Pêndulo simples - FIS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
PRÁTICA 3 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
ALUNA: ANA KAROLINE DE SOUSA GALVÃO 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL 
MATRÍCULA: 384937 
TURMA: 2A 
PROFESSOR: LUAN 
DATA: 02/05/16 DE 8:00h ÀS 10:00h 
 
FORTALEZA 2016
 
 
SUMÁRIO 
1 OBJETIVOS ........................................................................................................................ 2 
2 MATERIAL ........................................................................................................................ 2 
3 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 3 
3.1 Período no pêndulo simples .................................................................................................. 3 
3.2 Aceleração da gravidade ....................................................................................................... 4 
4 PROCEDIMENTO ............................................................................................................. 5 
5 QUESTIONÁRIO ............................................................................................................... 8 
6 CONCLUSÃO ................................................................................................................... 11 
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................. 12 
 
 
 
2 
 
1 OBJETIVOS 
- Verificar as leis do pêndulo; 
- Determinar a aceleração local. 
 
 
2 MATERIAL 
- Pedestal de suporte com transferidor; 
- Massas aferidas m1 e m2; 
- Cronômetro; 
- Fita métrica; 
- Fio (linha zero). 
3 
 
3 INTRODUÇÃO 
Um pêndulo simples consiste em um sistema ideal formado por um corpo acoplado a 
um fio inextensível de comprimento “L” e de massa “m” desprezível, o qual oscila no plano 
vertical livre de atrito. O pêndulo oscila sob a ação da gravidade após ser afastado da posição 
de equilíbrio e o movimento observado é periódico. 
 
 
Forças atuantes sobre a massa do pêndulo 
simples: 
T – Força de tração do fio; 
mg (massa x gravidade) – Força peso do 
corpo (P).
3.1 Período no pêndulo simples 
O período é o intervalo de tempo gasto pelo pêndulo para realizar uma oscilação completa 
e é representado por T. O peso foi decomposto em: 
Px = m x g x senθ (Força Restauradora). 
Py = m x g x cosθ. 
A força de tração do fio e a componente da força peso Py se anularão. A componente 
tangencial, Px, é a força restauradora, que será a responsável pelo movimento oscilatório. O 
ângulo θ, é definido pela razão entre o arco “X” descrito pelo ângulo θ e o raio de aplicação 
do mesmo, ou seja, o comprimento do pêndulo, “L”. Portanto, tem-se: 
Px = P x sen θ 
Px = P x sen(X/L) 
 Para ângulos pequenos em radianos, o seno do ângulo se aproxima muito do valor do 
ângulo. Por isso, tem-se: 
Px = P x sen (X/L) = P x (X/L) 
4 
 
 Como P = m x g e m, g e L são constantes nesse sistema, pode-se considerar que: 
Px = ( m x g x X )/L ou Px = K x X 
Sendo assim, diante da análise do pêndulo simples, pode-se inferir que, para pequenas 
oscilações, ou seja, com amplitude em torno de θ < 15º, o pêndulo simples descreve um 
Movimento Harmônico Simples (MHS). Em qualquer MHS, o período é dado por:
 
Onde: 
T – Período 
m – Massa do corpo oscilante 
k – Constante 
 E como K = (m x g)/L, pode-se expressar o período do pêndulo simples por: 
T = 2π 
 Nesse caso (amplitudes até 15°), o período do pêndulo simples independe da massa do 
corpo oscilante e da amplitude com a qual o corpo é lançado para oscilar. O período do 
pêndulo variará de acordo com a alteração do comprimento do fio e da aceleração gravidade 
no local onde o experimento é feito. 
 
3.2 Aceleração da gravidade 
Tendo a equação do pêndulo simples pode-se elevar ambos os membros da equação ao 
quadrado, portanto, teremos: 
T² = 4π² x ( L/g) 
g = (4π² x L) / T² 
 O gráfico T² x L obedece a uma função do tipo y = kx, assim obteremos uma reta cujo 
coeficiente angular (m) é dado por m = ΔT² / ΔL. 
Desse modo, a aceleração da gravidade poderá ser calculada por uma das duas equações: 
g = 4π² /m ou g = 4π² / (ΔT² / ΔL)
5 
 
4 PROCEDIMENTO 
Primeiramente, como de costume, as equipes foram divididas por bancadas. Em seguida, 
cada grupo deveria realizar o passo a passo citado abaixo com os objetos disponíveis. 
Deveriam ser feitas três medições de tempo para cada comprimento de fio requisitado com 
revezamento de alunos, e ao final de cada item deveria ser feita a média dos valores obtidos. 
Abaixo estão os resultados encontrados por mim e pela minha equipe. 
 
1- Anote a massa dos corpos: 
m1 (massa menor) 50 g 
m2 (massa maior) 100 g 
 
2- Ajuste o comprimento do pêndulo de modo que tenha 20 cm do ponto de 
suspensão até o centro de gravidade do corpo; 
 
 
3- Desloque o corpo da posição de equilíbrio (deslocamento angular igual a 15º) e 
determine o tempo necessário para o pêndulo executar 10 (dez) oscilações 
completas. Para minimizar os erros, é recomendável que o operador do 
cronômetro seja o mesmo que larga o pêndulo a oscilar. Repita 3 (três) vezes e 
determine o T médio (em s). Use somente uma massa (m1), como indicado na 
tabela 3.1. 
 
 
4- Repita a experiência para os comprimentos 40 cm, 60 cm, 80 cm, 100 cm, 130 cm 
e 150 cm e complete a tabela 3.1. 
 
*Resultados experimentais para o pêndulo simples. 
6 
 
L (cm) ϴ (graus) m (gramas) T (s)
20 15 50 8,8 8,8 8,9 0,9 0,8
40 15 50 12,4 12,4 12,6 1,2 1,6
60 15 50 15,4 15,4 15,4 1,5 2,4
80 15 50 17,8 17,7 17,6 1,8 3,1
100 15 50 19,8 19,8 19,9 2,0 3,9
130 15 50 22,8 22,7 22,8 2,3 5,2
150 15 50 24,6 24,6 24,4 2,5 6,0
Tabela 3.1
10 T (s) 
 
 
 
5- Mantenha o comprimento em 140 cm e estude a influência de massa e da 
amplitude sobre o período. (Tabelas 3.2 e 3.3). 
 
*Resultados experimentais para o estudo da influência da amplitude sobre o período 
do pêndulo simples. 
Tabela 3.2 
L (cm) ϴ (graus) m (gramas) 10 T (s) T (s) 
140 15 50 23,5 23,6 23,6 2,4 
140 10 50 23,6 23,4 23,4 2,3 
 
*Resultados experimentais para o estudo da influência da massa sobre o período do 
pêndulo simples. 
Tabela 3.3 
L (cm) ϴ (graus) m (gramas) 10 T (s) T (s) 
140 10 50 23,6 23,5 23,5 2,4 
140 10 100 23,4 23,5 23,5 2,3 
 
Afere-se que, neste caso, nem a massa nem a amplitude interferem no período do pêndulo 
simples. 
 
 
7 
 
6- Trace o gráfico de T em função de L (para os dados da tabela 3.1). 
 
*Gráfico 1. 
7- Trace o gráfico T2 em função de L (para os dados da tabela 3.1). 
 
*Gráfico 2. 
0,9 
1,2 
1,5 
1,8 
2,0 
2,3 
2,5 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 20 40 60 80 100 120 140 160
P
er
ío
d
o
 (
s)
 
comprimento do pêndulo (cm) 
Período (T) em função do comprimento (L) 
0,8 
1,4 
2,3 
3,2 
4,0 
5,3 
6,3 
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0 20 40 60 80 100 120 140 160
P
er
ío
d
o
2
 (
s2
) 
comprimento do pêndulo (cm) 
Período2 (T2) em função do comprimento (L) 
8 
 
5 QUESTIONÁRIO 
1- Dos resultados experimentais é possível concluir que os períodos independem das 
massas? Justifique. 
Sim, desde que o ângulo formado entre a posição em que o pêndulo será 
abandonado e a posição de repouso (amplitude) seja no máximo 15°. 
 
2- Dos resultados experimentais o que se pode concluir sobre os períodos quando a 
amplitude passa de 10° para 15°? Justifique.Esses períodos devem permanecer os mesmos, pois de acordo com a fórmula 
 √ que serve para valores de ângulos iguais ou menores que 15° essa 
variação de 5° não irá mudar o período (T). As eventuais discrepâncias entre os 
períodos calculados nessa prática para 10° e 15° não ultrapassam 0,1 s (erros de 
medição). 
 
3- Qual a representação gráfica que se obtém quando se representa T x L? Explique. 
Uma parábola, assim como se pode observar no gráfico 1 (página 7). Pois a 
fórmula é dada por T = 2π que se assemelha à função y = ou y = x1/2. 
 
4- Idem para T2 x L. Explique. 
Uma reta, assim como se pode observar no gráfico 2 (página 7), pois a fórmula é 
dada por T
2
 = 4π2 (L/g) que se assemelha à função y = . 
 
5- Determine o valor de “g” a partir do gráfico T2 x L. 
Utilizando-se as fórmulas m = ΔT² / ΔL e g = 4π² / (Δ(T²) / ΔL) e aplicando os 
resultados obtidos nessa prática tem-se que: 
 ΔL = (100 – 20) 
ΔL = 80 cm (0,8 metros) 
 Δ(T²) = (4,0 – 0,8) 
ΔT² = 3,2 s2 
 m = 3,2 / 0,8 
m = 4 
 g = 4π² / (Δ(T²) / ΔL) 
π = 3,1416 
g = 4 x 3,1416
2
 / 4 
g = 9,87 m/s
2 
 
9 
 
6- Qual o peso de uma pessoa de massa 65,00 kg no local onde foi realizada a 
experiência? 
A força Peso (Newton – N) é igual ao produto entre a massa do corpo 
(quilograma – kg) e gravidade do local (metros por segundo ao quadrado – m/s2), 
então: 
P = m x g 
P = 65 x 9,87 
P = 641,53 N 
 
7- Compare o valor médio de T obtido experimentalmente para L = 150 cm com o seu 
valor calculado pela fórmula √ (use g = 9,81 m/s2). Comente. 
L (cm) ϴ (graus) m (gramas) 10 T (s) T (s) 
150 15 50 24,6 24,6 24,4 2,5 
*Valor médio de T obtido experimentalmente. 
 
T = 2π 
T = 2 x 3,1416 x √ ) 
T = 6,28 x 0,39 
T = 2,46 s 
Como o tempo de reação humana é até décimos de segundo, então: 
T = 2,5 s 
 
O valor obtido a partir do experimento foi o mesmo obtido a partir da fórmula 
do período, portanto percebe-se que a medição foi feita da maneira correta, sem 
erros de execução. 
 
8- Chama-se “pêndulo que bate o segundo” aquele que passa por sua posição de 
equilíbrio uma vez em cada segundo. Qual o período desse pêndulo? 
10 
 
 
Se ele passa por sua posição de equilíbrio a cada 
segundo, quer dizer que ele demora um segundo para ir 
até a sua elongação máxima depois de ser abandonado. 
O período representa o tempo que o pêndulo leva para 
completar uma oscilação, ou seja, equivale a duas vezes 
o tempo decorrido desde a sua soltura até o ponto oposto 
de elongação máximo, e nesse caso, equivale a 2 
segundos. 
9- Determine o comprimento do “pêndulo que bate o segundo” utilizando o gráfico de 
 T
2
 x L. 
 
O período do “pêndulo que bate o segundo” é de 2s. Elevando-se o T = 2s ao 
quadrado temos que T
2 
= 4 s
2
. Observa-se no gráfico que para o valor de T
2 
= 4, o 
valor correspondente de L (comprimento do pêndulo) equivale a 100 cm. 
 
10- Discuta as transformações de energia que ocorrem durante o período do pêndulo. 
Inicialmente, ao ser deslocado até uma elongação θ, o pêndulo adquire energia 
potencial. Parado em θ ele tem energia potencial máxima e energia cinética igual 
a zero. Ao ser abandonado ele se desloca até o ponto de equilíbrio, a energia 
potencial do pêndulo é mínima (igual a zero) e a cinética é máxima. O pêndulo 
continua deslocando-se rumo a –θ, reduzindo a energia cinética e adquirindo 
potencial. Parado em –θ, a energia cinética do pêndulo é zero, a energia potencial 
é máxima, até que ele volta à θ e todo o processo se repete. Como o sistema é 
conservativo, o processo se repete indefinidas vezes. 
0,8 1,4 
2,3 
3,2 
4,0 
5,3 
6,3 
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
0 50 100 150 200P
er
ío
d
o
2
 (
s2
) 
comprimento do pêndulo (cm) 
Período2 (T2) em função do 
comprimento (L) 
11 
 
6 CONCLUSÃO 
Com essa prática pode-se perceber o importância do estudo do pêndulo simples e de 
suas grandezas envolvidas – período, comprimento, aceleração da gravidade, elongação, 
amplitude, força peso, tração, massa do corpo – quando estudamos o conteúdo relacionado 
à ondulatória. 
Concluiu-se que em pêndulos com valores de ângulos menores ou iguais a 15°, 
observa-se MHS – Movimento Harmônico Simples – e a nem a massa nem a amplitude 
serão consideradas para se obter o período. A partir do experimento pôde-se também obter 
a aceleração da gravidade por meio da fórmula proposta e dos dados obtidos. 
Houve também, a explanação sobre gráficos e a melhor forma de confeccioná-los e 
configurá-los, o que ajudou bastante na hora de elaborar os mesmos utilizando os dados 
obtidos na prática para uma melhor visualização dos resultados. 
12 
 
BIBLIOGRAFIA 
DIAS, N.L Roteiros de aulas práticas de física. Fortaleza, 2016; 
 
UFSM 
Disponível em: 
< http://coral.ufsm.br/gef/MHS/mhs05.pdf> Acesso: 11/05/16 às 21:34h; 
 
Só física 
Disponível em: 
< http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php> Acesso: 11/05/16 às 
22:07h; 
 
Mundo educação 
Disponível em: 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/pendulo-simples.htm> Acesso: 12/05/16 às 
23:56 h; 
 
Guia do Excel 
Disponível em: 
<http://guiadoexcel.com.br/criando-um-grafico-com-dois-eixos-2> Acesso: 13/05/16 às 01:38 
h. 
 
Google imagens 
Acesso: 14/05/16 às 01:06 h.