MQ Aula_04

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MÉTODOS QUANTITATIVOS - AULA 4 
ANTONIO VIANA MATIAS
Rio de Janeiro, 2011
 AULA 4 - Programação Linear 
Método Gráfico
AULA 04 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – MÉTODO 
GRÁFICO 
Nesta aula serão abordados os seguintes assuntos:
- A utilização do método gráfico para a solução de problemas de 
Programação Linear.
MÉTODO GRÁFICO
O método gráfico consiste em um sistema de 
coordenadas ortogonais, onde se mostra um polígono 
convexo, que contém os pontos representativos das 
possibilidades.
Essas possibilidades são determinadas a partir do sistema 
de coordenadas ortogonais das inequações que 
representam as restrições, de maneira que a sua solução 
venha a dar o conjunto convexo, que é a solução do 
sistema de inequações. 
ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Num modelo matemático, existem três conjuntos de 
elementos:
● Variáveis de decisão e parâmetros: as variáveis de 
decisão são as incógnitas a serem determinadas pela 
solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no 
problema;
● Restrições: de modo a levar em conta as limitações 
físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que 
limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou 
variáveis);
● Função Objetivo: é uma função matemática que define a 
qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO GRÁFICO - Exemplo 1
A indústria Alumilânias S. A. iniciou suas operações há um mês e vem 
conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com 
contratos fechados de fornecimento para três tipos diferentes de lâminas 
de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa. Toda a 
produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada 
em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos 
fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 
toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido 
à qualidade dos produtos da Alumilânias S. A., há uma demanda extra 
para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de 
produção diário da fábrica de 100 mil reais para uma capacidade 
produtiva de 8 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 2 de lâminas 
grossas por dia. O custo de produção da fábrica do Rio de Janeiro é de 
200 mil reais para uma capacidade produtiva de 2 de lâminas finas, 1 de 
lâminas média e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das 
fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo 
possível?
 
EXEMPLO 1: 
Variáveis de decisão:
X1 = nº de dias de operação da fábrica de São Paulo
X2 = nº de dias de operação da fábrica do Rio de Janeiro
 
Parâmetros:
Lâminas fina, média e grossa
Restrições: 
Necessidade mínima de cada uma das lâminas: 16 fina; 6 
média e 28 grossa
Função Objetivo:
Função objetivo a ser minimizada: 
ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2
EXEMPLO 1:
Restrições técnicas: 
- lâmina fina 8 X1 + 2 X2 ≥≥≥≥ 16 
- lâmina média X1 + X2 ≥≥≥≥ 6 
- lâmina grossa 2 X1 + 7 X2 ≥≥≥≥ 28 
- Restrições de não negatividade: X1 ≥≥≥≥ 0 e X2 ≥≥≥≥ 0 
 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o 
desempenho do sistema, no caso a capacidade de minimizar o custo, para cada solução 
apresentada.
EXEMPLO 1:
● DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE CADA INEQUAÇÃO
Dividir a restrição da inequação pelos coeficientes de cada variável:
 - lâmina fina 8 X1 + 2 X2 ≥≥≥≥ 16 (2; 8) 
 - lâmina média X1 + X2 ≥≥≥≥ 6 (6; 6) 
 - lâmina grossa 2 X1 + 7 X2 ≥≥≥≥ 28 (14; 4) 
ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2
 EXEMPLO 1:
EXEMPLO 1:
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
Os pontos solução do problema, correspondem aos 
pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas de 
 X1 e X2. No problema em estudo, temos quatro possíveis 
pontos solução: A (0; 8).
 B (0,8; 5,4)
 C (2,8; 3,2) 
 D (14; 0) 
EXEMPLO 1:
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
Para sabermos qual dos quatro pontos irá minimizar a função 
objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função 
objetivo, da seguinte maneira:
- A (0; 8) → ZMín. = 100.000 (0) + 200.000 (8) = 1.600.000, esta 
solução indica que a indústria Alumilânias S. A. não utilizará a 
fábrica de São Paulo e utilizará 8 dias a fábrica do Rio de Janeiro 
na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 
1.600.000,00.
- B (0,8; 5,4) → ZMín. = 100.000 (0,8) + 200.000 (5,4) = 1.160.000, 
esta solução indica que a indústria Alumilânias S. A. utilizará 0,8 dia 
a fábrica de São Paulo e utilizará 5,4 dias a fábrica do Rio de 
Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 
1.160.000,00.
 
EXEMPLO 1
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
- C (2,8; 3,2) → ZMín. = 100.000 (2,8) + 200.000 (3,2) = 
920.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. 
A. utilizará 2,8 dias a fábrica de São Paulo e utilizará 5,4 
dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados 
de alumínio, a um custo de R$ 920.000,00.
- D (14; 0) → ZMín. = 100.000 (14) + 200.000 (0) = 
1.400.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. 
A. utilizará 14 dias a fábrica de São Paulo e não utilizará a 
fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de 
alumínio, a um custo de R$ 1.400.000,00.
EXEMPLO 2
Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por 
hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por dia se 
fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para 
preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. 
Sabendo que o total disponível de queijo é de 5 kg por dia, 
e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, 
pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma 
pizzaria deve vender diariamente para maximizar a sua 
receita, considerando que ela tem um pizzaiolo? 
EXEMPLO 2: 
Variáveis de decisão:
- X1 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo das pizzas
- X2 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo dos 
calzones
 Parâmetros:
- Pizza, calzone e queijo
Restrições: 
- Capacidade diária de produção de pizzas e calzones e a 
quantidade de queijo disponível
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser maximizada: 
ZMáx. = 18 X1 + 22 X2
EXEMPLO 2: 
Restrições técnicas: 
- pizza X1 ≤ 128 (128; 0) 
- calzone X2 ≤ 72 (0; 72) 
- Queijo 40 X1 + 60 X2 ≤ 5000 (125; 83) 
- Restrições de não negatividade: X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0 
 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e 
X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no 
caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução 
apresentada.
EXEMPLO 2: 
EXEMPLO 2:
● ,IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
Para sabermos qual dos três pontos irá maximizar a função 
objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função 
objetivo, da seguinte maneira:
- A (0; 72) → ZMáx. = 18 (0) + 22 (72) = 1.584, esta 
solução indica que o pizzaiolo não fabricará nenhuma pizza 
e fabricará 72 calzones, e a pizzaria terá um lucro de 
 R$ 1.584,00.
 
EXEMPLO 2: 
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
- B (15; 72) →→→→ ZMáx. = 18 (15) + 22 (72) = 1. 854, esta solução indica que o pizzaiolo 
fabricará 15 pizzas e 72 calzones, e a pizzaria terá um lucro de R$ 1.584,00.
- C (125; 0) →→→→ ZMáx. = 18 (125) + 22 (0) = 1.584, esta solução indica que o pizzaiolo fabricará 
125 pizzas e nenhum calzone, e a pizzaria terá um lucro de R$ 2.250,00.
EXEMPLO 3:
Uma empresa executa dois tipos de serviço A e B. Deseja programar as quantidades ótimas 
de cada serviço, para um certo período de tempo. Os serviços são extremamente divisíveis, 
valendo os cálculos dos resultados para as partes possíveis de executar. Sabe-se que os 
parâmetros técnicos admitidos na empresasão:
- Usam-se dois tipos de recursos I e II. Cada unidade de serviço A consome 4 unidades do 
recurso I e 4 unidades do recurso II. Cada serviço B consome 6 unidades do recurso I e 2 
unidades do recurso II. No período citado, as quantidades dos recursos não serão menores 
do que 36 unidades do recurso I e 20 unidades do recurso II.
EXEMPLO 3: Cont.
- O custo na elaboração de cada unidade do serviço A é de R$ 800,00 e do tipo B R$ 900,00. 
No período de tempo citado, a empresa não tem condições de tolerar custo superior a R$ 
7.200,00.
O lucro líquido na venda de cada unidade do serviço A é de R$ 70,00 e de B R$ 160,00.
Determine as quantidades de cada serviço que deve ser executado, para que tenhamos um 
lucro máximo.
EXEMPLO 3:
Variáveis de decisão:
- X1 = Qtd. de serviços tipo A
- X2 = Qtd. de serviços tipo B 
 Parâmetros:
- Recurso I, recurso II e custo de produção
Restrições: 
- Necessidade mínimia dos recursos I e II e o limite de custos de produção
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser maximizada: 
ZMáx. = 70 X1 + 160 X2
EXEMPLO 3:
● Restrições técnicas: 
- Recurso I 4 X1 + 6 X2 ≥≥≥≥ 36 (9; 6)
- Recurso II 4 X1 + 2 X2 ≥≥≥≥ 20 (5; 10) 
 - Custo 800 X1 + 900 X2 ≤≤≤≤ 7200 (9; 8) 
- Restrições de não negatividade: X1 ≥≥≥≥ 0 e X2 ≥≥≥≥ 0 
 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o 
desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução 
apresentada.
EXEMPLO 3:
 
EXEMPLO 3:
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
Para sabermos qual dos três pontos irá maximizar a função objetivo, basta substituir os 
valores de cada ponto na função objetivo, da seguinte maneira:
- A (0; 72) →→→→ ZMáx. = 70 (1,8) + 160 (6,4) = 1.150, esta solução indica que a empresa 
produzirá 1,8 unidades do serviço A e 6,4 unidades do serviço B, e terá um lucro de R$ 
1.150,00.
EXEMPLO 3:
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
- B (0; 72) →→→→ ZMáx. = 70 (3) + 160 (4) = 850, esta solução indica que a empresa produzirá 3 
unidades do serviço A e 4 unidades do serviço B, e terá um lucro de R$ 850,00.
- C (0; 72) →→→→ ZMáx. = 70 (9) + 160 (0) = 630, esta solução indica que a empresa produzirá 9 
unidades do serviço A e nenhuma unidade do serviço B, e terá um lucro de R$ 630,00.
Nesta aula você aprendeu:
- A utilização do método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear.