Lista 2 - Geometria Analítica

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Geometria e Representação Gráfica
Profa. Msc. Paula de Oliveira Ribeiro
Lista 2 de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial I - 2013.2
Produto misto e reta
1. Dados os vetores ~u = (3,−1, 1), ~v = (1, 2, 2) e ~w = (2, 0,−3). Calcule:
(a) ~u · (~v × ~w) (b) ~w · (~u × ~v) (c) ~v · (~w × ~u)
2. Verifique se são coplanares os seguintes vetores:
(a) ~u = (3,−1, 2), ~v = (1, 2, 1) e ~w = (−2, 3, 4)
(b) ~u = (2,−1, 0), ~v = (3, 1, 2) e ~w = (7,−1, 2)
3. Sejam os vetores ~u = (1, 1, 0),~v = (2, 0, 1), ~w1 = 3~u−2~v, ~w2 = ~u+3~v e ~w3 =~i+~j−2~k = (1, 1,−2).
Determinar o volume do paralelepípedo definido pelos vetores ~w1, ~w2 e ~w3.
Figura 1 – Figura do exercício 3.
4. Verifique se os pontos P1 = (5,−5, 6) e P2 = (4,−1, 12) pertencem à reta:
r: x−3−1 =
y+1
2 =
z−2
−2
5. Determine uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2,−3, 4) e B(1,−1, 2) e veri-
fique se os pontos C(5/2,−4, 5) e D(−1, 3, 4) pertencem a r.
6. Dada a reta r:(x, y, z) = (−1, 2, 3) + t(2,−3, 0), escreva equações paramétricas de r.
1
7. Dada a reta:
x = 2 + t
r: y = 3 − t
z = −4 + 2t,
determine o ponto P(x, y, z) de r tal que:
(a) a ordenada (coordenada do eixo y) seja 6;
(b) a abscissa (coordenada do eixo x) seja igual à ordenada;
(c) a cota (coordenada do eixo z) seja o quádruplo da abscissa.
8. Com base na figura ??, escreva equações paramétricas da reta que passa pelos pontos 1:
(a) A e B;
(b) C e D;
(c) A e D;
(d) B e C;
(e) D e E;
(f) B e D;
Figura 2 – Figura do exercício 8.
9. Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0,−5) e tem a direção do
vetor ~v = (2, 2,−1).
10. Determine as equações simétricas da reta determinada pelos pontos A(0, 1, 3) e B(2, 0, 4).
11. Calcule o ângulo entre as retas:
x = 2 − t
r1: y = 3 − t e r2: x+2−2 = y−31 = z1 .
z = −4 + 2t
12. Determine o valor de n para que seja de 30◦ o ângulo entre as retas:
r1: x−24 =
y
5 =
z
3 e r2: y = nx + 5
z = 2x − 2.
13. Obtenha equações reduzidas na variável2 x, da reta:
1 Ou seja, ~v será o vetor formado pelos respectivos 2 pontos.
2 Exemplo: Da reta y = ax + b, x é a variável.
2
(a) que passa pelo ponto A(4, 0,−3) e tem a direção do vetor ~v = (2, 4, 5);
(b) pelos pontos A(1,−2, 3) e B(3,−1,−1);
(c) pelos pontos A(−1, 2, 3) e B(2,−1, 3);
(d) dada por: x = 2 − t, y = 3t e z = 4t − 5.
14. Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos
pontos P1(−1, 0, 3) e P2(1, 2, 7).
15. Dadas as retas:
x = t
r1: x−12 = −y; z = 3 e r2: y = −1 + t
z = 2 + t
encontrar equações reduzidas na variável x da reta que passa por A(0, 1, 0) e pelo pelo ponto de
interseção de r1 com r2.
16. A reta que passa pelos pontos A(−2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada porC(3,−1,−1)
e D(0, y, z). Determine o ponto D.
17. A reta:
r :
{
y = mx + 3
z = x − 1
é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0,m) e B(−2, 2m, 2m). Calcule o valor de m.
18. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
(a) r:
{
y = 2x + 3
z = 3x − 1 e s:
x−1
2 =
y
−1 =
z
m .
(b) r:
{
x = −1
y = 3 e s:
{
y = 4x − m
z = x
(c) r: x−mm =
y−4
−3 ; z = 6 e s:
{
y = −3x + 4
z = −2x
19. Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas.
(a) r:
{
y = 2x − 5
z = −x + 2 e s: x − 5 =
y
m = z + 1.
(b) r:

x = m − t
y = 1 + t
z = 2t
e s: x−13 = y + 2 =
z
−2 .
3
20. Calcule a distância do ponto P(1, 0, 1) à reta r : (0, 0, 3) + t(1, 2, 0) = (t, 2t, 3), onde t ∈ R.
21. Calcule a distância entre as retas:
r : (0, 1, 0) + t(1, 1, 2)
s : (0, 0, 1) + t(1, 1, 0).
4