Ressonância/Ondas Estacionarias

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RESSONÂNCIA 
Existem	três	+pos	básicos	de	ondas	estacionárias	que	podem	se	formar	em	uma	
sala.	O	modo	axial	(A)	envolve	reflexões	provenientes	de	apenas	um	par	de	
super@cies.	O	modo	tangencial	(B)	envolve	dois	pares	de	super@cies.	O	modo	
obliquo	(C)	envolve	seis	super@cies.	Os	modos	axiais	são	os	de	maior	significação	
prá+ca	em	salas	se	escuta	pequenas	e	pequenos	estúdios.	As	setas	devem	ser	
consideradas	a	direção	das	frentes	de	onda	e	não	raios	de	som	
Frequências	modais	para	uma	sala	com	proporções	favoráveis.	(23.3	x	16	x	10	N.)	
Frequências	modais	para	uma	sala	com	proporções	desfavoráveis.	(10	x	10	x	8	N.)	
Existem	três	+pos	básicos	de	ondas	estacionárias	que	podem	se	formar	em	uma	
sala.	O	modo	axial	(A)	envolve	reflexões	provenientes	de	apenas	um	par	de	
super@cies.	O	modo	tangencial	(B)	envolve	dois	pares	de	super@cies.	O	modo	
obliquo	(C)	envolve	seis	super@cies.	Os	modos	axiais	são	os	de	maior	significação	
prá+ca	em	salas	se	escuta	pequenas	e	pequenos	estúdios.	As	setas	devem	ser	
consideradas	a	direção	das	frentes	de	onda	e	não	raios	de	som	
Axial:	apenas	uma	dimensão	da	sala	
	
Tangencial:	fruto	da	interação	entre	duas	dimensões	da	
sala.	Ex:	comprimento	e	a	largura,	largura	e	a	altura,	
altura	e	comprimento.	
	
Obliquo:	fruto	da	interação	entre	três	dimensões	da	
sala.	Altura,	largura	e	comprimento	
p	 q	 r	 Modo	de	
ressonância	
1	 0	 0	 axial	
1	 1	 0	 tangencial	
0	 1	 1	 tangencial	
1	 1	 1	 Oblíquo	
2	 0	 1	 tangencial	
2	 2	 2	 oblíquo	
3	 3	 3	 oblíquo	
i n t e g r a i s 	
C=Comprimento
 L=Largura
A=Altura
Onde v é a velocidade de som (344 m/s), C, L e A são comprimento, largura e altura da sala, e p, q, r são números inteiros (0, 1, 2, 3....).
O cálculo deve ser feito para frequências até 300 Hz apenas. 
A separação entre frequências é dada em função de p, q, r: 
quando dois deles forem iguais a zero, o modo é axial; quando um deles for igual a zero, o modo é tangencial agora quando os três forem diferentes de zero, o modo é oblíquo. 
f =
Problema	1:	
	
	Quais	frequências	entrarão	em	
ressonância	quando	as	dimensões	de	uma	
sala	forem	4	metros	de	comprimento,	três	
metros	de	largura	e	2,80	metros	de	altura?	
f =
 Passo	1	
Passo	2	
Passo	3	
Passo	4	
Passo	5	
Passo	6	
Passo	7	
Passo	8	
f =
Primeiro	vamos	colocar	as	dimensões	da	sala	na	formula.		
	Comprimento	=	4	metros	
Largura	=	3	metros	
Altura	=	2,8	metros	
Passo	1	e	2:	colocar	as	dimensões	da	sala	na	formula	
Agora	iremos	calcular	a	frequência	problemá+ca	para	
o	modo	axial	referente	ao	comprimento.	
Sua	integral	é	representada	pelos	números	
[1-0-0]	
	
Modo	
axial	
p	 q	 r	
1	 0	 0	
Passo	3:	escolher	qual	modo	iremos	analisar	e	colocar	seus	valores	
na	formula	(a	frequência	resultante	de	qual	onda	estacionária?)	
Passo	4:	escolhi	a	integral	para	o	
primeiro	modo	axial	da	estacionária	do	
comprimento	e	coloquei	seus	valores	
na	formula	
Desenvolvendo	os	cálculos	chegaremos	
à	frequência	problemá+ca	para	esse	
modo:	
43	Hz.	
	
Mas	atenção,	esta	é	apenas	uma	das	
frequências	problemá=cas.	Ela	se	refere	
a	apenas	um	dos	modos	e	apenas	uma	
das	123	integrais	possíveis.	
	
RECAPITULANDO	
Passo	1:	colocar	na	fórmula	os	valores	das	
dimensões	rela+vas	ao	comprimento,	largura	e	
altura	(nessa	ordem)	
Passo	2:	colocar	na	fórmula	os	valores	referentes	
à	integral	desejada.	[1-0-0]	se	for	do	primeiro	
modo	axial,	[1-1-0]	se	for	do	primeiro	modo	
tangencial,	[0-1-1]	se	for	do	segundo	modo	
tangencial.		
Passo	3:	proceder	as	operações	de	calculo.	
Portanto	a	frequência	de	ressonância	para	este	
modo	será	a	de	43	Hz	
p q r 
axial 1 0 0 
axial 0 1 0 
axial 0 0 1 
tangencial 1 1 0 
tangencial 1 0 1 
tangencial 0 1 1 
obliquo 1 1 1 
integral p q r 
0 0 0 
associado 
com 
com
p
r
i
men
to 
l
arg
ura 
a
l
tura 
	Esses	números	inteiros	referem-se	
aos	parciais	harmônicos	passíveis	de	entrar	
em	ressonância:	
•  1	é	a	fundamental,		
•  2	o	segundo	harmônico,		
•  3	o	terceiro	harmônico		
•  4	o	quarto	harmônico	
modo p q r 
0 0 3 
2 1 0 
0 3 4 
2 3 4 
4 0 0 
0 1 1 
1 1 1 
	Descrever	o	modo	de	ressonância	representado	
pelas	sequências	de	integrais	da	tabela	abaixo	
modo p q r 
Modo	tangencial	representado	pela	ressonância	entre	o	
primeiro	harmônico	do	comprimento	e	o	segundo	
harmônico	da	largura	
1 2 0 
Modo	obliquo	representado	pela	ressonância	entre	o	
segundo	harmônico	do	comprimento,	primeiro	harmônico	
da	largura	e	o	terceiro	harmônico	da	altura	
	
2 1 3 
p	 q	 r	 		 f	
1	 0	 0	 		 		
0	 1	 0	 		 		
1	 1	 0	 		 		
2	 0	 0	 		 		
0	 0	 1	 		 		
2	 1	 0	 		 		
1	 0	 1	 		 		
0	 1	 1	 		 		
0	 2	 0	 		 		
1	 1	 1	 		 		
3	 0	 0	 		 		
2	 0	 1	 		 		
1	 2	 0	 		 		
3	 1	 0	 		 		
2	 1	 1	 		 		
2	 2	 0	 		 		
0	 2	 1	 		 		
3	 0	 1	 		 		
1	 2	 1	 		 		
4	 0	 0	 		 		
3	 1	 1	 		 		
comprimento	 largura	 altura	
		 		 		 f =
Dadas	as	medidas	de	uma	sala	 Aplicando-se	na	formula		
De	acordo	com	a	combinação	de	
integrais	teremos	as	frequências	
referentes	aos	três	modos	
Frequências	modais	para	uma	sala	com	proporções	favoráveis.	(23.3	x	16	x	10	N.)	
Frequências	modais	para	uma	sala	com	proporções	desfavoráveis.	(10	x	10	x	8	N.)	
p	 q	 r	 		 f	
1	 0	 0	 		 14,33	
0	 1	 0	 		 18,11	
1	 1	 0	 		 23,09	
2	 0	 0	 		 28,67	
0	 0	 1	 		 53,75	
2	 1	 0	 		 33,91	
1	 0	 1	 		 55,63	
0	 1	 1	 		 56,72	
0	 2	 0	 		 36,21	
1	 1	 1	 		 58,50	
3	 0	 0	 		 43,00	
2	 0	 1	 		 60,92	
1	 2	 0	 		 38,94	
3	 1	 0	 		 46,66	
2	 1	 1	 		 63,55	
2	 2	 0	 		 46,18	
0	 2	 1	 		 64,81	
3	 0	 1	 		 68,83	
1	 2	 1	 		 66,38	
4	 0	 0	 		 57,33	
3	 1	 1	 		 71,17	
3	 2	 0	 		 56,22	
2	 2	 1	 		 70,87	
4	 1	 0	 		 60,12	
0	 3	 0	 		 54,32	
1	 3	 0	 		 56,18	
4	 0	 1	 		 78,59	
0	 0	 2	 		 107,50	
1	 0	 2	 		 108,45	
3	 2	 1	 		 77,78	
2	 3	 0	 		 61,42	
4	 1	 1	 		 80,65	
0	 1	 2	 		 109,01	
4	 2	 0	 		 67,81	
0	 3	 1	 		 76,42	
1	 1	 2	 		 109,95	
1	 3	 1	 		 77,75	
comp	 largura	 altura	
12	 9,5	 3,2	
OBSERVAR	QUE:	
	
Um	modo	axial	vale	por	dois	tangenciais	e	quatro	oblíquos.	
	
1 A 	 = 	 2 T 	 = 	 4 O 	
=	 =	
O	Peso	de	
um	Axial	
Equivale	a	
dois	
tangenciais	
Equivale	a	
quatro	
oblíquos	
20	 40	 80	 160	 320	30	 60	 120	 240	
20	 40	 80	 160	 320	30	 60	 120	 240	
20	 40	 80	 160	 320	30	 60	 120	 240	
20	 40	 80	 160	 320	30	 60	 120	 240	
axial	
tangencial	
obliquo	
combinação	
4	
4	
3	
3	
3	
3	
p	 q	 r	 		 f	
1	 0	 0	 		 49,14	
0	 1	 0	 		 49,14	
1	 1	 0	 		 69,50	
2	 0	 0	 		 98,29	
0	 0	 1	 		 49,14	
2	 1	 0	 		 109,89	
1	 0	 1	 		 69,50	
0	 1	 1	 		 69,50	
0	 2	 0	 		 98,29	
1	 1	 1	 		 85,12	
3	 0	 0	 		 147,43	
2	 0	 1	 		 109,89	
1	 2	 0	 		 109,89	
3	 1	 0	 		 155,40	
2	 1	 1	 		 120,37	
2	 2	 0	 		 139,00	
0	 2	 1	 		 109,89	
3	 0	 1	 		 155,40	
1	 2	 1	 		 120,37	
4	 0	 0	 		 196,57	
3	 1	 1	 		 162,99	
3	 2	 0	 		 177,19	
2	 2	 1	 		 147,43	
4	 1	 0	 		 202,62	
0	 3	 0	 		 147,43	
1	 3	 0	 		 155,40	
4	 0	 1	 		 202,62	
0	 0	 2	 		 98,29	
1	 0	 2	 		 109,89	
3	 2	 1	 		 183,88	
2	 3	 0	 		 177,19	
p	 q	 r	 		 f	
1	 0	 0	 		 31,27	
0	 1	 0	 		 40,00	
1	 1	 0	 		 50,77	
2	 0	 0	 		 62,55	
0	 0	 1	 		 74,78	
2	 1	 0	 		 74,24	
1	 0	 1	 		 81,06	
0	 1	 1	 		 84,81	
0	 2	 0	 		 80,00	
1	 1	 1	 		 90,39	
3	 0	 0	 		 93,82	
2	 0	 1	 		 97,49	
1	 2	 0	 		 85,90	
3	 1	 0	 		 101,99	
2	 1	 1	 		 105,38	
2	 2	 0	 		 101,55	
0	 2	 1	 		 109,51	
3	 0	 1	 		 119,98	
1	 2	 1	 		 113,89	
4	 0	 0	 		 125,09	
3	 1	 1	 		 126,47	
3	 2	 0	 		 123,30	
2	 2	 1	 		 126,11	
4	 1	 0	 		 131,33	
0	 3	 0	 		 120,00	
1	 3	 0	 		 124,01	
4	 0	 1	 		 145,74	
0	 0	 2149,57	
1	 0	 2	 		 152,80	
3	 2	 1	 		 144,20	
2	 3	 0	 		 135,32	
Tarefa	para	a	próxima	semana:	
	
1)  No	lugar	onde	mora,	medir	as	dimensões	(Comprimento (modulo p), Largura (modulo q) e Altura (modulo r)) de	
um	quarto:	
	
2)	Aplicar	a	fórmula	da	frequência	juntando	as	dimensões	
encontradas	com	as	seguintes	integrais:	
1	 0	 0	
0	 1	 0	
1	 1	 0	
2	 0	 0	
0	 0	 1	
2	 1	 0	
1	 0	 1	
0	 1	 1	
0	 2	 0	
1	 1	 1	
3	 0	 0	
2	 0	 1	
1	 2	 0	
3	 1	 0	
2	 1	 1	
2	 2	 0	
p q r
f =
3)	Plotar	as	frequências	encontradas	no	gráfico	abaixo: