1 Matrizes- Algebra Linear

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Algebra Linear
Prof. Me. Raphael Martins
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Matrizes
Definição 1: Denominamos matriz a um conjunto de números reais, ou a um conjunto de números complexos, dispostos em linhas e colunas, numa certa ordem, e colocados entre colchetes ou parênteses. Assim, uma matriz real, ou uma matriz complexa, que vamos denotar por A, com m linhas e n colunas é representada da forma:
 
 
com aij ∈ IR, ou aij ∈ C. Os escalares aij são denominados elementos da matriz, onde o primeiro índice indica a linha e o segundo índice indica a coluna às quais pertence o elemento. Neste caso, dizemos que a matriz A é de ordem mxn. Por simplicidade, vamos utilizar a indicação A = [aij ] para denotar a matriz A e seus elementos.
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Definição 2: Dizemos que uma matriz A = [aij ] de ordem mxn é quadrada se m = n, isto é, se possui o mesmo número de linhas e de colunas. Neste caso, dizemos simplesmente que A é uma matriz de ordem n.
 
Definição 3: Dizemos que uma matriz A = [aij ] de ordem mxn é a matriz nula se seus elementos aij são todos nulos. Neste caso, denotamos A = 0. Frequentemente, indicamos 0mxn para denotar uma matriz nula de ordem mxn onde pode causar alguma dúvida sobre a ordem da matriz.
 
Definição 4: Sejam A = [aij ] e B = [bij ] duas matrizes de ordem mxn.
Dizemos que as matrizes A e B são iguais se, e somente se, 
 
aij = bij ; i = 1, ....... , m e j = 1, ......... , n .
 
Exemplo: Determine os valores de a, b, c e d de modo que A = B, onde:
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Exercícios
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Em uma matriz quadrada A, de ordem n, os elementos aij em que i=j constituem a diagonal principal; os elementos aij em que i+j=n+1 constituem a diagonal secundária.
Ex:
Operações com Matrizes
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Ex : Dadas duas matrizes A(2,3) e B(3,4) , primeiramente, verifica-se:
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Logo, pode observar que ainda que C e D fossem matrizes quadradas de ordem n, os produtos AB e BA seriam também matrizes quadradas de ordem n e, ainda assim, difeririam, em geral, o que significa que a multiplicação de duas matrizes não é comutativa.
 
Existem, entretanto, matrizes A e B tais que AB=BA?
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Matriz transposta de uma matriz A, de ordem m por n, é a matriz At, de ordem n por m, que se obtém escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas. 
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Matriz simétrica é uma matriz quadrada S tal que St = S.
Ex: 
Matriz antissimétrica é uma matriz quadrada A tal que At=-A
 
Ex:
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Exercícios propostos:
1) Sejam as matrizes:
Calcule:
 
A+B
A+C
C-A
-2A
6B
-3C
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Exercícios propostos:
1) Sejam as matrizes:
Calcule:
AB
BA
BC
CA
(AB)C
f) A(BC)
g) At
h) Bt
i) (AB)t
j) Verifique a igualdade (AB)t=BtAt
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a) Calcular A+At=S e verificar se S é simétrica.
b) Calcular A-At=P e verificar se P é antissimétrica.
3) 
Exercícios propostos:
Definição 5: Dizemos que uma matriz A = [aij ] de ordem m x 1 é uma matriz coluna, que representamos por:
Definição 6: Dizemos que uma matriz A = [aij ] de ordem 1xn é uma matriz linha, que representamos por:
Em geral, uma matriz coluna também é denominada vetor coluna e uma matriz linha também é denominada vetor linha. Em particular, podemos considerar um escalar , ou , como uma matriz de ordem .
1) Considere o seguinte conjunto . Vamos definir uma matriz real → IR da seguinte forma:
2) Considere o seguinte conjunto . Defina uma matriz real → IR cuja regra funcional é dada por: 
Definição 7: Matriz diagonal e matriz identidade – A matriz quadrada D em que os elementos aij=0 quando i≠j é uma matriz diagonal. A matriz diagonal que tem os elementos aij=1 para i=j é uma matriz identidade ou matriz unidade, indicada por .
Ex:
Definição 8: Matriz nula ou matriz zeros – é a matriz cujos elementos são todos nulos.
Definição 9: Matriz oposta de uma matriz A=[aij] é uma matriz B=[bij] tal que bij=-aij. Indica-se matriz oposta de A por –A. Exemplo:
; 
Adição de matrizes – a soma de duas matrizes A=[aij] e B=[bij], de mesma ordem, é uma matriz C=[cij] tal que cij=aij+bij
Ex:
Diferença de matrizes – a diferença A – B de duas matrizes, de mesma ordem, é definida por A+(-B).
Ex:
Propriedades da adição de matrizes – para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, tem-se:
 Associativa
 Comutativa
	 Elemento neutro
 Oposto
Produto de uma matriz por um escalar – Seja um escalar, o produto de uma matriz A=[aij] por esse escalar é uma matriz B=[bij] tal que .
Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar
 Associativa
 Distributiva
		 Distributiva
 Elemento neutro
Produto de matrizes – Sejam as matrizes A(1,3) e B(3,1):
 e 
O produto AB é definido se e somente se o número de linhas de B for igual ao número de colunas de A. Por outro lado, a ordem da matriz resultante C é dada pelo número de linhas de A e pelo número de colunas de B, isto é, C(1,1). Assim temos:
Não comutatividade da multiplicação de duas matrizes – Em geral, a existência do produto AB não implica a existência do produto BA.
Ex:
Ainda que A e B fossem matrizes quadradas de ordem n, os produtos AB e BA seriam também matrizes quadradas de ordem n e, ainda assim, difeririam, em geral.
Ex: 
 
 
Sejam:
Ex: 
Propriedades de matriz transposta
Seja