58286-325552LivroPO_Professor

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Palavras do professor 
 
 
A economia, a matemática, a estatística e a informática são consideradas ciências 
fundamentais para o processo de preparação, análise e tomada de decisão. 
 
A Pesquisa Operacional (P.O.) faz uso dessas quatro ciências oferecendo aos 
gestores e aos administradores um conjunto de métodos e modelos que os 
auxiliam em suas decisões. 
 
Ao estudar esse livro didático você aprenderá a utilizar a planilha Excel® e o 
software Lindo®, que são dois sistemas muito úteis para a solução de problemas 
de Pesquisa Operacional. 
 
O objetivo deste livro é atingir, principalmente, dois públicos: os estudantes e os 
profissionais de administração, economia e contábeis que tenham interesse em 
saber como a Pesquisa Operacional pode auxiliá-los no processo de tomada de 
decisão. 
 
Espero que você aproveite o conteúdo selecionado para o melhor desempenho no 
seu curso de administração e na sua carreira profissional. 
 
Um ótimo estudo! 
 
Professor Luis Augusto Araújo 
 2
 
 
 
 
SUMÁRIO 
PALAVRAS DO PROFESSOR.....................................................1 
1. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL ............................5 
1.1 CONCEITO ........................................................................................................................5 
1.2 HISTÓRIA........................................................................................................................6 
1.3 APLICAÇÕES.....................................................................................................................8 
1.4 FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL....................................................8 
1.5 MODELAGEM DE PROBLEMAS GERENCIAIS ....................................................................9 
1.5.1 Modelos de Simulação.........................................................................................10 
1.5.2 Modelos de Otimização..................................................................................... 11 .
.
GLOSSÁRIO..........................................................................................................................12 
SÍNTESE ..............................................................................................................................12 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.....................................................................................................13 
2. PROGRAMAÇÃO LINEAR................................................. 15 
2.1. APLICAÇÕES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR.....................................................................16 
2.2. VANTAGENS DO USO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR......................................................17 
2.3. MODELAGEM DE PROBLEMAS.......................................................................................18 
2.4. PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS ....................................................................19 
2.5. FORMULAÇÃO DE DIETAS DE MÍNIMO CUSTO ......................................................... 20 
GLOSSÁRIO..........................................................................................................................21 
SÍNTESE ............................................................................................................................. 22 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.................................................................................................... 22 
3. RESOLVENDO PROBLEMAS SIMPLES PELO MÉTODO GRÁFICO .... 34 
3.1. PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS DA FÁBRICA DE COMPUTADORES.............. 34 
3.2. RESOLUÇÃO PELO MÉTODO GRÁFICO........................................................................ 35 
1ª Etapa: Construir a região de soluções das restrições................................... 35 
2ª Etapa: Avaliar o objetivo na região de soluções ............................................. 37 
GLOSSÁRIO......................................................................................................................... 40 
SÍNTESE ............................................................................................................................. 40 
PROBLEMAS SIMPLES DE PROGRAMAÇÃO LINEAR, COM APENAS DUAS VARIÁVEIS DE 
DECISÃO, PODEM SER RESOLVIDOS PELO MÉTODO GRÁFICO............................................ 40 
 3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................41 
4. RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO LINEAR UTILIZANDO A PLANILHA 
EXCEL® ......................................................................... 44 
4.1. ELEMENTOS DA PLANILHA.......................................................................................... 45 
4.2. DESENVOLVENDO O PROBLEMA DA EMPRESA ILHA DA MAGIA................................ 45 
4.3. ANÁLISE DOS RESULTADOS .......................................................................................51 
GLOSSÁRIO......................................................................................................................... 54 
SÍNTESE ............................................................................................................................. 54 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.................................................................................................... 55 
5. RESOLVENDO PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR UTILIZANDO 
O SOFTWARE LINDO® ....................................................... 60 
5.1 DESENVOLVENDO O PROBLEMA DA EMPRESA DE BOLAS .........................................61 
5.2 ANÁLISE DO RESULTADO......................................................................................... 66 
5.3 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE .................................................................................. 68 
SÍNTESE ............................................................................................................................. 70 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.....................................................................................................71 
6. PROBLEMAS DE TRANSPORTES .......................................... 76 
6.1. ESTUDO DE CASO: PLANEJAMENTO DE TRANSPORTE DE UMA VINÍCOLA............... 79 
6.2. PROGRAMAÇÃO LINEAR .............................................................................................. 79 
6.2.1 Solução de Problemas de Transportes com o uso do Software Excel® 80 
6.2.2 Solução de Problema de Transporte com o uso do Software Lindo® ... 85 
6.3. MÉTODO DE APROXIMAÇÃO DE VOGEL (VAM)......................................................... 86 
6.4. REGRA DO CANTO NOROESTE.................................................................................... 90 
6.5. CASO DE SISTEMAS NÃO EQUILIBRADOS E DA IMPOSSIBILIDADE DE TRANSPORTE
............................................................................................................................................. 92 
GLOSSÁRIO......................................................................................................................... 93 
SÍNTESE ............................................................................................................................. 93 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.................................................................................................... 94 
7. PROGRAMAÇÃO INTEIRA ................................................. 97 
7.1 PROBLEMAS TÍPICOS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA..................................................... 98 
7.2 EXEMPLO: PLANEJANDO UMA VIAGEM DE ACAMPAMENTO....................................... 98 
7.3 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA COM O USO DO SOFTWARE 
EXCEL® ............................................................................................................................. 100 
7.4 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA COM O USODO SOFTWARE 
LINDO® ............................................................................................................................ 103 
SÍNTESE ........................................................................................................................... 104 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.................................................................................................. 104 
 4
8. SIMULAÇÃO ............................................................. 107 
8.1. ETAPAS DE UM ESTUDO NA REALIZAÇÃO DE UMA SIMULAÇÃO............................. 108 
8.2. VANTAGENS DO USO DA SIMULAÇÃO...................................................................... 110 
8.3. APLICAÇÕES DE SIMULAÇÃO .................................................................................... 110 
8.4. MODELAGEM E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE SIMULAÇÃO EM EXCEL® .............. 112 
SÍNTESE ............................................................................................................................ 121 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................................................................................... 121 
9. PLANEJAMENTO, PROGRAMAÇÃO E CONTROLE DE PROJETOS: 
PERT-CPM ..................................................................... 122 
9.1. VANTAGENS DO USO DA REDE PERT/CPM ............................................................. 122 
9.2. CAMINHO CRÍTICO................................................................................................... 123 
9.3. O ESTUDO DE CASO DA ELABORAÇÃO DO TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL
........................................................................................................................................... 123 
SÍNTESE ........................................................................................................................... 125 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.................................................................................................. 126 
SITES DE PESQUISA OPERACIONAL ...................................... 129 
BIBLIOGRAFIA................................................................ 131 
SOBRE O PROFESSOR CONTEUDISTA ..................................... 133 
RESPOSTAS E COMENTÁRIOS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS......... 134 
Unidade 1 ..................................................................................................................... 134 
Unidade 2..................................................................................................................... 134 
Unidade 3..................................................................................................................... 142 
Unidade 6..................................................................................................................... 144 
Unidade 7..................................................................................................................... 145 
Unidade 8..................................................................................................................... 145 
Unidade 9..................................................................................................................... 146 
CASOS APLICADOS À ÁREA DE NEGÓCIOS PARA DESENVOLVIMENTO 
DO TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL ............................ 147 
 5
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 
 
 
Objetivos de aprendizagem 
‰ Conhecer o conceito, a história e as principais aplicações da Pesquisa 
Operacional. 
‰ Identificar as fases de um estudo de Pesquisa Operacional. 
‰ Entender o significado e os principais tipos de modelagem de problemas 
gerenciais. 
 
Seções de estudo 
1.1 Conceito 
1.2 História 
1.3 Aplicações 
1.4 Fases de um Estudo de Pesquisa Operacional 
1.5 Modelagem de Problemas Gerenciais 
 
 
 
A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de 
problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e 
métodos de outras áreas científicas para concepção e planejamento de sistemas 
para atingir seu objetivo. 
 
A Pesquisa Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e 
racionalidade nos processos de tomada de decisão, sem descuidar, no entanto, 
dos elementos subjetivos que caracterizam os problemas. 
 
1.1 Conceito 
 
 6
A Pesquisa Operacional (PO) é o campo de estudos em que são aplicados métodos 
analíticos para ajudar os executivos a tomar melhores decisões. A Pesquisa 
Operacional baseia-se, principalmente, no método científico para tratar de seus 
problemas. 
 
É também conhecida como a ciência que se preocupa em fornecer ferramentas 
quantitativas para apoiar o processo de tomada de decisão. 
 
Segundo Lachtermacher (2002), o ensino da Pesquisa Operacional para 
executivos ou alunos da área de negócios passou a ter o foco na modelagem do 
problema, na interpretação do resultado do mesmo e na sua aplicabilidade aos 
problemas gerenciais. 
 
Management Sciences (MS) é a área de estudos que utiliza a informática, 
estatística e matemática para resolver problemas de negócios. A área de estudo 
da Pesquisa Operacional é mais abrangente que a da Management Sciences, uma 
vez que busca melhores soluções para além dos problemas da área de negócios. 
 
Uma das sociedades profissionais mais respeitadas atualmente é o Informs – 
Institute for Operations Reserch and the Management Sciences 
(http://www.informs.org), dos Estados Unidos, foi fundada em 1995. 
 
No Brasil, a Sobrapo – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional - possui sede 
no Rio de Janeiro, fundada em 1969. 
 
Vale a pena conferir! 
A "homepage" da Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional é: 
http://www.sobrapo.org.br/ 
 
1.2 História 
 
Segundo Moreira (2007), “o termo Pesquisa Operacional foi cunhado ainda em 
1938, para descrever o uso de cientistas na análise de situações militares”. 
 
A Pesquisa Operacional surgiu durante a Segunda Guerra Mundial, quando os 
Aliados se viram confrontados com problemas (de natureza logística, tática e de 
estratégia militar) de grande dimensão e complexidade. Para apoiar os comandos 
operacionais na resolução desses problemas, foram então criados grupos 
multidisciplinares de matemáticos, físicos e engenheiros e cientistas sociais. 
 7
Esses cientistas não fizeram mais do que aplicar o método científico aos 
problemas que lhes foram sendo colocados. Desenvolveram então a idéia de criar 
modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber 
os problemas em estudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias 
ou decisões alternativas. 
 
O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes que, 
terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de 
abordagem dos problemas se transferiram para as empresas que, com o "boom" 
econômico que se seguiu, se viram também confrontadas com problemas de 
decisão de grande complexidade. 
 
Seguiram-se então grandes desenvolvimentos técnicos e metodológicos que hoje, 
com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação, nos 
permitem trabalhar enormes volumes de dados sobre as atividades das empresas 
e, através de adequados modelos de base quantitativa, simular e avaliar linhas de 
ação alternativas e encontrar as soluções que melhor servem aos objetivos dos 
indivíduos ou organizações. 
 
Face ao seu caráter multidisciplinar, a Pesquisa Operacional é uma disciplina 
científica de características horizontais com suas contribuições estendendo-se 
por praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à 
Medicina, passando pela Economia, Contabilidade e a Gestão Empresarial. 
 
Leitura complementar 
 
Breve Histórico 
Os primeiros conceitos da programação linear, uma das técnicas de 
Pesquisa Operacional,foram desenvolvidos entre 1947 e 1949, durante a segunda 
guerra mundial, por George Dantzig para serem aplicados a programas militares, 
desde a área logística, até à estratégia. Foi após a guerra que ele foi impulsionado 
para encontrar formas eficientes de desenvolver esta metodologia. Foi Dantzig o 
primeiro a reconhecer que um programa de planejamento poderia ser expresso 
por um sistema de inequações lineares, assim como foi o primeiro a apresentar, na 
forma de uma expressão matemática explicita, um critério para seleção do 
melhor plano, ao que hoje chamamos de função objetivo. 
 Todo este trabalho seria de aplicação prática bastante limitada sem um 
método eficiente, ou algoritmo, que permitisse encontrar a solução ótima do 
conjunto de inequações lineares que maximizassem, ou minimizassem, a função 
objetivo. Assim, desenvolveu o algoritmo simplex que resolve de uma forma 
 8
eficiente este problema. Curiosamente, já em 1939 um matemático soviético e 
economista L. V. Kantorovich tinha formulado e desenvolvido um problema de 
programação linear para aplicação em planejamento da produção. No entanto, o 
seu trabalho foi desconhecido durante vinte anos, não tendo tido impacto no 
desenvolvimento da programação linear após a segunda guerra. 
 
1.3 Aplicações 
 
Segundo Lachtermacher (2002), os principais tipos de aplicação da área de 
Pesquisa Operacional, de interesse para a área de negócio, são os seguintes: 
- Problemas de Otimização de Recursos 
- Problemas de Localização 
- Problemas de Transporte 
- Problemas de Carteira de Investimento 
- Problemas de Alocação de Pessoas 
- Problemas de Previsão e Planejamento 
 
1.4 Fases de um Estudo de Pesquisa Operacional 
 
O processo de resolução de um problema apresenta cinco etapas consecutivas que 
podem, entretanto, serem repetidas dependendo da situação. 
 
Um estudo de Pesquisa Operacional deve desenvolver as seguintes fases: 
a) Definição do problema 
A definição do problema baseia-se em três aspectos principais que precisam ser 
discutidos: descrição exata dos objetivos do estudo; identificação das 
alternativas de decisão existentes; e reconhecimento das limitações, restrições e 
exigências do sistema. 
 
b) Construção do Modelo 
O modelo mais apropriado para a representação do sistema deve ser escolhido 
com base na definição do problema. Esta é a fase que mais criatividade exige do 
analista, uma vez que o resultado obtido é conseqüência da qualidade da 
representação da realidade obtida com o modelo. 
 
c) Solução do modelo 
Esta fase tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo construído. 
 
 9
d) Validação do modelo 
Um modelo é válido se for capaz de fornecer uma previsão aceitável do 
comportamento do sistema e de fornecer uma resposta que possa contribuir para 
a qualidade da decisão a ser tomada. Uma prática comum para testar a validade 
do modelo é analisar seu desempenho com dados passados do sistema e verificar 
se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema manifestou. 
 
e) Implementação da solução 
Avaliadas as vantagens e a validade da solução, esta deve ser implementada. A 
apresentação da solução deve ser feita à direção ou ao gerente da empresa 
evitando-se o uso da linguagem técnica do modelo. 
 
Em todas as etapas de um estudo de Pesquisa Operacional ou de resolução de um 
problema, deve-se avaliar constantemente os resultados obtidos. Procedendo-se 
desta forma, pode-se melhor garantir adequação das decisões às necessidades do 
sistema e aceitação destas decisões por todas as pessoas ou setores envolvidos. 
 
Curiosidade 
 Os primeiros problemas envolvendo Programação Linear, uma das técnicas 
de Pesquisa Operacional, estavam limitados a um “pequeno” número de variáveis 
devido ao tempo de cálculo e verificação, que poderia envolver vários homens 
durante vários dias, dependendo da complexidade do problema. 
Atualmente, com o recurso do computador e uma planilha Excel, auxiliada 
por um módulo adicional (solver) para a Programação Linear, permite-nos resolver 
problemas complexos, sendo o tempo de cálculo muito curto. 
 
1.5 Modelagem de Problemas Gerenciais 
 
O processo de decisão de um empresário é caracterizado por alto conteúdo 
de racionalidade e desenvolvido em ambientes construídos para propiciar 
condições adequadas para decisões de qualidade. Segundo Andrade (2004), as 
fases de um processo de decisão podem ser observadas na Figura 1. 
 10
 
 
 
 
 
 
 
 
Percepção Criação de
Alternativas 
Critérios 
Decisão 
Avaliação das
Alternativas 
Reconhecimento 
do Problema 
Fonte: Andrade (2004) 
Figura 1 – As fases de um processo de tomada de decisão. 
 
Os modelos permitem para a pessoa envolvida com o problema algumas 
facilidades, tais como: 
- visualizar a estrutura do sistema real em análise; 
- forçar os tomadores de decisão a tornarem explícitos seus 
objetivos; 
- representar as informações e suas inter-relações; 
- sistematizar a análise e avaliação de cada alternativa; 
- instrumento de comunicação e discussão com outras pessoas. 
 
Os modelos mais utilizados na modelagem de situações gerenciais são os 
chamados modelos matemáticos ou simbólicos, em que as grandezas são 
representadas por variáveis de decisão, e as relações entre as mesmas por 
expressões matemáticas. 
 
Os modelos matemáticos em que todas as informações relevantes são assumidas 
como conhecidas (sem incertezas) são chamados de determinísticos. Os modelos 
em que uma ou mais variáveis de decisão não sejam conhecidas, devendo esta 
incerteza ser incorporada no modelo, são chamados de modelos probabilísticos. 
 
A maneira mais simples de representar um modelo simbólico é através do modelo 
da caixa preta, em que apenas variáveis explicativas (de decisão), parâmetros e 
medidas de desempenho são representados (variáveis dependentes). 
 
A seguir, conceituam-se e representam-se os modelos matemáticos de simulação 
e de otimizaçã
 
1.5.1 Modelo
 
o. 
s de Simulação 
 11
Os modelos de simulação representam o mundo real com objetivo de permitir a 
geração e análise de alternativas, antes da implementação de qualquer uma delas. 
O processo de decisão com modelo de simulação é mostrado na Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução 2 
 
 
 
 
 
Modelo de
Simulação 
Solução 1 
Processo de
Escolha da
Melhor 
Solução 
Critérios 
de Escolha 
Solução 3 
Hipótese 3
Hipótese 2
Hipótese 1 
Solução 
Escolhida 
Solução 2 
Fonte: Andrade (2004) 
Figura 2 – Processo de decisão com modelos de simulação. 
 
Simular significa reproduzir o funcionamento de um sistema, com o auxílio de um 
modelo, o que permite testar algumas hipóteses sobre o valor das variáveis 
controladas. Observe-se que no modelo de simulação o critério de escolha da 
melhor alternativa não é fixado na estrutura do modelo (é aplicado pelo analista). 
 
 
1.5.2 Modelos de Otimização 
 
O modelo de otimização é estruturado para selecionar uma única alternativa, que 
será considerada “ótima”, segundo critério estabelecido pelo analista. O processo 
de decisão com modelo de otimização é apresentado na Figura 3. 
 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelo de 
Otimização 
- Representação do 
Sistema 
- Critério de seleção 
da alternativa 
Solução Ótima 
Dados e 
informações 
do sistema 
Decisão 
Fonte: Andrade (2004) 
Figura 3 – Processo de decisão com modelos de otimização. 
 
A solução “ótima” encontrada é tomada como referência para a decisão real. 
 
Glossário 
 
Apresentam-se, nesta seção, alguns conceitos que poderão ser úteis ao 
entendimento deste capítulo. 
 
Método simplex. Método que faz uso dos conceitos de álgebra matricial e de um 
conjunto de regras que levam à solução dos problemas de Programação Linear. 
 
Pesquisa operacional. É um ramo da ciênciaadministrativa que fornece 
instrumentos para análise de decisões. Segundo Corrar (2004), “é a área do 
conhecimento que fornece um conjunto de procedimentos voltados para tratar, 
de forma sistêmica, problemas que envolvem a utilização de recursos escassos”. 
 
No próximo capítulo, apresentamos uma breve introdução sobre a técnica de 
Programação Linear, as fases de seu estudo, as vantagens e possibilidades de 
aplicação no mundo real. No final, são propostos alguns problemas para que o aluno 
os represente sob a forma padrão de problemas de programação linear. 
 
Síntese 
 
Neste primeiro capít u o que é Pesquisa Operacional, sua 
história, sua importânc de aplicação. 
 
ulo, você apreende
ia e principais áreas
 13
A Pesquisa Operacional é a ciência que se preocupa em fornecer um conjunto de 
modelos e técnicas para apoiar a tomada de decisão, com larga aplicação em 
administração de empresas. 
 
O processo de resolução de um problema apresenta cinco etapas consecutivas que 
podem, entretanto, serem repetidas dependendo da situação. As fases de um 
estudo de Pesquisa Operacional são as seguintes: definição do problema, a 
modelagem, a obtenção da solução, a validação e a implementação propriamente 
dita. 
 
Os modelos mais utilizados na modelagem de situações gerenciais são os 
chamados modelos matemáticos ou simbólicos, onde pode-se também aprender a 
conceituar e a representar os modelos de simulação e de otimização. 
 
As informações contidas neste capítulo servem de referencial para 
contextualizar e entender os métodos e técnicas a serem aprendidos no restante 
do livro. 
Exercícios propostos 
 
1) Faça uma leitura dos textos complementares, que trata do tema “Breve 
histórico”, e considerando também os conhecimentos adquiridos na disciplina de 
Pesquisa Operacional, aponte V ou F caso as afirmações a seguir sejam 
Verdadeiras ou Falsas. 
( ) A técnica de programação linear foi desenvolvida por Dantzig, antes da 
segunda guerra mundial; 
( ) Deve-se utilizar ferramental sofisticado para apoio a tomada de decisão sem 
haver preocupação se os modelos quantitativos conseguem representar a 
complexa e incerta realidade organizacional; 
( ) O ensino da pesquisa operacional para executivos ou alunos da área de 
negócios passou a ter o foco na modelagem do problema, na interpretação do 
resultado do mesmo e na sua aplicabilidade aos problemas gerenciais. 
 
2) Para um estudante da área de negócios o algoritmo que está por trás do 
software não é o mais relevante e sim se este software lhe dá resultados 
corretos, num período de tempo satisfatório e serve para aprimorar o processo 
de tomada de decisão. Pergunta-se: 
a. Quais são as fases de um estudo de Pesquisa Operacional? 
b. Quais as diferenças entre o processo de decisão com modelos de otimização e 
o processo de decisão com modelos de simulação? 
 14
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15
 
 
 
 
 
 
 
 
2. PROGRAMAÇÃO LINEAR 
 
 
Objetivos de aprendizagem 
‰ Conhecer o que é, as aplicações e as vantagens do uso da técnica de 
Programação Linear. 
‰ Identificar e modelar problemas de tomada de decisão sobre alocação de 
recursos e sobre dietas de mínimo custo. 
 
Seções de estudo 
2.1. Aplicações da Programação Linear 
2.2. Vantagens do Uso da Programação Linear 
2.3. Modelagem de Problemas 
2.4. Problema de Alocação de Recursos 
2.5. Formulação de Dietas de Mínimo Custo 
 
 
 
A Programação Linear (PL) é uma técnica de Pesquisa Operacional, a qual contém 
outras técnicas tais como Simulação, Teoria dos Jogos, Programação Dinâmica, 
PERT/CPM, Teoria das Filas e etc, para otimização de sistemas. 
 
Segundo Prado (1999), “A PL é uma ferramenta utilizada para encontrar o lucro 
máximo ou o custo mínimo em situações nas quais temos diversas alternativas de 
escolhas sujeitas a algum tipo de restrição ou regulamentação”. 
 
A técnica de Programação Linear pode ajudar a descobrir os melhores usos para 
recursos limitados de forma que metas desejadas, tais como lucro, margem de 
contribuição, retorno esperado, possam ser maximizadas, ou, metas indesejadas, 
como custos e perdas, possam ser minimizadas. 
 
 16
Os estudos de Programação Linear podem responder perguntas do tipo: 
• Qual o preço do produto ou mix de produção maximiza o lucro? 
• Como se manter dentro do orçamento? 
• Com que velocidade pode crescer considerando a disponibilidade de 
capital de giro? 
• Qual deveria ser a programação de sua frota de entregas para minimizar 
os custos de transportes? 
• Sendo impostas algumas especificações, qual é a composição da mistura 
que corresponde ao custo mínimo? 
• Estando impostas as condições de trabalho, como repartir o contingente 
de mão-de-obra entre as diferentes tarefas e especialidades, com o 
objetivo de minimizar as despesas ou maximizar a eficiência? 
 
2.1. Aplicações da Programação Linear 
 
A Programação Linear, técnica de solução, desenvolvida após a Segunda Guerra 
Mundial como instrumento de administração, rapidamente tornou-se uma 
ferramenta eficiente para estudos de gestão. 
 
Na prática tem-se aplicado a Programação Linear em diversas áreas, tais como: 
Alimentação; Rotas de transportes; Manufatura; Siderurgia; Petróleo; Agricultura; 
Carteira de investimentos; Análise de riscos; Mineração; Localização industrial; 
Designação de pessoas e de tarefas, etc. 
 
Uma das aplicações mais clássicas de programação linear diz respeito ao 
planejamento agrícola, ou mais genericamente, planejamento de sistemas 
agroindustriais1. Basicamente, o tomador de decisão tem à sua disposição uma 
determinada área, uma disponibilidade de mão-de-obra e capital, além de 
observar uma série de características tecnológicas e de capacidade 
organizacional. O seu objetivo principal diz respeito à maximização de lucro, a 
partir das opções de negócios (culturas agrícolas, plantéis de animais, papéis de 
investimento, etc.) disponíveis. 
 
1 Duas referências básicas para o tema, que contém uma série de aplicações para casos 
brasileiros, são: 
- CAIXETA FILHO, J. V. Pesquisa Operacional: Técnicas de Otimização Aplicadas a Sistemas 
Agroindustriais. São Paulo: Atlas S. A., 2004. 
- CONTINI, E. et alii (eds.) Planejamento da propriedade agrícola: modelos de decisão. Brasília, 
EMBRAPA-DDT, 1984. 
 17
Leitura complementar 
Exemplos de aplicação da Programação Linear 
 São vários os exemplos de aplicação da programação linear nos nossos dias 
que permitiram obter melhoria nas performances das empresas. Numa rápida 
pesquisa na Internet, encontraram-se três casos referentes a diferentes áreas 
de atividade econômica. 
- Um primeiro exemplo refere-se à companhia de óleos TEXACO, que utilizou a 
programação linear para obter as condições ideais de processamento do petróleo 
bruto. A aplicação desta metodologia em sete das suas refinarias permitiu obter 
uma melhoria de 30% nos lucros, atingindo 30 milhões de dólares. 
- Um outro exemplo refere-se à aplicação do método para otimização dos 
horários de trabalho em quatro estabelecimentos da rede de retaurantes 
McDonald’s nos Estados Unidos. A programação linear proporcionou um melhor 
aproveitamento dos recursos disponíveis, com a exigência de cobertura durante 
todo período de funcionamento das unidades, obtendo-se uma programação de 
horários mais convenientes de acordo com as preferências de horário de cada 
funcionário. 
- Um último caso refere-se ao exército norte-americano que desenvolveu um 
sistema designado de MLRPS – Manpower Long-Range Planning System - que 
permite estimar as necessidades de recursos humanos num horizonte que vai dos 
7 aos 20 anos. Para tal, aspectos como as admissões, abandonos, promoções e 
transferências são levadas em consideração no modelo, que determina o número 
de recursosnecessários. 
 
2.2. Vantagens do Uso da Programação Linear 
 
- Permite encontrar o lucro máximo ou o mínimo custo. Pergunta-se: qual o 
impacto deste benefício dentro das empresas? É comum encontrarmos 
empresas da área de siderurgia e petrolífera, por exemplo, com 
faturamento anual de US$ 1 bilhão e com um custo de produção de US$ 
400 milhões anuais, imaginem o impacto caso a redução de custos seja de 
apenas 5%!! (0,05X400=US$20 milhões por ano). Nessas áreas é comum 
encontrar número expressivo dos chamados analistas de Pesquisa 
Operacional; 
- Permite identificar as melhores opções em estudos de Qualidade Total; 
- Permite a identificação de gargalos nas empresas e nas linhas de 
produção; 
- Fornecem diretrizes para expansão; 
- Possibilita avaliar o potencial de aplicabilidade de uma pesquisa. 
 18
 
2.3. Modelagem de Problemas 
 
 A modelagem diz respeito à técnica de como construir modelos. Em Pesquisa 
Operacional, o termo modelo é empregado para significar a representação de um 
sistema. 
 
A estratégia da Programação Linear para a resolução de problemas de otimização 
é transformar as características do problema em um modelo matemático 
constituído de uma função objetivo e de um conjunto de restrições. 
 
O modelo de Programação Linear, na sua forma reduzida, pode ser formulado da 
seguinte maneira: 
 
 n 
∑ cjxj 
j=1 
 
Maximizar Z = 
 
 
 
Sujeito a: 
 n 
∑ aijxj ≤ bi (para todo i = 1, 2, ...,m) 
j=1 
 
 
xj ≥ 0 (para todo j = 1, 2, ..., n) 
 
Onde: 
- xj é o nível da j-ésima atividade; 
- cj é o coeficiente da função objetivo esperado da j-ésima atividade; 
- aij é o coeficiente técnico da j-ésima atividade para o i-ésimo recurso (ou 
restrição); 
- bi são os níveis de fatores limitantes ou da i-ésima restrição; 
- n número de atividades; 
- m número de restrições. 
 
As etapas de um processo de modelagem são as seguintes: 
1. Definir as variáveis do problema; 
2. Definir a função objetivo; 
3. Definir o conjunto de restrições. 
 
 19
Para ilustrar o processo de modelagem de problemas de alocação de recursos, 
analisaremos um exemplo simples, mas que mostra os aspectos envolvidos no 
processo. 
 
2.4. Problema de Alocação de Recursos 
 
Uma fábrica de computadores, localizada em Florianópolis, produz dois modelos 
de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$200,00 e B de 
R$300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma 
unidade de disco. O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de 
disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete 
grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de 
produção que maximiza o lucro? 
 
Modelagem do problema 
 
a) Definição de variáveis de decisão 
Como o objetivo da empresa é encontrar o programa de produção para máximo 
lucro, isso significa, em outras palavras, dimensionar a produção de cada tipo de 
computador. Assim, as variáveis de decisão serão: 
• X1 = quantidade de computador Modelo (A) a produzir; 
• X2 = quantidade de computador Modelo (B) a produzir. 
 
 
b) Função objetivo 
A Função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo (lucro, receita, 
custo, perda, margem de contribuição e etc), em função das variáveis de decisão. 
Representam a relação entre as variáveis de decisão, o lucro unitário por 
computador e o lucro total. 
Como o lucro total será a soma dos lucros obtidos com a venda de cada tipo de 
computador, a equação de lucro total será: 
Lucro total: L = 200 X1 + 300 X2 
Objetivo: Max L = 200 X1 + 300 X2 
 
c) Definição das restrições do problema 
Cada restrição imposta na descrição do problema deve ser expressa como uma 
relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão. 
Devem-se representar as relações entre as quantidades a serem produzidas dos 
 20
Modelos de computador A e B, as exigências em termos de peças para a produção 
e a disponibilidade de peças ou gabinetes. 
• Disponibilidade de gabinete pequeno 
X1 ≤ 60 
• Disponibilidade de gabinete grande 
X2 ≤ 50 
• Disponibilidade de unidades de disco 
X1 + 2 X2 ≤ 120 
• Restrição lógica 
X1 ≥ 0 
X2 ≥ 0 
 
A última restrição formulada diz respeito a não negatividade das variáveis de 
decisão. 
 
2.5. Formulação de Dietas de Mínimo Custo2 
 
Uma aplicação bem sucedida de programação linear diz respeito à formulação de 
dietas, e em particular, formulação de rações de custo mínimo. Em termos gerais, 
se deseja obter a dieta de mínimo custo (ou mínimo preço), a partir da 
disponibilidade de uma série de alimentos, mas respeitando-se as exigências 
nutricionais pertinentes à idade e tipo da pessoa. 
 
“Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A 
necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 
unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada 
unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada 
unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas”. 
Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as 
necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade 
de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades 
monetárias”. 
 
O problema pode ser resolvido da seguinte forma: 
 
2Adaptado de CAIXETA FILHO, J. V. Material de apoio às disciplinas: LES-672 Introdução à 
Pesquisa Operacional e LES-785 Programação Linear. Série didática nº 113. Piracicaba: 
ESALQ/USP, 1996. 
 21
 
Modelagem do problema 
a) Definição de variáveis de decisão 
• Alternativas: chamando as alternativas de x1 e x2, onde: 
 x1 = quantidade de carne a consumir no dia 
 x2 = quantidade de ovos a consumir no dia; 
b) Função objetivo 
• Objetivo: minimizar o custo da dieta para consumir carne e ovos; 
Min C = 3 x1 + 2,5 x2 
c) Definição das restrições do problema 
• Restrições 
- necessidade mínima de vitamina 
4 x1 + 8 x2 ≥ 32 
- necessidade mínima de proteína 
6 x1 + 6 x2 ≥ 36 
- positividade das alternativas 
x1, x2 ≥ 0 
 
Glossário 
 
Apresentam-se, nesta seção, alguns conceitos que poderão ser úteis ao 
entendimento deste capítulo. 
 
Função-objetivo. Expressão matemática que relaciona as variáveis de decisão (as 
alternativas) e o objetivo que se pretende alcançar. 
 
Programação linear. Técnica destinada a determinar a melhor utilização de 
recursos limitados, de forma a otimizar uma função-objetivo que está 
condicionada a um conjunto de restrições. É uma programação matemática em que 
todas as funções-objetivo e restrições são representadas por funções lineares. 
 
Restrições. Limites impostos aos possíveis valores que podem ser assumidos pelas 
variáveis de decisão. 
 
Variáveis de decisão. São as alternativas ou variáveis que correspondem às 
decisões a serem tomadas visando encontrar a solução para o problema em 
estudo. 
 
 
 22
Síntese 
 
Nesta unidade você conheceu um pouco sobre a técnica de Programação Linear, 
que é um dos mais populares modelos matemáticos. É aplicável a problemas 
quantitativos cujos relacionamentos possam ser expressos por meio de equações 
e inequações lineares. 
 
Conhecemos as perguntas que podem ser respondidas pela técnica, as principais 
vantagens e aplicações da Programação Linear no mundo dos negócios. 
 
A estratégia da Programação Linear para a resolução de problemas de otimização 
é transformar as características do problema em um modelo matemático 
constituído de uma função objetivo e um conjunto de restrições. 
 
A combinação de variáveis que deve ser maximizada ou minimizada, na forma de 
uma expressãomatemática, é chamada de função objetivo. 
 
As restrições, representadas por equações ou inequações matemáticas, 
representam limites impostos pela condição da realidade da empresa, em termos 
de escassez de recursos, regulamentações ou restrições de mercado. 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Faça uma leitura do texto complementar, que trata do tema “Exemplos de 
aplicação da Programação Linear”, e considerando também os conhecimentos 
adquiridos na disciplina de Pesquisa Operacional, aponte V ou F caso as 
afirmações a seguir sejam Verdadeiras ou Falsas. 
 ( ) O texto ressalta três exemplos de aplicabilidade da ferramenta de 
Programação Linear para apoiar a tomada de decisão, em casos práticos para 
resolução de problemas de finanças, de marketing e de carteira de investimentos; 
( ) Na Programação Linear tanto as restrições como as funções-objetivo são 
representadas por funções lineares (equações de primeiro grau). 
 
2) Problemas para Modelagem 
 
Atenção especial deve ser dispensada ao esforço de modelagem, antes de 
entrarmos no mérito da resolução de problemas por programação linear. Dado um 
 23
determinado problema, o modelador, em função de seu nível de abstração e de 
experiência vivida, terá uma maior ou menor facilidade para a representação de 
objetivo, alternativas e restrições, através de inequações e equações. 
 
1. A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e 
Modelo R (o regular). O Modelo P é vendido por R$95,00 cada pneu e custa para 
ser produzido R$85,00 por pneu, enquanto que o Modelo R é vendido por R$50,00 
cada pneu e tem um custo de produção de R$42,00 por pneu. Para fabricar um 
pneu do Modelo P, são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da 
Máquina B. Por outro lado, para fazer um pneu do Modelo R, são requeridas nove 
horas da Máquina A e três horas da Máquina B. A programação da Produção da 
fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 
36 horas e a Máquina B no máximo 42 horas. Quanto de cada modelo de pneus a 
fábrica deve produzir de modo a maximizar o seu lucro? Qual é este lucro 
máximo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A empresa “Águas de Floripa” produz piscina em fibra em duas linhas de 
produção: piscina Standard e piscina Luxo. Com relação à piscina Standard temos 
as seguintes informações: 
- A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas; 
- Cada piscina consome 1 homem/dia para ser produzida; 
- Cada piscina fornece um lucro de R$30,00. 
Para as piscinas Luxo: 
- A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas; 
- Cada piscina consome 2 homem/dia para ser produzida; 
- Cada piscina fornece um lucro de R$40,00. 
 24
Além disso, devemos informar que a fábrica possui um total de 40 empregados a 
serem alocados nas duas linhas de produção. O dono da fábrica tem por objetivo 
maximizar o lucro diário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Certa empresa fabrica dois produtos, bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei 
(P2). O lucro por unidade de P1 é de R$100,00 e o lucro unitário de P2 é de 
R$150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas 
atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram 
a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem 
ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do 
sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25
 
 
4. No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., 
escolheu três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes 
solicitados por unidade na produção. 
 
Produto Lucro por 
unidade 
Horas de 
trabalho 
Horas de uso de 
máquinas 
Demanda 
máxima 
P1 2.100 6 12 800 
P2 1.200 4 6 600 
P3 600 6 2 600 
 
Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram 
estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 
4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se 
usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um 
programa ótimo de produção para o período que maximize o lucro da empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para abastecer 
o CEASA, localizado no município de São José. Ele necessita transportar 200 
caixas de laranjas a R$20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de 
pêssegos a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 
R$30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para 
obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema. 
 
 26
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Uma rede de televisão da “Grande Florianópolis” tem o seguinte problema: foi 
descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B” 
com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 
telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no 
mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 
minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao 
ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27
 
7. Uma empresa localizada em Tubarão fabrica dois modelos de cintos de couro. 
O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em 
relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa 
poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite 
fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas 
diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os 
lucros unitários são de R$4,00 para M1 e R$3,00 para M2. Qual o programa ótimo 
de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do 
sistema descrito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. A empresa “Toldos Sol e Praia”, após um processo de racionalização de 
produção, ficou com disponibilidade de três recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um 
estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois 
produtos: Abrigos para Automóveis (P1) e Toldos em Loja (P2). Levantando os 
custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no 
mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$120,00 por unidade e P2, 
R$150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela 
de uso de recursos. 
 
Produto Recurso R1 por 
unidade 
Recurso R2 por 
unidade 
Recurso R3 por 
unidade 
P1 
P2 
2 
4 
3 
2 
5 
3 
Disponibilidade de 
recursos por mês 
 
100 
 
90 
 
120 
 28
 
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o 
modelo do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. O problema da sapataria do Ribeirão da Ilha. Um sapateiro faz 6 sapatos 
por hora, se fizer somente sapatos; cinco cintos por hora, se fizer somente 
cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 
unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto. Sabendo-se que o total 
disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 
unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se o modelo 
do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por 
hora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29
10. A Empresa de Administração de Fundos Paulo S.A.3, procurando obter o 
melhor rendimento dos R$100.000,00 investidospor um cliente antigo, tenta 
achar a melhor configuração da aplicação nas seguintes carteiras: 
 
Carteiras Rentabilidade* % 
Poupança 7,6 
Câmbio Empresarial Plus 15,0 
Câmbio Especial Plus 15,1 
Câmbio Preferencial 12,0 
DI Empresarial 13,5 
DI Especial Plus 14,9 
DI Preferencial 13,4 
Fix Especial Plus 15,1 
Fix Preferencial 14,0 
Fix Private 15,6 
* Valores projetados conforme dados dos últimos 12 meses. 
 
As exigências que o cliente fez para aplicação foram as seguintes: 
- aplicação de um ano; 
- aplicar na Poupança no mínimo 5%, e no máximo 15%; 
- para as carteiras de Câmbio máximo 30%. 
- para as carteiras de DI (Depósito Interbancário) máximo 35%; 
- e por último nas carteiras de Renda Fixa, máximo 40%. 
Por recomendação do administrador de fundos, as quantias máximas para serem 
investidas individualmente são de: 
- R$ 12.000,00, nas carteiras de Câmbio; 
- R$ 14.000,00, nas carteiras de DI; 
- R$ 17.000,00, nas carteiras de Renda Fixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Problema formulado e apresentado pelos alunos da disciplina de Introdução à Pesquisa 
Operacional da Unisul - campus de Araranguá, do segundo semestre do ano 2000. 
 30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Uma agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma linha de produto 
não-lucrativo. Isto criou um considerável excedente na capacidade de produção. 
A gerência está considerando dedicar esta capacidade excedente a um ou mais 
produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das 
máquinas que poderia limitar a produção está resumida na tabela que se segue: 
 
Tipo de máquina Tempo disponível 
(horas de máquina) 
A 500 
B 350 
C 150 
 
O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é 
conhecido como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade), 
conforme representado a seguir: 
 
Tipo de Máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 
A 9 3 5 
B 5 4 0 
C 3 0 2 
 
 31
O lucro unitário estimado é de R$30,00, R$12,00 e R$15,00, respectivamente, 
para os produtos 1, 2 e 3. Determinar a quantidade de cada produto que a firma 
deve produzir para maximizar o seu lucro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Uma fábrica de pranchas de Surfe, localizada em Garopaba, produz os 
modelos A, B e C, que proporcionam lucros unitários da ordem de R$ 160, 00, R$ 
300,00 e R$ 500, 00, respectivamente. As exigências de produção mínimas 
mensais são de 20 para o modelo A, 120 para o modelo B e 60 para o modelo C. 
 
Cada tipo de prancha requer uma certa quantidade de tempo para a fabricação 
das partes componentes, para a montagem e para testes de qualidade. 
Especificamente, uma dúzia de unidades do modelo A requer três horas para 
fabricar, quatro horas para montar e uma para testar. Os números 
correspondentes para uma dúzia de unidades do modelo B são 3,5, 5 e 1,5; e para 
uma dúzia de unidades do modelo C, 5, 8 e 3. 
 
Durante o próximo mês, a fábrica tem disponíveis 120 horas de tempo de 
fabricação, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. 
Formule o problema como um modelo de Programação Linear. 
 
 
 
 
 
 
 32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Um jovem está saindo com duas namoradas: Sheila e Ana Paula4. Ele sabe, por 
experiência que: 
a) Ana Paula, elegante, gosta de freqüentar lugares sofisticados, mais caros, 
de modo que uma saída de três horas custará R$240,00; 
b) Sheila, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que, 
uma saída de três horas, lhe custará R$160,00; 
c) Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão; 
d) Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de, no máximo, 18 horas e 
40.000 calorias de sua energia para atividades sociais; 
e) Cada saída com Ana Paula consome 5.000 calorias, mas com Sheila, mais 
alegre e extrovertida, gasta o dobro; 
f) Ele gosta das duas com a mesma intensidade. 
Como ele deve planejar a sua vida social para obter o número máximo de 
saídas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 Extraído de LACHTERMACHER (2002, pg. 57). 
 33
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
 
 
 
 
 
 
 
 
3. RESOLVENDO PROBLEMAS SIMPLES PELO MÉTODO 
GRÁFICO 
 
 
Objetivos de aprendizagem 
‰ Resolver problemas de Programação Linear por meio da utilização do 
método gráfico. 
‰ Compreender a lógica da obtenção da solução ótima. 
 
Seções de estudo 
3.1. Problema de Alocação de Recursos da Fábrica de Computadores 
3.2. Resolução pelo Método Gráfico 
 
 
Neste capítulo aborda-se a técnica de resolução de problemas simples pelo 
chamado Método Gráfico, com objetivo do aluno conhecer a ferramenta de 
resolução e também melhor compreender a lógica de resolução da Programação 
Linear. Para ilustrar o desenvolvimento do método, apresentam-se o problema, a 
modelagem e as etapas de resolução do Problema de Alocação de Recursos da 
Fábrica de Computadores. 
 
3.1. Problema de Alocação de Recursos da Fábrica de Computadores 
 
Uma fábrica de computadores, localizada em Florianópolis, produz dois modelos 
de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$200,00 e B de 
R$300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma 
unidade de disco. O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de 
disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete 
grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de 
produção que maximiza o lucro? 
 35
 
Modelagem do problema 
 
a) Definição de variáveis de decisão 
• X1 = quantidade de computador Modelo (A) a produzir; 
• X2 = quantidade de computador Modelo (B) a produzir. 
 
b) Função objetivo 
Lucro total: L = 200 X1 + 300 X2 
Função objetivo: Max L = 200 X1 + 300 X2 
 
c) Definição das restrições do problema 
• Disponibilidade de gabinete pequeno 
X1 ≤ 60 
• Disponibilidade de gabinete grande 
X2 ≤ 50 
• Disponibilidade de unidades de disco 
X1 + 2 X2 ≤ 120 
• Restrição lógica 
X1 ≥ 0 
X2 ≥ 0 
 
3.2. Resolução pelo Método Gráfico 
 
A resolução de problemas de programação pelo método gráfico requer a definição 
da região de solução das restrições e que se avalie o objetivo na região de 
soluções viáveis. 
 
1ª Etapa: Construir a região de soluções das restrições 
 
A construção da região de soluções das restrições possíveis obedece a seguinte 
seqüência: 
- atribuem-se valores para X1 e X2 para definir-se o comportamento da linha/reta 
de cada uma das restrições no gráfico. 
Exemplo: 
• Disponibilidade de unidades de disco 
X1 + 2 X2 ≤ 120 
Para X1 = 0, temos que X2 = 60; 
 36
Para X2 = 0, temos que X1 = 120. 
 
- para visualizar o problema de forma gráfica, devem ser representadas, 
inicialmente, as restrições do problema, conforme apresentado na Figura 1. 
 
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120
 
o 
X2 
Gabinete 
Pequeno
Gabinete 
Grande 
Unidades 
de disc
X1 
Figura 1 - Representação das restrições no gráfico. 
 
 37
 
X2 
Região viável 
X1 
Figura 2 - Representação da região viável do problema. 
 
Entretanto, nada ainda foi dito sobre a função objetivo, que também deverá ser 
representada. 
 
2ª Etapa: Avaliar o objetivo na região de soluções 
 
Para avaliarmos o comportamento da função objetivo no gráfico, sugerem-se os 
seguintes procedimentos: 
- escolher um ponto dentro ou próximo da região de solução viável. Por 
exemplo, X1 = 20 e X2 = 20; 
- calcular o valor obtido para a função objetivo neste ponto. Basta 
substituirmos os valores para X1 e X2 na função objetivo. Neste caso, 
obtém-se um valor de lucro de R$ 10.000,00; 
- representar, no gráfico, o comportamentoda função objetivo quando o 
lucro for de R$10.000,00. Para isto, devemos adotar o mesmo 
procedimento anterior para representar as restrições do problema. 
 
Assim, temos: Max L = 200 X1 + 300 X2 
Logo, 
10.000 = 200 X1 + 300 X2 
 38
Portanto, se X2 = 0, então X1 = 50 e se X1 =0, então X2 = 33,33. 
 
 
X2 
Função objetivo quando 
o lucro é igual a 
R$10.000,00 
X1 
Figura 3 - Representação da função objetivo quando o lucro é R$10.000,00. 
 
Observa-se que quanto mais a função objetivo caminhar para a direita, de forma 
paralela, maior o valor de lucro. Portanto, este deverá ser o direcionamento da 
maximização: a função objetivo deverá se deslocar, dentro da região viável, o 
máximo possível para a direita, o que no caso resultará no vértice X1 = 60 e X2 = 
30, com o máximo lucro de R$21.000,00. 
 
Veja que se X1 = 60 e X2 = 30, substituindo esses valores na função objetivo, 
temos: Max L = 200 X1 + 300 X2 
 Max L = 200 x 60 + 300 x 30 
 Max L = 21.000 
 
 39
 
30 
X1 = 60 
X2 = 30 
Gabinete 
Pequeno 
Gabinete 
Grande 
Unidades 
de di
X2 
Solução Ótima 
sco 
X1 
Figura 4 – Identificação da solução ótima. 
 
Este vértice, x1 = 60 e x2 = 30, a solução do problema, é a intersecção das retas 
representativas das restrições de Gabinete Pequeno e Unidades de Disco. Isso 
significa que tais restrições estão sendo esgotadas, ou que estão sendo 
efetivamente atuantes. 
 
Na verdade, substituindo-se o valor da solução ótima naquelas restrições, os 
limites superiores serão alcançados. Já na restrição de Gabinete Grande, os 
limites superiores correspondentes não serão atingidos, significando que tais 
restrições estão com folga. Observa-se que para realizar o plano ótimo de 
produção serão necessárias 30 unidades de Gabinetes Grandes, sendo que a 
disponibilidade é de 50 (folga de 20 unidades). 
 
Concluindo-se: a fábrica de computadores deverá produzir 60 unidades do 
computador Modelo A e 30 unidades de computador Modelo B, para obter um 
máximo lucro de R$21.000,00. 
 
Os dois próximos capítulos tratam dos procedimentos de entrada de dados na 
planilha Excel e no software Lindo bem como na obtenção dos relatórios para 
análise e interpretação de problemas gerenciais de otimização diversos. 
 40
 
Glossário 
 
Análise de sensibilidade. Segundo Moreira (2007), é o estudo da sensibilidade da 
solução ótima aos dados do modelo de programação linear. 
 
Coeficientes tecnológicos. Representam a quantidade de recursos necessária 
para produzir uma unidade da variável ou alternativa. 
 
Região permissível. É o conjunto de todas as soluções possíveis. 
 
Solução ótima. É o conjunto de valores das variáveis que, ao mesmo tempo, 
satisfaça todas as restrições e otimize (maximize ou minimize) a função objetivo. 
 
Solução permissível ou viável. É uma solução que atende ao mesmo tempo a todas 
as restrições. 
 
 
Síntese 
Problemas simples de Programação Linear, com apenas duas variáveis de decisão, 
podem ser resolvidos pelo método gráfico. 
 
O procedimento de resolução envolve duas etapas: a primeira requer a 
identificação no gráfico da região de soluções possíveis (região permissível); a 
segunda, e última etapa, requer a avaliação do comportamento da função objetivo 
para podermos identificar a solução ótima. 
 
As restrições são representadas no gráfico por linhas retas em que as 
coordenadas são as duas variáveis de decisão. A função objetivo é representada 
por uma linha reta, cuja inclinação será determinante para a identificação da 
solução ótima. 
 
A solução ótima está em um dos vértices ou pontos extremos da região 
permissível. 
 
 41
Exercícios Propostos 
 
Resolva os seguintes problemas simples, fazendo uso do Método Gráfico, 
apresentando passo a passo às etapas de resolução. 
 
1) A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e 
Modelo R (o regular). O Modelo P é vendido por R$95,00 cada pneu e custa para 
ser produzido R$85,00 por pneu, enquanto que o Modelo R é vendido por R$50,00 
cada pneu e tem um custo de produção de R$42,00 por pneu. Para fabricar um 
pneu do Modelo P, são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da 
Máquina B. Por outro lado, para fazer um pneu do Modelo R, são requeridas nove 
horas da Máquina A e três horas da Máquina B. A programação da Produção da 
fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 
36 horas e a Máquina B no máximo 42 horas. Quanto de cada modelo de pneus a 
fábrica deve produzir de modo a maximizar o seu lucro? Qual é este lucro 
máximo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A empresa “Águas de Floripa” produz piscina em fibra em duas linhas de 
produção: piscina Standard e piscina Luxo. Com relação à piscina Standard temos 
as seguintes informações: 
- A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas; 
- Cada piscina consome a mão-de-obra de 1 homem/dia para ser produzida; 
- Cada piscina fornece um lucro de R$30,00. 
Para as piscinas Luxo: 
 42
- A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas; 
- Cada piscina consome a mão-de-obra de 2 homem/dia para ser produzida; 
- Cada piscina fornece um lucro de R$40,00. 
Além disso, devemos informar que a fábrica possui um total de 40 empregados a 
serem alocados nas duas linhas de produção. O dono da fábrica tem por objetivo 
maximizar o lucro diário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Certa empresa fabrica dois produtos, bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei 
(P2). O lucro por unidade de P1 é de R$100,00 e o lucro unitário de P2 é de 
R$150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas 
atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram 
a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem 
ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do 
sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43
 
 
 
 
 
 
 44
 
 
 
 
 
 
 
 
4. RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO LINEAR UTILIZANDO A 
PLANILHA EXCEL® 
 
 
 
Objetivos de aprendizagem 
‰ Resolver problemas de Programação Linear por meio da utilização da 
ferramenta Solver do Excel®. 
‰ Analisar a solução final obtida com o propósito de otimizar a alocação de 
recursos da empresa. 
 
Seções de estudo 
4.1. Elementos da Planilha 
4.2. Desenvolvendo o Problema da Empresa Ilha da Magia 
4.3. Análise dos Resultados 
 
 
Existem dois modos de se resolver um problema em programação linear: o modo 
tradicional, usando o método gráfico (até duas variáveis) e o método Simplex 
(três ou mais variáveis), ou o método computacional, onde existem programas 
prontos para resolver problemas de PL (como por ex. o programa "LINDO") ou 
então, utilizar as planilhas eletrônicas como EXCEL, LOTUS 1-2-3 ou Quattro-
Pro. 
 
O objetivo do presente capítulo é fornecer um roteiro para a resolução de um 
problema típico de Programação Linear utilizando-se do software Excel® da 
Microsoft, por ser a planilha mais popular no Brasil. 
 
 45
4.1. Elementos da Planilha 
- Dados de Entrada: são os dados fornecidos no problema, isto é, os dados 
da função objetivo e os dados das equações de restrição (maior igual ou 
menor igual, incluindo as condições de não-negatividade). Esses dados 
devem aparecer em algum lugar na planilha. É aconselhável colocar o 
máximo de dados de entrada no canto superior esquerdo da planilha, apesar 
de que em alguns problemas específicos pode-se mudar essa regra. 
- Células variáveis: Ao invés de usar nomes de variáveis como X1 ou X21, 
utilizar um conjunto de células pré-definidas que fazem o papel das 
variáveisde decisão. Os valores nessas células podem ser mudados a fim de 
otimizar a função objetivo. Para evidenciar essas células, pode-se 
convencionar sombrear com determinada cor. 
- Célula destino: essa célula irá acumular o valor calculado da função 
objetivo. A ferramenta Solver sistematicamente varia os valores das 
células variáveis a fim de otimizar o valor da célula destino. Pode-se 
convencionar envolver a célula destino em uma borda preta dupla. 
- Restrições ou vínculos: no Excel, as restrições não aparecem diretamente 
na planilha. Ao invés disso, deve-se especificar as desigualdades 
diretamente num quadro de diálogo da ferramenta Solver. 
 
4.2. Desenvolvendo o Problema da Empresa Ilha da Magia 
 
Considere o problema da empresa Ilha da Magia, exercício 1, descrito novamente 
a seguir: 
A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e 
Modelo R (o regular). O Modelo P é vendido por R$95,00 cada pneu e custa para 
ser produzido R$85,00 por pneu, enquanto que o Modelo R é vendido por R$50,00 
cada pneu e tem um custo de produção de R$42,00 por pneu. Para fabricar um 
pneu do Modelo P, são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da 
Máquina B. Por outro lado, para fazer um pneu do Modelo R, são requeridas nove 
horas da Máquina A e três horas da Máquina B. A programação da Produção da 
fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 
36 horas e a Máquina B no máximo 42 horas. Quanto de cada modelo de pneus a 
fábrica deve produzir de modo a maximizar o seu lucro? Qual é este lucro 
máximo? 
 
 46
A solução completa do problema é obtida realizando-se duas etapas, que são as 
seguintes: 
 
1º) Entrada de dados e fórmulas na planilha 
 
A primeira etapa consiste na entrada de todos os dados na planilha e das 
fórmulas que relacionam as células com os dados de entrada e cujo resultado é 
armazenado na célula destino. Esse primeiro estágio é o mais importante, pois, 
nele todos os ingredientes do modelo são incluídos e relacionados entre si. 
 
Dados de entrada: Entre com os dados conforme mostrado no quadro abaixo. As 
quantidades necessárias de horas máquina para cada tipo de pneu nas células 
B4:C5, as quantidades disponíveis de cada tipo nas células E4:E5 e o lucro de cada 
tipo de pneu nas células B3:C3. 
 
 
Figura 1 – Entrada de dados na planilha Excel®. 
 
Níveis de produção: as células B2:C2 são onde os valores das variáveis de decisão 
são colocados, ou seja, onde o Solver indicará a solução para o problema. 
Lucro obtido: entre com a fórmula abaixo na célula D3: 
=SOMARPRODUTO(B3:C3;$B$2:$C$2) 
Essa fórmula calcula o total de lucro de acordo com o número de pneus presentes 
nas células variáveis. 
 47
 
Figura 2 – Utilização da função “somarproduto” no Excel®. 
 
Recursos utilizados: entre com a fórmula abaixo na célula D4. 
=SOMARPRODUTO(B4:C4;$B$2:$C$2) 
E, com a fórmula abaixo, na célula D5. 
=SOMARPRODUTO(B5:C5;$B$2:$C$2) 
 
Uma alternativa mais fácil é copiar a fórmula da célula D3, feita anteriormente, 
para a célula D4 e D5. 
 
 
Figura 3 – Detalhes do procedimento de cópia da célula D3 para as células D4 e D5. 
 48
 
Essa fórmula calcula as unidades de horas Máquina A e B utilizadas pela 
quantidade de pneus digitados inicialmente. A função SOMARPRODUTO é 
particularmente útil em modelos de Programação Linear. Aqui ela multiplica cada 
valor do intervalo de células B4:C4 pelos correspondentes valores nas células 
B2:C2 e depois soma esses produtos, do mesmo modo que é feito na multiplicação 
de matrizes. O propósito de colocar o dólar das células variáveis é o de fixá-las 
quando copia-se a mesma fórmula para as outras restrições. 
 
2º) Parâmetros do Solver 
 
Na segunda etapa, devemos acionar o Solver no menu ferramentas do Excel. Se 
você não encontrar o Solver, escolha o item suplementos, do menu ferramentas, e 
procure o Solver e clique no respectivo quadrinho. 
 
A ferramenta Solver resolve o problema através de ajustes nas células variáveis 
até que o máximo valor da célula destino seja encontrado. Para os problemas de 
PL, a ferramenta utiliza o chamado "Modelo Simplex". 
 
Precisa-se informar a localização das células variáveis e da célula destino, bem 
como uma lista de todas as restrições envolvidas no problema, que são escritas 
em termos de endereços de células. Ao final é só pedir para que o Solver ache a 
solução otimizada. 
 
Os procedimentos de preenchimento dos parâmetros do Solver são apresentados, 
a seguir. 
a) Selecione como célula de destino a célula D3, aquela em que seu valor deverá 
ser máximo, e clique na opção Max. 
b) Selecione as células variáveis de acordo com a janela apresentada na Figura 4. 
 
 49
 
 Figura 4 – Preenchimento dos parâmetros do solver 
 
c) Adicione cada restrição, com a respectiva desigualdade correta. Note que 
deve-se dar corretamente os endereços de cada desigualdade e, por esse 
motivo, não importa muito onde se coloca na planilha. 
 
Figura 5 – Adição das restrições 
 
Modelo Linear: antes de pedir para Resolver, clique em Opções e selecione 
"Presumir modelo Linear", pois afinal se trata de PL. 
 
 50
 
Figura 6 – Opções do solver: presumir modelo linear e não negativos. 
 
Resolver: clique em resolver e então o Solver mostrará nas células variáveis o 
valor ótimo das quantidades de pneus e na célula destino o valor máximo do lucro. 
Antes ele diz que achou uma solução ótima e, se for selecionado as opções de 
relatórios, ele criará até três tipos de relatórios diferentes, os quais serão muito 
úteis futuramente. 
 
 
Figura 7 – Janela indicando que o Solver encontrou uma solução que pode ser visualizada na 
planilha. 
 
 51
Caso escolha os três relatórios e dê OK. O Excel criará mais três pastas, cada 
uma com um tipo de relatório, são eles: 
- Relatório de respostas (Answer Report); 
- Relatório de Sensibilidade (Sensitivity Report); 
- Relatório de Limites (Limits Report). 
Os relatórios emitidos para este problema podem ser visualizados na próxima 
seção, que trata da análise e interpretação destes relatórios. 
 
4.3. Análise dos Resultados 
 
O Relatório de Resposta do problema são apresentados na Figura 8. 
 
 
Figura 8 – Apresentação do Relatório de Resposta do Solver. 
 
A primeira parte, denominada de célula de destino (“target cell”), indica o tipo de 
problema de otimização tratado, no caso maximização, e o valor original e final da 
função objetivo. O valor máximo encontrado para a função objetivo é um lucro de 
R$ 106,00. 
 
A segunda parte do relatório relaciona os valores ótimos para as variáveis de 
decisão (células ajustáveis). Observe-se que, nesse caso, a quantidade a ser 
produzida de pneus Premium deve ser de nove unidades e de pneus Regular deve 
ser de duas unidades. 
 52
 
A terceira parte do relatório diz respeito às restrições. A coluna de valores das 
células indica os valores das constantes (RHS) de cada uma das restrições. A 
última coluna transigência (slack) indica a folga ou excesso de disponibilidade de 
recursos. Observa-se que a restrição referente à disponibilidade de horas 
Máquina A apresenta folga igual a zero, indicando que se atingiu o limite da 
restrição de horas necessárias (para conferir basta substituir os valores de 
solução ótima para pneus Premium e para pneus Regular na inequação referente à 
restrição de horas Máquina A). Da mesma forma, para a restrição de horas 
Máquina B, pode-se constatar que, também, se atingiu o limite da restrição de 
horas. 
 
O relatório de análise de sensibilidade do problema em questão é apresentado na 
Figura 9, abaixo. 
 
 
Figura 9 – Apresentação do Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver. 
 
O relatório de sensibilidade está divididonas seguintes partes: 
- A primeira refere-se às mudanças que podem ocorrer nos 
coeficientes das variáveis de decisão da função objetivo; 
- A segunda refere-se as possíveis alterações que as constantes das 
restrições podem sofrer. 
 
As informações importantes mostradas nesse relatório são os Custos Reduzidos 
(“Reduced Cost”) e o Preço Sombra (“Shadow Price”). 
 
Pode-se interpretar os Custos Reduzidos como sendo: 
 53
- A quantidade que o coeficiente da função-objetivo deve melhorar 
para que aquela alternativa faça parte da solução ótima do 
problema; 
- A penalização a ser paga por se introduzir uma unidade de uma 
alternativa que não deve fazer parte da solução ótima. 
 
Observe que o lucro das alternativas de produção não precisa melhorar nada 
(Custo Reduzido igual a zero), uma vez que as duas alternativas já fazem parte da 
solução ótima (deve-se produzir nove unidades de pneu Premium e duas unidades 
de pneu Regular). Da mesma forma, a penalização a ser paga é zero, pois as duas 
alternativas fazem parte da solução ótima. 
 
Os valores do Preço Sombra (“Shadow Price”) podem ser interpretados da 
seguinte forma: 
- A quantidade pela qual a função objetivo altera dado um 
incremento de uma unidade na constante da restrição, ou seja, 
dado um aumento de uma unidade adicional do recurso disponível; 
- O aumento na função objetivo se aumentado de um o limite da 
restrição; 
- Mostra, do ponto de vista econômico, até quanto estaria-se 
dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso. 
 
Portanto, para o problema de alocação de recursos da empresa Ilha da Magia, 
pode-se concluir sobre o Preço Sombra: 
- Se a restrição disponibilidade de horas Máquina A for aumentada 
de 36 para 37 unidades, tem-se uma nova solução, na qual o valor 
da função objetivo será aumentado de R$ 0,0667. 
- Se a restrição disponibilidade de horas Máquina B for aumentada 
de 42 para 43 unidades, tem-se uma nova solução, na qual o valor 
da função objetivo será aumentado de R$ 2,4667. 
 
Caso o custo adicional da hora Maquina A e da hora Máquina B seja de R$1,00, por 
exemplo, deve-se somente contratar horas Máquina B, uma vez que a função 
objetivo será aumentada de R$ 2,4667 e o custo será de R$1,00 (obtendo-se um 
lucro adicional de R$1,4667). 
 54
 
Glossário 
 
Preço sombra (“shadow price” ou “dual price”). É também conhecido por preços 
marginais. Indica quanto se deixa de ganhar ou perder por não se dispor de mais 
uma unidade de determinada variável restritiva. 
 
Problema mal dedinido (“unbounded”). Acontece nos modelos em que a função-
objetivo pode atingir valores infinitos ou zero, incompatível com o resultado 
esperado. 
 
Problema não-solúvel (“infeasible”). Acontece nos modelos em que o conjunto de 
restrições apresentam contradições entre si. 
 
Reduzido custo (“reduced cost”). Indica quanto se deixa de ganhar ou perder 
por adotar alternativa diferente da indicada pela solução ótima. 
 
Solver. Segundo Moreira (2007), é uma ferramenta ou suplemento do software 
Microsoft Excel® que, para solução dos problemas lineares, utiliza o método 
simplex. 
 
 
Síntese 
 
Para os alunos e profissionais da administração, a utilização da ferramenta Solver 
do Excel® facilita a resolução de problemas de otimização. 
 
A obtenção da solução para determinado modelo é feita em duas etapas: 
primeiramente, deve-se entrar com os dados na planilha e das fórmulas; e, num 
segundo momento, preencher os parâmetros do Solver. 
 
Foi tomado como exemplo o problema da empresa Ilha da Magia, para obtenção da 
solução e para a realização das análises e interpretações pós-otimização, ou seja, 
dos relatórios emitidos pelo Solver. 
 
A solução ótima serve de referência para a tomada de decisão, não devendo 
necessariamente ser implementada. 
 55
Exercícios propostos 
 
1) A Calçados Ltda de Barreiros fabrica os produtos Sapato Tipo 1 e Sapato Tipo 
2. A empresa consegue vender todos os produtos. Cada produto passa por três 
departamentos e os tempos de fabricação requeridos encontram-se na Tabela 1. 
 Tabela 1 – Tempo de fabricação em horas por unidade. 
 Departamento 
A 
Departamento B Departamento C 
Produto 1 2 1 4 
Produto 2 2 2 2 
 
Cada departamento, entretanto, tem uma capacidade fixa de homens-hora por 
mês, como mostra a Tabela 2. 
 
 Tabela 2 – Capacidade produtiva dos departamentos. 
Departamento Capacidade máxima em homens-
hora 
A 160 
B 120 
C 280 
A margem de contribuição do Produto 1 é de R$ 1,00 por unidade e a do Produto 2 
é de R$ 1,50 por unidade. 
O problema consiste em determinar quanto fabricar de cada produto com o 
objetivo de maximizar a margem de contribuição total (MCT). 
Modelagem do problema da Calçados Ltda 
a) Definição das variáveis de decisão 
X1 = Quanto deve produzir de Sapato Tipo 1 
X 2 = Quanto deve produzir de Sapato Tipo 2 
 
b) Definição da Função Objetivo 
Max MCT = 1 X1 + 1,5 X2 
 
c) Definição das Restrições do Problema 
- Capacidade máxima em horas do departamento A 
2X1 + 2X2 ≤ 160 
- Capacidade máxima em horas do departamento B 
1X1 + 2X2 ≤ 120 
- Capacidade máxima em horas do departamento C 
4X1 + 2X2 ≤ 280 
 56
- Restrição Lógica 
X1 ≥ 0 
X2 ≥ 0 
 
Pede-se: 
Resolva este problema através do Solver do Excel®, apresentando, passo a passo, 
as etapas de resolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Considere um dos problemas modelados na lista de exercício proposta aos 
alunos da disciplina de introdução à Pesquisa Operacional: 
No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu 
três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por 
unidade na produção. 
 
Produto Lucro por 
unidade 
Horas de 
trabalho 
Horas de uso 
de máquinas 
Demanda 
máxima 
P1 2.100 6 12 800 
P2 1.200 4 6 600 
P3 600 6 2 600 
 
 57
Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram 
estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 
4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se 
usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um 
programa ótimo de produção para o período. 
Pede-se: 
a) Faça uma análise e interpretação dos relatórios emitidos pelo Solver do MS 
Excel deste problema. Com objetivo de facilitar, abaixo apresentamos a 
entrada de dados na planilha, o relatório de resposta e o relatório de análise 
de sensibilidade. 
b) Admita que durante a apresentação dos resultados, a gerência formulou as 
seguintes perguntas: 
b.1. O gerente de finanças advertiu que, uma incerteza recente no mercado 
para o produto P1, pode baixar sua lucratividade em 10%. Se isto 
acontecer, pergunta-se: deveria a Empresa Beta Ltda reconsiderar sua 
estratégia em termos de plano de produção? 
b.2. O gerente de recursos humanos pode, provavelmente, negociar a 
contratação de horas de trabalho a um custo de R$ 10,00/hora. Deveria a 
direção da empresa contratar trabalho? Em caso positivo, em que 
quantidade? 
b.3. A vice-presidência da empresa juntamente com a gerência de mercado 
estima um aumento de 100% na demanda para os produtos P1 e P3. 
Pergunta-se: deveria a Empresa Beta Ltda reconsiderar sua estratégia em 
termos de plano de produção e qual o aumento de lucro total esperado? 
 
 
Figura 1 – Entrada de dados na planilha MS Excel. 
 
 58
Figura 2 – Relatório de resposta. 
 
Figura 3 – Relatório de análise de sensibilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60
 
 
 
 
 
 
 
 
5. RESOLVENDO PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
UTILIZANDO O SOFTWARE LINDO®5 
 
 
 
Objetivos de aprendizagem