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Matemática Financeira Para Concursos Professor Igor Melo Teoria + 100 Questões de Concursos Anteriores COMENTADAS 2013 Igor Melo Matemática Financeira para Concursos 13/01/2013 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 2 Sumário 1. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS ........................................................ 3 2. TAXAS DE JUROS: NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTES, PROPORCIONAIS, REAL E APARENTE ......... 36 3. PLANOS OU SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ......................... 50 4. CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO .................................................................................................................................... 72 5. FLUXO DE CAIXA: DIAGRAMAS DE FLUXOS DE CAIXA, EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME SIMPLES E EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS ............................................................................ 78 6. SÉRIES DE PAGAMENTOS (ANUIDADES OU RENDAS CERTAS)......................................................... 103 7. AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO E TAXAS DE RETORNO .................................... 121 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 3 1. Juros simples e compostos: capitalização e descontos Conceito de Juros No momento em que um capital é emprestado durante algum tempo, a pessoa que emprestou, recebe como pagamento pelo empréstimo, uma quantia que denominamos de juros. Chamamos de Montante o Capital acrescido dos juros: Obs.: Essa fórmula serve tanto para juros simples quanto composto. Taxa de Juros Antes de falarmos sobre juros simples, vamos adiantar um pouco o segundo capítulo da nossa apostila que fala sobre Taxa de Juros. A taxa de juros é a porcentagem que será cobrada num determinado período. A taxa de juros deve, portanto, estar sempre associada a um período de tempo e na maioria das vezes as taxas estarão escritas de formas abreviadas: Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 4 Juros Simples Juros simples são os juros que sempre são aplicados sobre o CAPITAL INICIAL, isto é, independente de quantos períodos tenham se passado, os juros se calculam sobre o capital aplicado inicialmente. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Onde: Exemplo: Carlos emprestou R$1.500,00 ao seu irmão Roberto. Querendo ajudar seu irmão e também não querendo ser prejudicado cobrou uma taxa de 2% ao mês a juros simples. Qual a quantia paga a Carlos, sabendo que Roberto pagou em uma só vez após quatro meses? Solução: Capital Inicial: R$1.500,00 C = 1500 Taxa de Juros: 2% a.m. i = 0,02 (Nos cálculos você deve usar a forma decimal da taxa) Número de Períodos: 4 n = 4 Os Juros que serão pagos são: Ao somarmos os juros ao Capital Inicial temos o montante: Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 5 Roberto pagou o Montante de R$1.620,00. Obs.: Podemos ainda incluir outra fórmula em Juros Simples: Onde: Essa fórmula será demonstrada na questão abaixo. Exercícios de Concursos Resolvidos 1. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de a) 68.085,10 b) 66.000,00 c) 65.000,00 d) 64.555,12 e) 63.656,98 Solução: CESGRANRIO quando fala em RESGATE quer dizer MONTANTE Montante = R$80.000.00 i = 3,5% = 0,035 n = 5 (5 meses) C = ?(É o que queremos saber, o valor da aplicação é o capital inicial investido) Sabemos que, Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 6 – Assim, – (Observe que essa fórmula serve para qualquer cálculo de Juros Simples) Substituindo os valores dados temos, Item correto: Item A 2. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás - Técnico de Contabilidade - Distribuidora) Um investidor fez uma aplicação a 2% (juros simples) ao mês por um período de 12 meses e obteve um rendimento de R$ 6.000,00. O capital que proporcionou esse resultado, em reais, foi a) 30.000,00 b) 28.500,00 c) 27.250,00 d) 25.000,00 e) 24.100,00 Solução: Quando falamos em REDIMENTO significa JUROS!!! Lembre-se sempre. J = R$6.000,00 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 7 i = 2% a.m. = 0,02 n =12(12 meses) C = ?(É o que queremos saber, o valor da aplicação é o capital inicial investido) Substituindo os valores temos, Resolvendo esta equação simples temos que C = R$25.000,00 Item correto: Item D 3. (CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Administração) Um investidor realizou uma aplicação de R$ 25.000,00 pelo prazo de 6 meses e, ao final da aplicação, obteve um lucro de R$ 1.500,00. Para que isso ocorresse, a taxa de juros simples mensal usada na aplicação foi a) 1,00% b) 1,25% c) 1,33% d) 1,50% e) 1,66% Solução: C = R$25.000,00 i = ?(É o que queremos saber) n = 6 J = R$1.500,00 Item correto: Item A Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 8 Taxa de Juros Proporcionais Mais uma vez vamos adiantar um assunto da segunda aula do curso para que possamos resolver outro tipo de questão também cobrado. Duas taxas são ditas proporcionais quando seus valores são proporcionais aos seus respectivos prazos. Exemplo: As taxas de 36% ao ano e de 3% ao mês são proporcionais. Isso pode ser comprovado verificando uma regra de três direta:A igualdade obtida confirma que 36% estão para 12 meses assim como os 3% estão para 1 mês, ou seja, as taxas são proporcionais. Taxas de Juros Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a capitais iguais, por prazos iguais, produzem juros também iguais. Exemplo: 1. A aplicação de uma dada quantia ``C`` por certo tempo ``T`` à taxa de juros simples de 2% a.m. nos daria um total de juros ``J`` igual àquele que Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 9 obteríamos se aplicássemos a mesma quantia ``C``, durante o mesmo tempo ``T``, mas à taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Então dizemos que a taxa de juros simples de 2% a.m. é equivalente à taxa de juros simples de 6% a.t. Perceba que 2% a.m. e 6% a.t. são também proporcionais, pois no regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais e vice- versa. No caso de Juros Simples, achar a taxa equivalente é mais simples que no Regime de Juros Compostos, pois basta achar a taxa proporcional. Mais a frente mostraremos como achar Taxas Equivalentes no regime de Juros Compostos. Obs.: A vantagem de se achar a taxa equivalente é que muitas vezes as questões nos dão prazos em unidades diferentes da que se encontra na taxa. Por exemplo, quando a questão dá que o período de aplicação é de 120 dias e que a taxa é de 9% a.m. Vamos exemplificar com questões. Exercícios de Concursos Resolvidos 4. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Contábil) Considerando o mês de 30 dias, qual o montante, em reais, correspondente a uma aplicação de R$ 125.000,00 por 225 dias, a uma taxa de juros simples de 4,5 % ao mês? a) 134.375,00 b) 142.187,50 c) 166.815,75 d) 167.187,50 e) 171.876,50 Solução: Há duas formas de se resolver essa questão. Na primeira forma transformaríamos o período de 225 dias em meses, bastando dividir 225 por 30 e obteríamos o novo período de 7,5 meses e a partir deste ponto resolveríamos a questão como estávamos resolvendo as outras, mas utilizaremos nessa questão a segunda forma que é achando a taxa equivalente: C = R$125.000,00 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 10 n = 225 dias i = 4,5% a.m Acharemos inicialmente a taxa equivalente (ie) em dias, (%) prazos (dias) 4,5% 30(1 mês) ie 1 resolvendo a regra de três temos, Agora podemos utilizar as já conhecidas fórmulas, Lembrando que, Poderíamos também utilizar a outra fórmula: Item correto: Item D Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 11 5. (CESGRANRIO - 2009 - BNDES - Profissional Básico - Ciências Contábeis) Um investidor aplicou, no Banco Atlântico, R$ 10.000,00, por um período de 17 dias, a uma taxa de juros simples de 1,2% ao mês. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo investidor, em reais, foi a) 60,00 b) 64,20 c) 65,60 d) 66,00 e) 68,00 Solução: C = R$10.000,00 n = 17 (17 dias) i = 1,2% a.m. (temos que transformar essa taxa em dias) J = ? (É justamente a rentabilidade que a questão pede). Resolvendo a regra de três temos, Agora podemos utilizar as já conhecidas fórmulas, Item correto: Item E Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 12 Juros Compostos Os juros de cada período são calculados sobre o MONTANTE do período anterior, isto é, o CAPITAL INICIAL mais os JUROS ACUMULADOS até então. Exemplo: Vamos acompanhar os montantes, mês a mês, de uma aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% a.m. por um período de 4 meses no regime de juros compostos: Período Juros no fim do período Montante 1º mês 10% de R$1.000,00 = R$100,00 R$1.100,00 2º mês 10% de R$1.100,00 = R$110,00 R$1.210,00 3º mês 10% de R$1.210,00 = R$121,00 R$1.331,00 4º mês 10% de R$1.331,00 = R$133,10 R$1.464,10 Observe que: Os juros e o montante, no fim do 1º mês, são iguais aos que seriam produzidos no regime de juros simples; Cada novo montante é obtido calculando-se um aumento de 10% sobre o montante anterior, o que resulta em aumentos sucessivos a uma taxa fixa de 10%. Montante no Regime de Juros Compostos Como vimos acima, no regime de juros compostos, o montante ao fim de um determinado período resulta de um cálculo de aumentos sucessivos. Então, sejam: C = Capital Inicial aplicado M = Montante da aplicação ao fim de n períodos i = forma unitária da taxa de juros da aplicação n = número de períodos Poderemos expressar o montante (M) em função dos outros três elementos do seguinte modo: Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 13 Ou seja, (fórmula fundamental) Perceba que nem sempre é fácil calcular a fórmula acima, sobretudo quando n é mais elevado, para calcular esse tipo de problema normalmente a prova possui uma tabela financeira ou alguns resultados já prontos no enunciado da questão. Foi assim que a CESGRANRIO fez na prova de 2008 da CAIXA. Tabela de juros compostos F = (1 + i) n n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,1 1,12 1,15 1,18 2 1,02 1,04 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188 1,21 1,254 1,323 1,392 3 1,03 1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,26 1,295 1,331 1,405 1,521 1,643 4 1,041 1,082 1,126 1,17 1,216 1,262 1,311 1,36 1,412 1,464 1,574 1,749 1,939 5 1,051 1,104 1,159 1,217 1,276 1,338 1,403 1,469 1,539 1,611 1,762 2,011 2,288 6 1,062 1,126 1,194 1,265 1,34 1,419 1,501 1,587 1,677 1,772 1,974 2,313 2,7 7 1,072 1,149 1,23 1,316 1,407 1,504 1,606 1,714 1,828 1,949 2,211 2,66 3,185 8 1,083 1,172 1,267 1,369 1,477 1,594 1,718 1,851 1,993 2,144 2,476 3,059 3,759 9 1,094 1,195 1,305 1,423 1,551 1,689 1,838 1,999 2,172 2,358 2,773 3,518 4,435 10 1,105 1,219 1,344 1,48 1,629 1,791 1,967 2,159 2,367 2,594 3,106 4,046 5,234 11 1,116 1,243 1,384 1,539 1,71 1,898 2,105 2,332 2,58 2,853 3,479 4,652 6,176 12 1,127 1,268 1,426 1,601 1,796 2,012 2,252 2,518 2,813 3,138 3,896 5,35 7,288 13 1,138 1,294 1,469 1,665 1,886 2,133 2,41 2,72 3,066 3,452 4,363 6,153 8,599 14 1,149 1,319 1,513 1,732 1,98 2,261 2,579 2,937 3,342 3,797 4,887 7,076 10,147 15 1,161 1,346 1,558 1,801 2,079 2,397 2,759 3,172 3,642 4,177 5,474 8,137 11,974 16 1,173 1,373 1,605 1,8732,183 2,54 2,952 3,426 3,97 4,595 6,13 9,358 14,129 17 1,184 1,4 1,653 1,948 2,292 2,693 3,159 3,7 4,328 5,054 6,866 10,761 16,672 18 1,196 1,428 1,702 2,026 2,407 2,854 3,38 3,996 4,717 5,56 7,69 12,375 19,673 Exemplo: Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 14 Um comerciante consegue um empréstimo de R$60.000,00 que deverão ser pagos, ao fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 2% ao mês. Quanto o comerciante deverá pagar ao fim do prazo combinado? Solução: Sendo, C = 60.000 i = 2% = 0,02 n = 12 Substituindo estes elementos na fórmula do montante, teremos: A tabela de juros compostos dada acima mostra que o Fator F = (1 + 0,02)12 – quando i = 2% e n =12 – equivale a F = 1,268, assim temos: Assim, concluímos que o comerciante pagará a quantia de R$76.080,00. Exercícios de Concursos Resolvidos 6. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) Uma loja de eletrodomésticos está realizando uma promoção em que na compra de qualquer artigo até R$ 1.000,00, o pagamento será em uma única prestação, 6 meses depois. Um consumidor adquiriu mercadorias no valor de R$ 800,00, sendo informado de que a prestação a ser paga, dentro de 6 meses, seria de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros composta cobrada pela loja está situada entre Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 15 a) 6% e 7% b) 5% e 6% c) 4% e 5% d) 3% e 4% e) 2% e 3% Solução: Temos que, C = capital = 800,00 (valor inicial) M = montante = 1.000,00 (valor final) n = período = 6 meses (período para o pagamento) Utilizando a fórmula de Juros Compostos temos, Assim, Perceba que, Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 16 Concluímos então que a taxa mensal de juros composta cobrada pela loja está situada entre 3% e 4%. Item Correto: Item D. 7. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Contador Júnior) Um jovem executivo recebeu R$ 10.000,00 de bonificação por um trabalho bem-sucedido. Decidiu aplicar a quantia em um fundo de investimentos, pelo prazo de 4 meses, a uma taxa composta de 3% ao mês. O valor total que o jovem poderá resgatar, em reais, após esse prazo, é de a) 11.260,00 b) 11.552,90 c) 12.152,29 d) 12.525,19 e) 12.952,25 Solução: Temos que, C = R$10.000,00 i = 3% a.m. = 0,03 n = 4 meses Utilizando a fórmula de Juros Compostos temos, Utilizando a tabela de juros compostos dada acima percebemos que, Assim, Item Correto: Item A. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 17 Capitalização Capitalização nada mais é do que tudo isto que já vimos até agora. Quando acrescemos os Juros a um Capital inicial estamos capitalizando, o que varia é a forma que este capital aumenta. Então agora veremos de forma mais detalhada os Regimes de Capitalização. Regimes de Capitalização O resultado do cálculo dos juros de uma operação financeira dependerá, entre outros fatores, do modo como decidiremos que deve ocorrer a variação destes juros em relação ao prazo da operação. Denomina-se regime de capitalização ao modo escolhido para a variação dos juros em relação ao prazo das operações consideradas. Existem basicamente três regimes de capitalização: Capitalização Simples. Capitalização Composta. Capitalização contínua (Não veremos esta, pois não é cobrada em concursos). Capitalização Simples Os juros de qualquer período constante são sempre calculados sobre o CAPITAL INICIAL, isto é, o capital que foi aplicado inicialmente. Nada mais é do que os Juros Simples já vistos anteriormente. Ou seja, devemos capitalizar os títulos, conforme a fórmula abaixo: N = A (1 + i.n) Onde: N = valor nominal, ou seja, o valor futuro; Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 18 A = valor atual; i = taxa; n = número de períodos que foram capitalizados. Perceba que essa fórmula é a mesma utilizada em juros simples demonstrada na primeira questão deste capítulo: Onde M é o montante, ou seja, o valor futuro a ser encontrado e C é o capital inicial, ou seja, o valor Atual. Nós apenas mudamos as letras que representam, mas é a mesma fórmula. Capitalização Composta Os juros de cada período são calculados sobre o MONTANTE do período anterior, isto é, o CAPITAL INICIAL mais os JUROS ACUMULADOS até então. Nada mais do que os Juros Compostos também já vistos. Ou seja, devemos capitalizar os títulos, conforme a fórmula abaixo: Onde: N = valor nominal, ou seja, o valor futuro; A = valor atual; i = taxa; n = número de períodos que foram capitalizados. Obs.: Cabe aqui, abrir uma observação importante sobre Capitalização Composta (Juros Compostos). Falaremos sobre a Convenção Linear e Exponencial. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 19 Convenção Linear e Convenção Exponencial A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. Esta convenção é, em essência, uma mistura de regime composto e linear, adotando fórmulas de juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples na parte fracionária. A técnica consiste em calcular o montante em duas etapas: 1ª etapa - Calcular o montante composto para o maior número possível de períodos inteiros; 2ª etapa - Acrescentar ao resultado da 1ª etapa os juros simples proporcionais à parte fracionária restante do tempo de aplicação calculada sobre o montante obtido na 1ª etapa do cálculo. Já a convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período. Ou seja, utiliza capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária. Esta convenção é mais generalizadamente usada na prática, sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os períodos não inteiros. (ASSAF NETO, 2001) Obs.: Essas convenções só se aplicam no caso de Juros compostos, pois no caso de Juros Simples quando o número de períodos não é inteiro podemos calcular sem nenhum problema. Exemplo: 1) (HAZZAN, 2007) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante três meses e meio, a taxa de 8% a.m. a) Qual o montante pela convenção exponencial?b) Qual o montante pela convenção linear? Solução: Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 20 a) b) 1º Passo: Calcular a parte inteira: 2ºPasso: Calcular a parte não inteira: Exercícios de Concursos Resolvidos 8.(FCC - 2006 - SEFAZ-PB - Auditor Fiscal de Tributos Estaduais - Prova 1) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a a) R$ 22.755,00 b) R$ 23.780,00 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 21 c) R$ 24.805,00 d) R$ 24.932,05 e) R$ 25.500,00 9. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle Júnior) Um investimento rende juros mensais de taxa 2%, com capitalização mensal. Ao final de 3 meses, o percentual de juros, em relação ao capital inicial, é mais próximo de a) 6,00% b) 6,08% c) 6,12% d) 6,18% e) 6,24% Solução: Quando a questão fala em capitalização mensal quer dizer que são cobrados juros compostos mensalmente. Sabemos que nos Juros Compostos o Montante é calculado da seguinte forma: A questão nos deu que i = 2% = 0,02 e n = 3, assim temos: Temos ainda que, Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 22 – – Ou seja, Os juros equivalem a aproximadamente 6,12% do Capital Inicial Aplicado. Item Correto: Item C. Descontos Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data do seu vencimento. O Documento que atesta a dívida é denominado genericamente por título de crédito. Valor Nominal, ou valor de face, é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do título. Valor Líquido é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes de sua data de vencimento. É sempre menor que o valor nominal, pois o título sofreu um desconto. RESUMINDO: Valor Líquido------------------------- + Desconto --------------------Valor Nominal (Antes do Vencimento) (Prazo de Antecipação) (Vencimento) Desconto Simples O Desconto Simples é o processo de determinação do valor atual de um título mediante utilização do sistema de juros simples. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 23 Dentro do Desconto Simples e também do Composto existem dois subtipos. São dois: 1º) Desconto ´´por dentro``, ou desconto racional, é aquele onde a referência para o cálculo porcentual do desconto é o valor líquido. Desconto por dentro ou racional 100% é o valor líquido ou valor atual (A) Nesse caso, o nosso esquema será Valor Líquido----------------------- + Desconto --------------------------Valor Nominal 100% + d% (100 + d)% Perceba que o d% não é a taxa unitária. Por exemplo, se um título for descontado a juros simples durante 2 meses a uma taxa de 5% a.m. então: Onde, I = taxa porcentual, ou seja, não a taxa unitária (ex.:5% a.m. e não 0,05); n = número de períodos que foram capitalizados. Lembrando que a taxa unitária é achada da seguinte forma: Agora, podemos demonstrar a fórmula do desconto racional a juros simples com uma regra de três simples. Lembrando do esquema acima sabemos que 100% está para o valor líquido (A), assim como (100+d)% está para o valor futuro(N): 100% A Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 24 (100+d)% N Onde: A é o valor líquido, que também pode ser chamado de valor atual. É o título já com o desconto; N é o valor nominal, que também pode ser chamada de valor futuro. É o valor original do título sem ser descontado; d é a taxa porcentual que será descontada do título. ; i é taxa unitária; n = número de períodos que foram capitalizados. 2º) Desconto ´´por fora``, ou desconto comercial, é aquele onde a referência para o cálculo porcentual do desconto é o valor nominal. Desconto por fora ou comercial 100% é o valor nominal Nesse caso, o nosso esquema será Valor Líquido------------------------ + Desconto -------------------------Valor Nominal (100 – d)% + d% 100% Para resolver um problema de desconto simples, tudo que temos a fazer é: Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 25 1º Identificar qual o tipo do desconto no problema, ou seja, se é comercial ou racional; 2º Procurar preencher o “esquema’’ correspondente de acordo com dados do problema; 3º Calcular o valor de que precisarmos, no esquema, usando regra de três. Dica para saber quando é por fora ou por dentro: Pense numa garrafa: O que há dentro dela? O líquido! (por dentro: 100% é o líquido) O que há fora dela? O nome! (por fora: 100% é o nominal) Exemplo: 1. Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 dias (2 meses) antes do vencimento e à taxa de 12% ao mês, resultou em um valor descontado de R$608,00. Solução: A expressão ´´descontado comercialmente`` indica que o desconto é comercial, ou por fora. Logo, o 100% é o valor nominal, o nosso esquema será Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal (100 – 24)% + 24% (60 dias = 2 meses) 100% R$608,00 N Fazendo a regra de três temos, Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 26 100% N 76% R$608,00 Então o valor nominal foi de R$800,00. Exercícios de Concursos Resolvidos 10 .(Auditor Fiscal do Tesouro Nacional - 1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é deR$1.400,00. As condições contratuais preveem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a)R$816,55 b) R$900,00 c) R$945,00 d) R$970,00 e) R$995,00 11. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) Uma empresa obteve um desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes condições: Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de a) 11.660,00 b) 11.460,00 c) 11.400,00 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 27 d) 11.200,00 e) 11.145,00 Solução: Obs.: Perceba que a questão não informou se o desconto é comercial ou racional. Não houve a necessidade, pois o desconto utilizado pelos bancos é sempre o comercial. Obs.2: Duplicatas são títulos de crédito que uma empresa irá receber um pagamento em uma determinada data (vencimento) de outra empresa ou pessoa física por um serviço prestado ou produto vendido. Muitas vezes as empresas detentoras dessas duplicatas procuram os bancos para que estes adiantem a duplicata em troca de um desconto. Então o valor da duplicata descontada é creditado na conta da empresa antecipadamente. Valor Líquido------------------------ + Desconto -------------------------Valor Nominal (100 – 5)% + 5% (2 meses) 100% VL R$12.000,00 100% R$12.000,0 (100 - 5)% VL Resolvendo a regra de três obtemos o seguinte: O valor creditado na conta da empresa é de R$11.400,00. Item Correto: Item C 12. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle Júnior) Uma empresa desconta um título de valor nominal R$ 20.000,00 e Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 28 vencimento em 28 de dezembro em um banco que adota o desconto comercial simples de taxa 4,5% ao mês. Se a antecipação ocorre no dia 10 do mesmo mês, o valor creditado na conta da empresa é igual a a) R$ 19.100,00 b) R$ 19.280,00 c) R$ 19.460,00 d) R$ 19.540,00 e) R$ 19.620,00 Solução: Temos que, Valor Nominal: R$20.000,00 Tempo de Antecipação: 18 dias (do dia 10 ao dia 28 de dezembro) Taxa: 4,5% ao mês Acharemos inicialmente a taxa equivalente (ie) em dias, (%) prazos (dias) 4,5% 30(1 mês) ie 1 resolvendo a regra de três temos, Montando a tabela do desconto comercial simples, Valor Líquido------------------------ + Desconto -------------------------Valor Nominal (100 - 18.0,15)% + 18.0,15% (18 dias) 100% VL R$20.000,00 100% R$20.000,0 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 29 (100 – 18.0,15)% VL Resolvendo a regra de três obtemos o seguinte: – o valor creditado na conta da empresa é igual a R$19.460,00 Item Correto: Item C Obs.: Não encontrei questões da CESGRANRIO que envolvesse DESCONTO SIMPLES RACIONAL, então adicionei aqui questões sobre esse tema que poderiam ser muito bem da CESGRANRIO. 13. Um título com valor nominal de R$3.200,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, com um desconto racional simples à taxa de 30%a.m. De quanto foi o valor pago pelo título? a) R$2.000,00 b) R$1.920,00 c) R$1.280,00 d) R$1.200,00 e) R$1.180,00 Solução: Temos, Valor Nominal: R$3.200,00 Tempo de Antecipação: 2 meses i = 30% a.m. Valor Líquido------------------------ + Desconto ------------------------Valor Nominal 100% + 60%(2 meses) (100 + 60)% VL R$3.200,00 Resolvendo a regra de três temos, Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 30 O valor pago pelo título foi R$2.000,00 Item Correto: ITEM A 14. Qual o prazo de antecipação de um título que, descontado racionalmente, à taxa de juros de 4% a.m., produziu um desconto de R$300,00 se o seu valor nominal era de R$1.800,00? a) 4 meses e 5 dias b) 5 meses c) 5 meses e 10 dias d) 5 meses e 15 dias e) 5 meses e 20 dias Solução: Temos, Valor Nominal: R$1.800,00 Desconto Concedido: R$300,00 Valor Líquido: R$1.800,00 – R$300,00 = R$1.500,00 i = 4% a.m. Valor Líquido------------------------ + Desconto ------------------------Valor Nominal 100% + n . 4%(n meses) (100 + n.4)% R$1.500,00 R$300,00 R$1.800,00 Resolvendo a regra de três temos, O prazo de antecipação do título foi de 5 meses Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 31 Item Correto: ITEM B Desconto Composto O Desconto Composto é o processo de determinação do valor atual de um título mediante utilização do sistema de juros compostos. Ele também se divide em mais dois tipos: O Desconto Racional Composto e o Desconto Comercial Composto. 1º) Desconto Racional Composto Denomina-se desconto racional composto à taxa i, com n períodos de antecipação, à diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) do título: Sabemos também que onde D é o desconto concedido. Exercícios de Concursos Resolvidos 16. (CESGRANRIO - 2008 - BNDES - Técnico de Arquivo) Uma nota promissória cujo valor de face é R$ 12.100,00 foi saldada dois meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto racional composto utilizada foi de 10% ao mês. Imediatamente após receber o pagamento, o credor da nota promissória aplicou todo o dinheiro recebido à taxa de juros compostos de 44% ao bimestre com capitalização mensal. Dois meses após a aplicação, o montante obtido pelo credor, em reais, corresponde a a) 13.800,00 b) 13.939,20 c) 14.400,00 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para ConcursosContato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 32 d) 14.407,71 e) 14.884,00 Solução: Temos que, N = R$12.100,00 (O valor de Face é o valor Nominal) n = 2 (2 meses) i = 10% a.m. Utilizando a fórmula de DESCONTO RACIONAL COMPOSTO temos O valor descontado foi de R$10.000,00. Vamos calcular qual o montante após os dois meses de aplicação, sabendo que: C = A = R$10.000,00 (pois o valor da aplicação inicial é justamento o valor descontado) n = 2 (2 meses) i = 22%a.m. (44% ao bimestre com capitalização mensal – 44% é uma taxa nominal, e 22% é a taxa efetiva correspondente – na aula 2 ensinaremos sobre essas duas taxas. Por enquanto basta que você saiba que 22% a.m. é a taxa efetiva) Utilizando a fórmula de Capitalização Composta (Juros Compostos): Logo o valor do Montante obtido foi de R$14.884,00. Item Correto: Item E Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 33 2º) Desconto Comercial Composto Podemos dizer que um título de Valor Nominal N descontado pelo critério do desconto comercial composto, com n períodos antes do seu vencimento e a uma taxa igual a i por período apresentará um valor atual (ou líquido) A igual a: Exercícios de Concursos Resolvidos 17. (CESGRANRIO - 2008 - ANP - Analista Administrativo - Contabilidade) A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o ano comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo Banco na conta corrente da empresa, em reais, foi a) 28 888,08. b) 28.808,88. c) 27.062,61. d) 26.062,12. e) 26.026,21. Solução: Temos que N (valor nominal) = 28.800 i (taxa) = 2,5% ao mês n (tempo de antecipação) = 120 dias ou 4 meses Como foi descontado em um banco o desconto é comercial e foi dado que os juros são compostos, logo – O Valor Líquido é R$26.026,21. ITEM CORRETO: ITEM E. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 34 18. (CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Contabilidade) A Empresa Deltamática Ltda. descontou no banco um título no valor de R$ 18.000,00, com prazo de vencimento de 3 meses, a uma taxa de desconto composto de 2% ao mês. O valor líquido liberado pelo banco, em reais, foi de a) 16.861,40 b) 16.941,45 c) 16.941,77 d) 17.123,56 e) 17.899,99 Solução: Temos que N (valor nominal) = 18.000 i (taxa) = 2% ao mês n (tempo de antecipação) = 3 meses Como foi descontado em um banco o desconto é comercial e foi dado que os juros são compostos, logo – O Valor Líquido é R$16.941,45. ITEM CORRETO: ITEM B. 19. (CESGRANRIO - 2008 - Caixa - Escriturário) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D - d, em reais, vale a) 399,00 b) 398,00 c) 397,00 d) 396,00 e) 395,00 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 35 Solução: Temos que, N = R$24.200,00 n = 2 meses i = 10% a.m. Vamos achar o valor Líquido e o desconto (d) no caso de desconto racional(ou por dentro): E o desconto é – – Agora vamos achar o valor líquido no Desconto Comercial Composto: – E o desconto é – – A questão pede D – d, logo – – – Item Correto: ITEM B. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 36 2. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente Taxas Efetivas e Taxas Nominais Taxa Efetiva Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros coincide com a unidade de tempo do período de capitalização dizemos que a taxa é efetiva. Exemplo: Taxa de 2% ao mês com capitalização mensal Taxa Nominal É aquela cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. Exemplo: Juros de 72% ao ano, capitalizados mensalmente. Conversão da Taxa Nominal em Taxa Efetiva. A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor da taxa nominal proporcionalmente ao período de capitalização. Isto pode ser feito com uma regra de três simples e direta. Por exemplo, no caso anterior teríamos: 72% 12 meses X 1 mês Resolvendo teríamos, 12 . x = 1 . 72 x = 72/12 x = 6%a.m(taxa efetiva) Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 37 Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes Taxa de Juros Proporcionais Duas taxas são ditas proporcionais quando seus valores são proporcionais aos seus respectivos prazos. Exemplo: As taxas de 36% ao ano e de 3% ao mês são proporcionais. Isso pode ser comprovado verificando uma regra de três direta: (%) prazos (em meses) 36 12 3 1 36%x1 = 3%x12 36% = 36% A igualdade obtida confirma que 36% estão para 12 meses assim como os 3% estão para 1 mês, ou seja, as taxas são proporcionais. Taxas de Juros Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a capitais iguais, por prazos iguais, produzem juros também iguais e conseqüentemente o mesmo montante. Exemplo1: 1. A aplicação de uma dada quantia qualquer, por certo período, à taxa de juros simples de 2% ao mês nos daria um total de juros igual àquele que obteríamos se aplicássemos a mesma quantia, durante o mesmo tempo, mas à taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Então dizemos que a taxa de juros simples de 2% a.m. é equivalente à taxa de juros simples de 6% a.t. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 38 Perceba que 2% a.m. e 6% a.t. são também proporcionais, pois no regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais e vice- versa. No caso de Juros Simples, achar a taxa equivalente é mais simples que no Regime de Juros Compostos, pois basta achar a taxa proporcional. Mais àfrente mostraremos como achar Taxas Equivalentes no regime de Juros Compostos. Obs.: A vantagem de se achar a taxa equivalente é que muitas vezes as questões nos dão prazos em unidades diferentes da que se encontra na taxa. Por exemplo, quando a questão dá que o período de aplicação é de 120 dias e que a taxa é de 9% a.m. Exemplo2: Qual a taxa trimestral de juros compostos equivalente à taxa composta de 20% a.m.? Solução: Pretendemos determinar uma taxa trimestral (t) equivalente a uma taxa mensal(m) dada (m = 0.20). Como 1 trimestre equivale a 3 meses, teremos 1 e 3 como expoentes: M = C . (1 + i)n (fórmula fundamental dos juros compostos) Como o Montante das duas taxas tem que ser iguais, podemos dizer que C. (1 + t)1 = C . (1 + m)3 (1 + t)1 = (1 + m)3 (1 + t) = 1,203 = 1,728 t = 1,728 - 1 = 0,728 t = 72,8% a. t. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 39 Exercícios de Concursos Resolvidos 1. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é a) 19,58% b) 19,65% c) 19,95% d) 20,00% e) 21,55% Solução: Sendo: a = taxa anual t = taxa trimestral = 5% = 0,05 Para acharmos a taxa anual equivalente a taxa composta trimestral devemos igualar os seguintes termos: (1 + a)1 = (1 + t)4 Colocamos o expoente 4 (quatro) porque em um ano há 4 trimestres. Assim, (1 + a)1 = (1 + 0,05)4 1 + a = 1,054 = 1,2155 a = 1,2155 – 1 = 0,2155 a = 21,55% ITEM CORRETO: ITEM E 2. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, monta a Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 40 a) 12,68% b) 12,75% c) 12,78% d) 12,96% e) 13,03% Solução: Quando temos uma taxa nominal de X% ao ano com capitalização mensal, obtemos a taxa efetiva dividindo X% por 12. iefetiva a.m. = (inominal a.a.) / 12 iefetiva a.m. = 0,12 / 12 iefetiva a.m. = 0,01 ou 1% a.m. Agora que temos a taxa efetiva mensal, podemos encontrar a taxa efetiva anual equivalente(ia). A taxa anual é a taxa efetiva mensal capitalizada 12 vezes, ou seja, são taxas equivalentes: (1 + ia) = (1 +im) 12 (1 + ia) = (1 + 0,01) 12 (1 + ia) = (1,01) 12 Ele nos informou que (1,01)11 = 1,1157; sabemos que Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 41 (1,01)12 = (1,01)11. (1,01) 1 então: (1 + ia) = (1,01) 11 . (1,01)1 (1 + ia) = 1,1157 . 1,01 (1 + ia) = 1,126857 ia = 1,126857 – 1 ia = 0,126857 ou 12,68% Taxa Over Denominamos taxa over a taxa nominal igual a 30 vezes a taxa efetiva diária de uma operação financeira cuja remuneração ocorra somente para os dias úteis do período da operação, sendo comum indicá-la somente como um percentual. Exemplo: Uma operação financeira com prazo de 31 dias corridos tem uma taxa over de 15%. Qual é a taxa efetiva desta operação se, neste período, houver apenas 22 dias úteis? Solução: A taxa efetiva diária é: 15% / 30 = 0,5% A taxa efetiva correspondente à taxa over considera apenas os dias úteis. Desta forma, a taxa efetiva da operação será a taxa de 22 dias equivalente à taxa diária encontrada. Chamando de i a taxa efetiva da operação, temos: (1 + i) = (1 + 0,005)22 (1 + i) = 1,11597 i = 0,11597 = 11,597% Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 42 Taxa Real e Taxa aparente Consideremos que um banco tenha oferecido uma determinada aplicação pagando uma taxa efetiva de 10% a.a.. Se no mesmo período for registrada uma inflação da ordem de 6%a.a., então diremos que a taxa de 10%a.a. oferecida pelo banco não foi a taxa real de remuneração do investimento mas uma taxa aparente, pois os preços, no mesmo período, tiveram um aumento de 6%. Se compararmos o que ocorreria com dois investimentos de R$100,00, o primeiro sendo remunerado à taxa de 10% a.a. e o segundo recebendo apenas a correção monetária devida à inflação de 6% a.a., teremos: Montante da aplicação a juros de 10%: M = C . (1 + i)n M = 100 . (1 + 0,10)1 M = 100 . 1,10 = 110,00 Montante da aplicação sujeita apenas à taxa de correção monetária de 6%: M = C . (1 + i)n M = 100 . (1 + 0,06)1 M = 100 . 1,06 = 106,00 Se o investidor recebesse, ao fim do investimento exatamente R$106,00 não teria havido ganho nenhum, pois o único acréscimo recebido teria sido o da correção monetária. Como o investidor recebeu R$110,00, o seu ganho real foi de R$4,00 em relação a R$106,00 que é o valor atualizado dos R$100,00 de um ano atrás. Assim temos: Obs.: Observe que, ao contrário do que possa parecer a princípio, a taxa aparente iA não é igual à soma da taxa de inflação ii com a taxa iR. Sendo: iA taxa aparente iR taxa real ii taxa da inflação Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 43 Precisamos então perceber o seguinte fato no exemplo anterior: M = C . (1 + iR) n (O ´´C`` neste caso é o valor ajustado com a inflação) 110 = 106 . (1 + iR) n Generalizando, lembre-se que 110 = C0 . (1 + iA) n e 106 = C0 . (1 + ii) n , sendo ´´C0`` o capital inicial sem o reajuste da inflação. Substituindo teríamos: 110 = 106 . (1 + iR) n C0 . (1 + iA) n = C0 . (1 + ii) n . (1 + iR) n (1 + iA) n = [(1 + ii) . (1 + iR)] n Cortando o C0 dos dois lados ficamos com (1 + iA) = (1 + ii) . (1 + iR) 1 + iA = 1 + iR + ii + iR . ii iA = iR + ii + iR . ii Com essa fórmula podemos achar facilmente a taxa real. Exercícios de Concursos Resolvidos 3. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria Interna) A Empresa Comercial Parton Ltda., obteve um empréstimo no Banco Novidade S/A com as seguintes condições: Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 44 Considerando-se exclusivamente os dados acima, as taxas efetiva e real da operação para a Comercial Parton, foram, respectivamente, de a) 16,67% e 14,65% b) 16,33% e 13,65% c) 15,35% e 12,15% d) 14,75% e 11,41% e) 14,25% e 11,35% Solução: Nessa questão a CESGRANRIO pede a taxa efetiva, mas não fala se é mensal , trimestral e nenhuma outra. Quando ela não diz, temos que considerar que ela quer a taxa como um todo, ou seja, taxa de juros no período fornecido. Outra observação importante é identificar quem é o montante e o capital inicial envolvido. A CESGRANRIO considera a taxa de abertura de crédito como parte do capital inicial, ou seja, o capital inicial seria: C = R$30.000,00 + R$500,00 C = R$30.500,00 O Montante realmente é o valor pago no finaldo empréstimo (M = R$35.000,00). Então, colocando de outra maneira temos: C = R$30.500,00 M = R$35.000,00 n = 1 trimestre (A questão pede a taxa como um todo, logo n = 1). M = C . (1 + i)n 35000 = 30500 . (1 + iefetiva) (1 + iefetiva) = 35000 / 30500 (1 + iefetiva) = 1,1475 iefetiva = 0,1475 = 14,75% Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 45 Achamos a taxa efetiva solicitada, o que nos remete ao item D, mas iremos também encontrar a taxa real. A taxa efetiva encontrada na verdade é também a taxa aparente, pois houve inflação no período indicado, logo vamos utilizar a seguinte relação para encontrar a taxa real: (1 + iA) = (1 + ii) . (1 + iR) (1 + 0,1475) = (1 + 0,03) . (1 + iR) 1 + iR = 1,1475 / 1,03 iR = 1,1141 – 1 iR = 0,1141 = 11,41% Logo a taxa real é de 11,41%. ITEM CORRETO: ITEM D 4. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Auditor Júnior) Uma aplicação financeira é realizada em período com inflação de 2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no período foi de a) 3,02% b) 3,10% c) 8,10% d) 8,24% e) 8,32% Solução: Temos que ii = 2,5% = 0,025 iR = 5,6% = 0,056 Utilizando a seguinte relação: iA = iR + ii + iR . ii iA = 0,056 + 0,025 +0,056 . 0,025 iA = 0,0824 = 8,24% ITEM CORRETO: ITEM D Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 46 5. (CESGRANRIO - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse investimento foi a) 0,5%. b) 5,0%. c) 5,5%. d) 10,0%. e) 10,5%. Solução: Obs.: variação nominal é sinônimo de Taxa Efetiva Podemos obter o resultado utilizando a conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação. iA = iR + ii + iR . ii 0,155 = iR + 0,05 + iR . 0,05 0,155 – 0,05 = iR . (1 + 0,05) 0,105 = iR . 1,05 iR = 0,105/1,05 = 0,1 = 10% ITEM CORRETO: ITEM D 6. ( ESPP - 2012 - BANPARÁ - Técnico Bancário) A taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 10% ao ano no período de capitalização semestral é: a) 10% b) 5,125% c) 21% d) 12,5% e) 10,25% Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 47 7. (FMP-RS - 2011 - TCE-RS - Auditor Público Externo - Administração) A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 18% ao semestre capitalizados mensalmente é a) 15,08%. b) 21,49%. c) 25,66%. d) 19,41%. e) 42,58%. 8. (FGV - 2011 - SEFAZ-RJ - Auditor Fiscal da Receita Estadual - prova 1) Em um período de um ano, a taxa aparente de juros foi de 15%, e a taxa de inflação, de 5%. Assim, a taxa real foi de a) 9,52%. b) 8,95%. c) 10,00%. d) 7,50%. e) 20,75%. 9. (FCC - 2011 - TRE-RN - Analista Judiciário - Contabilidade) Um investimento no valor de R$ 200.000,00 é realizado no início de um determinado ano. No final deste ano, o montante referente a este investimento é resgatado totalmente, e o seu valor foi de R$ 238.560,00. Se a taxa de inflação no período deste investimento foi de 12%, então a taxa aparente e a taxa real correspondentes no mesmo período foram iguais a, respectivamente, a) 18,50% e 7,28%. b) 18,50% e 6,50%. c) 19,28% e 7,28%. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 48 d) 19,28% e 6,78%. e) 19,28% e 6,50%. 10. (CESPE - 2008 - TJ-DF - Analista Judiciário - Área Administrativa) Em um regime de juros simples, taxas proporcionais são taxas equivalentes. Certo Errado 11. (CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Profissional Júnior - Administração) Taxas equivalentes constituem um conceito que está dire- tamente ligado ao regime de juros a) compostos b) nominais c) proporcionais d) reais e) simples 12. (CESPE - 2011 - BRB - Escriturário) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir. No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$ 172,00. Certo Errado 13. (IESES - 2012 - CRF-SC - Contador) Assinale a alternativa correta: a) A taxa de juros de 9% ao mês capitalizado mensalmente é exemplo de uma taxa nominal. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 49 b) Em juros simples as taxas equivalentes e as proporcionais são sempre iguais. c) Uma aplicação em juros compostos sempre gera um montante maior do que em juros simples. d) Uma série de pagamentos periódica apresenta diferentes intervalos de tempo entre as parcelas a serem pagas. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 50 3. Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Amortização de uma dívida é o processo de extinção progressiva da dívida através de prestações que deverão ser pagas periodicamente. As prestações devem ser suficientes para restituir o capital financiado bem como pagar os juros originados pelo financiamento do capital. Os diferentes critérios utilizados para a composição dos valores das parcelas são chamados de sistemas de amortização. Ao estudarmos um sistema de amortização, é útil considerarmos cada prestação como sendo o resultado da soma de duas partes componentes básicas: juro e cota de amortização. Valor da prestação = (juro) + (cota de amortização) Sistema Francês ou Price O valor da prestação R é constante e periódico, podendo ser obtido pela fórmula baixo, onde P é o valor financiado (principal): Sendo: R o valor da prestação P o valor financiado i taxa utilizada n número total de parcelas O juro pago em uma dada prestação é sempre calculado sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior, sendo menor a cada nova prestação. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 51 Existe tabela PRICE para achar facilmente a fórmula dada indicada pelo símbolo: Que na fórmula ficaria da seguinte forma: A tabela é a seguinte: Exercícios de Concursos Resolvidos 1. (FCC - 2007 - MPU - Analista - Atuarial) Nascimento emprestou junto ao Banco Crescente S.A. a quantia de R$ 50.000,00 para comprar sua primeira casa. O sistema de amortização pactuado no contrato é o Sistema de Amortização Francês (Sistema Price), a uma taxa de juros de 10% a.a., com pagamento em 5 parcelas anuais de (em R$) a) 13.190,00 b) 15.000,00 c) 16.105,10 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato:igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 52 d) 16.589,83 e) 16.805,05 Solução: Temos que, P = R$50.000,00 n = 5 i = 10% a. a. Utilizando a fórmula do sistema francês(price): R = 50000 . 0,26380 R = 13.190,00 ITEM CORRETO: ITEM A 2. (FCC - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 deverá ser pago por meio de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da concessão do empréstimo. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) com uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, encontrando- se R$ 17.468,00 para o valor de cada prestação. Imediatamente após o pagamento da primeira prestação, se S representa o percentual do saldo devedor com relação ao valor do empréstimo, então a) 77% < S < 78% b) 78% < S < 79% c) 79% < S < 80% d) 80% < S < 81% e) 81% < S < 82% Solução: Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 53 Temos que, P = R$80.000,00 n = 5 i = 3% a.m. R = R$17.468,00 Após 1 mês da concessão do empréstimo o saldo devedor imediatamente antes do pagamento da parcela é de(vamos abreviar Saldo Devedor por SD): SD = 80000 . (1 + i)1 SD = 80000 . 1,03 SD = 82400 Logo, os juros gerados neste mês foram de: J = 82400 – 80000 J = R$2.400,00 Assim, como foi pago neste mês a quantia de R$17.468,00 , sendo que R$2.400,00, que está dentro dessa parcela, corresponde aos juros, sobrando somente A = 17468 – 2400 A = R$15.048,00 Que corresponde ao valor que abaterá da dívida original, gerando um novo saldo devedor: SD1 = P – A SD1 = 80000 – 15048 SD1 = R$64.952,00 Fazendo a divisão de SD1 por P achamos a porcentagem do novo saldo devedor em relação ao valor do empréstimo original: 64952 / 80000 = 0,8119 = 81,19% ITEM CORRETO: ITEM E Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 54 3. (FCC - 2006 - Banco do Brasil - Escriturário - 001 - DF) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe- se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60 Solução: Temos que, P = R$15.000,00 n = 10 i = 24% a.a. (nominal) = 2% a.m. (efetiva) Pessoal, o fator de recuperação nada mais é do que o fator da tabela price: Assim, a questão já deu que, Então, utilizando a fórmula Price, temos: R = 15000 . 0,111 R = 1665 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 55 Acabamos de achar o valor o valor das parcelas, agora precisamos achar o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 1ª parcela, para que possamos calcular os juros gerados do 1º ao 2º mês. Lembre-se do seguinte gráfico: E lembre-se também que Jn representa o juros de cada parcela e que An representa o valor de amortização da dívida, sendo que Jn + An = R J1 = P. i J1 = 15000 . 0,02 J1 = 300 E como Jn + An = R, A1 = R – J1 A1 = 1665 – 300 A1 = 1365 E como o valor amortizado na primeira parcela foi de R$1.365,00, o no Saldo Devedor fica: SD1 = 15000 – 1365 SD1 = 13635 E o juros que esse saldo vai gerar do 1º ao 2º mês é de: J2 = 13635 . 0,02 J2 = 272,70 ITEM CORRETO: ITEM B Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 56 Sistema de amortização Constante (SAC) A cota de amortização é constante em todas as prestações e o juro pago em cada uma das prestações corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do período anterior. Como o saldo devedor decresce a cada período, o valor do juro vai ficando menor a cada prestação que, assim, apresentará valores decrescentes. Assim, para se calcular a cota constante basta dividir o P por n. Para se achar o juros de um certo período basta achar o saldo devedor e calcular o juros imediatos a ele. Exercícios de Concursos Resolvidos 4. (CESGRANRIO - 2010 - ELETROBRÁS - Administrador) Um empréstimo de R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de a) 200,00 e 800,00 b) 200,00 e 900,00 c) 300,00 e 700,00 d) 300,00 e 800,00 e) 300,00 e 900,00 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 57 Solução: Temos que, P = R$1.000,00 i = 10% a.a. n = 5 Vamos então achar a cota constante da parcela: A = 1000/5 A = 200 Lembrando do seguinte gráfico, vamos achar J1 J1 = P . i J1 = 1000 . 0,1 J1 = 100 Assim, o valor da primeira parcela será: R1 = A + J1 R1 = 200 + 100 R1 = 300 E o novo saldo devedor será SD1 = P – A SD1 = 1000 – 200 SD1 = 800 ITEM CORRETO: ITEM D Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 58 5. (CESGRANRIO - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em a) 100% b) 50% c) 25% d) 10% e) 5% Solução: P = R$100.000,00 n = 100 i = 1% a.m. Vamos calcular a prestação inicial baseada nos dados acima, A = 100000 / 100 A = 1000 Achemos agora o juros da 1ª parcela: J1 = P . i J1 = 100000 . 0,01 = 1000 Logo a prestação inicial será: R1 = J1 + A R1 = 1000 + 1000 R1 = 2000 Agora, vejamos o caso para n = 200 (o dobro): A = 100000 / 200 A = 500 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 59 E, J1 = P . i J1 = 100000 . 0,01 = 1000 Logo a nova prestação inicial será: R1 = J1 + A R1 = 1000 + 500 R1 = 1500 Ou seja, uma diminuição de 500, que representa 500/2000 = 0,25 = 25% Logo, se dobrarmos o número de parcelas, diminuímos em 25%o valor da prestação inicial. ITEM CORRETO: ITEM C 6. (CESGRANRIO - 2008 - Caixa - Escriturário) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 Solução: Temos que, P = 200,00 n = 4 i = 10% a.m. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 60 Assim, A = 200 / 4 A = 50,00 O saldo da devedor da 3ª parcela já foi amortizado duas vezes, pois já foi pago duas parcelas e como a cada parcela sempre é amortizado o mesmo valor de A temos que o saldo devedor após o pagamento de duas parcelas é: SD3 = 200 – 50 . 2 SD3 = 100 Logo os juros da 3ª parcela é de: J3 = SD3 . J3 = 100 . 0,1 J3 = 10 Assim a 3ª parcela será R3 = A + J3 R3 = 50 + 10 R3 = 60 ITEM CORRETO: ITEM C Sistema de amortização misto (SAM) Neste sistema, cada uma das prestações é a média aritmética das prestações correspondentes calculadas pelo Sistema Francês e pelo SAC. O juro pago em cada prestação corresponde ao total de juro sobre o saldo devedor do período anterior. Em consequência, tanto a componente do juro quanto a da cota de amortização de uma da parcela serão também as médias aritméticas dos valores correspondentes pelos sistema Francês e SAC. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 61 Exemplo: 1. Um empréstimo de R$5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações pelo SAM, com juros de 5% a.m. Qual será o valor da 7ª prestação? Solução: 1º) Cálculo da 7ª prestação no Sistema Francês P = 5000 i = 5% n = 10 Utilizaremos a tabela price para achar o valor do fator : Logo, R = 5000 . 0,12950 = 647,50 2º) Cálculo da 7ª prestação pelo SAC Cada prestação é composta de uma cota de amortização (que é constante no SAC) mais o juro sobre o saldo devedor do período anterior. Cota de amortização Valor do juro na 7ª parcela: Se estamos calculando os juros sobre a 7ª parcela significa que já foi paga até a 6ª parcela, ou seja, como a cota de amortização é constante então foi amortizado da dívida total 6 x A = 6 x 500,00 = 3000,00 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 62 Logo o Saldo Devedor é de 5000 – 3000 = 2000 Assim o juros do Saldo devedor do 6º para o 7º mês foi de J = 2000 x i J = 2000 x 0,05 J = 100,00 Valor da 7ª prestação pelo SAC: R7 = A + J7 R7 = 500 + 100 = 600,00 3º) Cálculo da 7ª prestação pelo SAM É a média aritmética entre as prestações correspondentes pelos sistemas Francês e SAC: Exercícios de Concursos Resolvidos 7. (CESGRANRIO - 2013 - BNDES - Profissional Básico - Engenharia) Um banco concedeu a uma empresa de pequeno porte um empréstimo no valor de R$ 50.000,00, cujo contrato prevê um pagamento de 5 prestações mensais postecipadas pelo sistema de amortização misto (SAM), à taxa de juros de 4% ao mês. Sabendo-se que pelo sistema francês de amortização (Price) a amortização da 1a parcela será de R$ 9.231,36, o valor da 2a prestação que a empresa deverá pagar, de acordo com o contrato, será, em reais, de a) 11.231,36 b) 11.415,68 c) 11.600,00 d) 11.615,68 e) 12.000,00 Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 63 Sistema Americano de Amortização O sistema americano de amortização é aquele no qual o valor das prestações , que são periódicas, corresponde apenas aos juros do período, exceto na última prestação em que o total financiado é acrescido ao pagamento dos juros, amortizando integralmente a dívida. Sinking Fund O tomador do empréstimo pode formar um fundo de reserva (ou sinking fund) reservando, periodicamente, certa quantia, de tal modo que, na data do pagamento da parcela final do empréstimo, esse fundo de reserva tenha acumulado um montante suficiente para amortizar o valor total financiado. Sistema americano com Sinking Fund a Uma e a Duas Taxas Quando a taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva é igual à taxa do empréstimo, dizemos tratar-se de sistema americano a uma taxa. Quando a taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva é diferente, dizemos tratar-se de sistema americano a duas taxas. Valor da provisão mensal para formação do Sinking Fund: Utiliza-se a fórmula acima para se achar o valor que deverá ser provisionado para a formação do Sinking Fund, onde: P Valor total do empréstimo R Valor da provisão mensal n número de depósitos de provisão i taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 64 E o fator Pode ser calculado utilizando a seguinte tabela: Exercícios de Concursos Resolvidos 8. (FUNIVERSA - 2010 - SEJUS-DF - Especialista em Assistência Social - Ciências Contábeis) Uma dona de casa fez um empréstimo que será pago segundo o sistema americano de amortizações. Sabendo que o valor do empréstimo foi de R$ 28.926,82, e a taxa cobrada pela instituição financeira foi de 3,457% ao mês, o valor do juro mensal a ser pago por essa dona de casa será de, aproximadamente, a) R$ 9.000,00. b) R$ 6.000,00. c) R$ 4.000,00. d) R$ 2.000,00. e) R$ 1.000,00. Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos Contato: igor.iam@hotmail.com _____________________________________________________________________________ 65 9. Um empréstimo no valor de R$200.000,00 deve ser pago pelo sistema americano em 24 prestações mensais. Considerando uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m., o valor da 5ª prestação será igual a: a) R$1.100,00 b) R$1.200,00 c) R$1.400,00 d) R$2.400,00 e) R$4.600,00 Solução: Todas as parcelas do sistema americano são iguais tirando a última, que é amortizado o valor integral. Todas as parcelas correspondem apenas ao valor dos juros gerados no mês. Como em todo mês é pago apenas os juros o valor do Saldo Devedor é sempre o mesmo, ou seja, o valor integral do empréstimo. Assim, n n Repetindo, como toda prestação corresponde ao valor dos juros, o valor da 5ª parcela é também R$2.400,00. ITEM CORRETO: ITEM D 10. (CESGRANRIO - 2010 - ENGENHEIRO(A) DE PRODUÇÃO JÚNIOR - PETROBRÁS) Para desenvolver uma tecnologia inovadora na produção de biocombustível, determinada companhia obteve empréstimo de R$ 100.000.000,00 junto a uma instituição financeira internacional. Fixou-se que os juros deveriam ser pagos semestralmente, calculados à taxa efetiva de 20% a.a., e o principal da dívida contraída seria quitado em uma única parcela, a ser amortizada integralmente ao final do prazo acordado.
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