo da regulação, com dois jogadores: 
2. Regulador 
 Decide a tarifa cobrada aos usuários 
a) Tarifa elevada  remunera o investimento 
feito pela empresa 
b) Baixa tarifa  insuficiente para remunerar 
adequadamente o investimento 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
Podemos considerar o 
contrato de concessão 
com a empresa como 
uma promessa: 
investindo alto, 
receberia tarifas altas 
 
(Recompensas 
expresam preferências 
dos jogadores em 
relação às situações 
de cumprimento ou 
não da promessa) 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
Podemos considerar o 
contrato de concessão 
com a empresa como 
uma promessa: 
investindo alto, 
receberia tarifas altas 
 
Promessa é crível? 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
Podemos considerar o 
contrato de concessão 
com a empresa como 
uma promessa: 
investindo alto, 
receberia tarifas altas 
 
Promessa é crível? 
Para responder, 
precisamos encontrar 
equilíbrio(s) 
perfeito(s)… 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 Em grupo, encontrar equilíbrios perfeitos: 
1. Escrever o jogo sequencial na forma estratégica 
2. Encontrar os equilíbrios de Nash (os quais serão 
candidatos a equilíbrios perfeitos) 
3. Identificar todos os subjogos do jogo 
4. Testar se cada um dos ENs é também um EN em 
cada um dos subjogos 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 
Jogo 
da 
regulação 
Regulador 
Remunera, 
Remunera 
Remunera, 
Não 
remunera 
Não 
remunera, 
Remunera 
Não 
remunera, 
Não 
remunera 
Empresa 
de infra-
estrutura 
Investimento 
elevado 
2, 1 2, 1 -2, 2 -2, 2 
Baixo 
investimento 
1, -2 -1, -1 1, -2 -1, -1 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
 Há 3 subjogos 
SJ1 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
 Há 3 subjogos 
SJ1 
SJ2 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
 Há 3 subjogos 
SJ1 
SJ2 
SJ3 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 (Baixo investimento, (Não remunera, Não 
remunera)) é EN em cada um dos três 
subjogos? 
1. Sabemos que é EN em SJ3, que é o jogo 
tomado como um todo 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 (Baixo investimento, (Não remunera, Não 
remunera)) é EN em cada um dos três 
subjogos? 
1. Sabemos que é EN em SJ3, que é o jogo 
tomado como um todo 
2. É a melhor resposta do Regulador no SJ1? 
 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
Recompensas do 
Regulador: 
•Remunera: 1 
•Não remunera: 2 
Portanto… 
SJ1 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 (Baixo investimento, (Não remunera, Não 
remunera)) é EN em cada um dos três 
subjogos? 
1. Sabemos que é EN em SJ3, que é o jogo 
tomado como um todo 
2. É a melhor resposta do Regulador no SJ1? 
 Sim 2 > 1 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 (Baixo investimento, (Não remunera, Não 
remunera)) é EN em cada um dos três 
subjogos? 
1. Sabemos que é EN em SJ3, que é o jogo 
tomado como um todo 
2. É a melhor resposta do Regulador no SJ1 
3. É a melhor resposta do Regulador no SJ2? 
60 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remuneraRemunera 
Remunera 
SJ2 
Recompensas do 
Regulador: 
•Remunera: -2 
•Não remunera: -1 
Portanto… 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 (Baixo investimento, (Não remunera, Não 
remunera)) é EN em cada um dos três 
subjogos? 
1. Sabemos que é EN em SJ3, que é o jogo 
tomado como um todo 
2. É a melhor resposta do Regulador no SJ1 
3. É a melhor resposta do Regulador no SJ2? 
 Sim -1 > -2 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 (Baixo investimento, (Não remunera, Não 
remunera)) é EN em cada um dos três subjogos? 
1. Sabemos que é EN em SJ3, que é o jogo 
tomado como um todo 
2. É a melhor resposta do Regulador no SJ1 
3. É a melhor resposta do Regulador no SJ2 
 Portanto, é equilíbrio perfeito 
PROMESSAS E AMEAÇAS 
CRÍVEIS 
2,1 
-2,2 
1,-2 
-1,-1 
Empresa 
Regulador 
Investimento 
elevado 
Regulador 
Baixo 
investimento 
Não 
remunera 
Não 
remunera 
Remunera 
Remunera 
PROMESSAS E AMEAÇAS CRÍVEIS 
 Fiani, p. 241: “Este resultado, que deve estar parecendo um 
tanto pessimista, é um dos principais resultados da teoria 
econômica, quando aplicada ao problema da regulação de 
serviços de infra-estrutura: 
Quando o agente regulador não possui autonomia e é vulnerável a 
pressões políticas, o resultado costuma ser ineficiente em todos os 
aspectos: 
A empresa não é remunerada adequadamente por seus investimentos, 
A população não recebe serviços satisfatórios.” 
 
 Quanto se parece esse jogo ao problema do 
regulador? – Não muito, cuidado ao tirar conclusões!