Baixe o app para aproveitar ainda mais
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Base e dimensão de um espaço vetorial Agora, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, um conjunto finito de vetores, tais que qualquer outro vetor de V seja uma combinação linear deles. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores que gere V e tal que todos os elementos sejam realmente necessários para gerar V. Se pudermos encontrar tais vetores, teremos os alicerces de nosso espaço. Definição A: Um conjunto 𝐵 = 𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣! ⊂ 𝑉 é uma base do espaço vetorial V se: i) B é LI ii) B gera V Exemplos: 1) 𝐵 = { 1,0 , (0,1)} é base do ℝ!, denominada base canônica. De fato: i) B é LI ii) B gera ℝ! 2) 𝐵 = { 1,2 , (3,5)} é base do ℝ!? 3) 𝐵 = {𝑣! = 1,1,1 , 𝑣! = 1,1,0 , 𝑣! = (1,0,0)} é base do ℝ!? 4) 𝐵 = { 1,0 , 0,1 , (7,4)} é base do ℝ!? Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores 𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣! . Então qualquer conjunto com mais de 𝑛 vetores é necessariamente LD (e portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo 𝑛 vetores). Corolário: qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado de dimensão de V, e denotado dim V. Definição B: um conjunto 𝐵 = {𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!} de vetores é uma base de V se todo vetor 𝑣 ∈ 𝑉 pode escrever-‐se de maneira única como combinação linear dos vetores base. Diz-‐se que um espaço vetorial V tem dimensão finita n, ou que é n-‐dimensional, e se escreve: dim V = n Teorema: seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. i) quaisquer n+1 ou mais vetores em V são linearmente dependentes ii) qualquer conjunto linearmente independente de S com n elementos é uma base de B. iii) Qualquer conjunto gerador de V com n elementos é uma base de V. Teorema: Suponha que S gere um espaço vetorial V. i) qualquer número máximo de vetores linearmente independentes em S formam uma base de V. ii) Suponhamos que se elimine de S cada vetor que seja combinação linear dos precedentes. Então os vetores restantes formam uma base de V. Posto de uma Matriz O posto linha da matriz A é igual ao número máximo de linhas linearmente independentes, ou se diz, equivalentemente, à dimensão do espaço linha de A. Analogamente, temos o posto coluna de A é igual ao número máximo de colinas linearmente independentes ou, equivalente, à dimensão do espaço coluna de A. Teorema: o posto linha e o posto coluna de qualquer matriz A são iguais. Exemplo: 1) Encontre uma base e a dimensão do espaço linha dos vetores 𝑣! = 1,2,0,−1 , 𝑣! = 2,6,−3,−3 𝑒 𝑣! = (3,10,−6,−5). 2) Determine se (1,1,1), (1,2,3) e (2,-‐1,1) formam uma base para o espaço vetorial ℝ!. 3) Determine se (1,1,1,1), (1,2,3,2), (2,5,6,4) e (2,6,8,5) forma uma base para ℝ!.
Compartilhar