lista 1 derivadas

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Derivadas por limites e Regras de derivação
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Questão 1 Calcule a derivada da função dada usando a definição de limites.
a) f (x) = 3
b) f (x) = −5x
c) f (x) = 3 +
2
3
x
d) f (x) = 2x2 + x − 1
e) f (x) = x3 − 12x
f)
1
x − 1
g)
√
x + 1
h) f (x) =
(2 + x
3 − x
)
i) f (x) = x1/3
j) f (x) = 4 − √x + 3
Questão 2 Calcule as seguintes derivadas abaixo:
a) f (x) = x6
b) f (x) =
1
x7
c) f (x) = x2 + 4x3
d) f (x) =
pi
2
senθ − cosθ
e) f (x) = x(x2 + 1)
f) f (x) = x4/5 − x2/3
g) f (x) = x2cosx − 2xsenx − 2cosx
h) f (x) = 3secx · tgx
i) f (x) =
1 + senx
1 − senx
j) f (x) =
2cossecx − 1
cossecx + 2
k) f (x) =
tgx
cosx − 4
l) f (x) =
(
secx + tgx
) (
secx − tgx)
Aplicações
Questão 3 No instante t = 0, um mergulhador pula de uma plataforma de mergulho de uma altura de 32 pés acima do nível da água.
A posição do mergulhador é dada pela função s(t) = −16t2 + 16t + 32 onde s é medido em pés e t é medido ems segundos.
a) Em que instante o mergulhador atinge a superfície da água? [t = 2s]
b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? [−48ps/s]
Questão 4 O volume de um cubo de aresta s é dado por V = s3. Calcule a taxa de variação do volume em relação a s quando
s = 4cm.[48]
Questão 5 O custo associado ao pedido e ao frete de componentes usados na fabricação de um produto é dado pela função:
C = 100
(200
x2
+
x
x + 30
)
para x ≥ 1, onde C é medido em milhares de reais e x é o número de unidades do pedido, medido em centenas.Calcule a taxa de variação
de C em relação a x quando (a) x = 10, (b) x = 15 e (c) x = 20. O que estas taxas de variação implicam sobre o aumento no número de
unidades do pedido? [a)R$ − 38, 13, b) R$ − 10, 37, c)R$ − 3, 80. Custo menor com pedidos maiores]
Questão 6 Uma população de 500 bactérias é colocada numa cultura e passa a crescer segundo a equação:
500
(
1 +
4t
50 + t2
)
onde t é o tempo medido em horas. Calcule a taxa de variação de crescimento da população no instante t = 2.[31,25 bactérias/hora]
Questão 7 Uma frente fria aproxima-se de uma região . A temperatura é T graus t horas após à meia noite e T = 0, 1(400 − 40t + t2)
com 0 ≤ t ≤ 12
a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h. [-2,9 graus/hora]
b) Ache a taxa de variação de T em relação a t às 5h. [-3 graus/hora]
Questão 8 A lei de Boyle afirma que sob temperatura constante a pressão de um gás é inversamente proporcional ao seu volume. Use
a derivada para demonstrar que a taxa de variação da pressão é inversamente proporcional ao quadrado do volume.
Questão 9 Quando satélites observam a Terra, eles cobrem somente a parte da superfície terreste. Alguns satélites possuem sensores
que podem medir o ângulo mostrado na figura abaixo. Seja h a distância do satélite a superfície da Terra e r o raio da Terra.
a) Prove que h = r (cossecθ − 1).
b) Calcule a taxa de variação de h em relação a θ quando θ=30 graus. (Suponha que r = 3.960 milhas.) [−7920√3 milhas/rad]
Questão 10 Se um corpo com Wkg f de peso é arrastado por um piso horizontal por uma força de Fkg f de magnitude e numa direção
que faz com o chão um ângulo de θ rad, F será dada por:
F =
kW
ksenθ + cosθ
onde k é uma constante chamada de coeficiente de atrito. Se k = 0, 5, ache a taxa de variação instantânea de F em relação a θ quando
θ =
pi
4
. [
√
2
9
W]
Gabarito
1 Questão:
a) 0
b) -5
c) 2/3
d) 4x + 1
e) 3x2 − 12
f) − 1
(x − 1)2
g)
1
2
√
x + 1
h)
5
(3 − x)2
i)
1
3x2/3
j)
−1
2
√
x + 3
2 Questão:
a) 6x5
b) −7/x8
c) 2x + 12x2
d)
pi
2
cosθ + senθ
e) 3x2 + 1
f)
4
5x1/5
− 2
3x1/3
g) −x2senx
h)
5
(3 − x)2
i)
2cosx
(1 − senx)2
j) −5cossecx · cotgx
(cossecx + 2)2
k) f (x) =
1 − 4secx − sen2x
cost(cosx − 4)2
l) 0