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Dados dois vetores u e v , não nulos, e escolhido um ponto O qualquer, podemos escrever: A = O + u e B = O + v. A O B Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AOB determinado pelas semi-retas OA e OB. ^ u v Indicamos AOB = (u ,v ) , onde ),(0 vu . Observe que se ( u ,v ) = 0 , os vetores u e v tem o mesmo sentido e se ( u, v ) = π , estes vetores tem sentidos contrários Sejam u e v vetores não nulos. O produto escalar de u por v, indicado por u. v, é o número real : u . v = | u |. | v |. cos ( u , v ) PRODUTO ESCALAR Se um dos vetores for nulo temos u . v = 0. Expressão cartesiana do produto escalar Dados os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) na base { i, j, k }, temos: u . v = x1x2 + y1y2 + z1z2 Ex: Sejam e kjiu 853 kjiv 24 1481012 )1(8)2()5(43 vu vu Ex: Dado um quadrado cujo lado mede 2, calcule: AB. BC AB. AC AB. CD Sejam u, v e w vetores quaisquer e t um número real. 1)v.u = u.v 2)t (v.u) = (tv)u = v(tu) 3)u (v+w) = u.v + u.w 4)u.u = |u|2 5)u.v = 0 se e somente se u v Do triângulo retângulo temos: v v OAOA v vu OA vu vu uOA uOA u OA coscos Sabendo que: Como : Então: u vprojOA 00 vvuproj uv v v v vu OA v v v vu OA v vu v v OA Sejam u e v dois vetores representados abaixo: O vetor v se exprime de maneira única na forma v = v1 + v2, onde v1 é paralelo a u e v2 é ortogonal a u. v1 v2 v v u Chamamos o vetor v1 de projeção de v na direção de u. oov u uuvprojv ).(1 Chamamos de ouv. a medida algébrica da projeção de v na direção de u e indicamos v uprojamed ..lg. Dados os vetores u=(1,2,2) e v=(2,0,2), calcule: a) u.v b) |u| c) Versor de u d) Cos(u,v) e) Sendo w=(0,2,-2) ele é ortogonal a u? 1. Calcule o ângulo entre os vetores e . 2. Sabendo que o vetor forma um ângulo de 60° com o vetor determinado pelos pontos e , calcular m. 4,1,1u 2,2,1v 1,1,2 v 2,1,3 A mB ,0,4
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