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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA. AULA 01. 1a Questão (Ref.: 201309751059) O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. Sim, pois existe elemento neutro e=1. Sim, pois existe elemento simétrico. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. 2a Questão (Ref.: 201309751064) Considere as seguintes afirmações: (I) A operação x * y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. (II) A operação * em Z, definida por x * y = x + y + xy não possui elemento neutro e, portanto, não é um grupo. (III) A operação * em Z, definida por x * y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4. Podemos concluir que As afirmações I e III são falsas A afirmação II é verdadeira A afirmação I é verdadeira A afirmação III é verdadeira A afirmação III é falsa 3a Questão (Ref.: 201309751042) 12 3 1 4 5 4a Questão (Ref.: 201309751058) O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo? Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. Não, pois não existe elemento neutro. Não, pois não existe elemento simétrico. 5a Questão (Ref.: 201309751057) Existe elemento neutro e = 1 Existe elemento neutro e = 0 Não existe elemento neutro Existe elemento neutro e = 2 Existe elemento neutro e = -1 ___________________________________________________________ 6a Questão (Ref.: 201309751054) O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 4 é um grupo ? Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. Não, pois não existe elemento neutro. Não, pois não existe elemento simétrico. Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. AULA 02 1a Questão (Ref.: 201309657920) Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11. {(-3,7)} {(1,4)} {(-14/13;119/39)} {(0,6)} {(2,3)} 2a Questão (Ref.: 201309751015) Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy. 3a Questão (Ref.: 201309751067) Não existe elemento neutro. e = f4 e = f2 e = f3 e = f1 4a Questão (Ref.: 201309751061) Calcule o produto (27).(45) considerando Z10. 35 7 3 10 5 5a Questão (Ref.: 201309751060) As afirmações I e II são verdadeiras A afirmação III é verdadeira Somente a afirmação II é verdadeira A afirmação I é falsa As afirmações I e III são falsas 6a Questão (Ref.: 201309751026) Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações: (I) e * x = x = x * e, para todo x. (II) a * x = a = x * a, para todo x. (III) x * x = e, para todo x diferente de a. (IV) b * d = c; (V) b, c, d são regulares. Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa. a b d c e AULA 03. 1a Questão (Ref.: 201309751066) Considere o grupo (Z,+) e a = 4. Determine a2. 8 2 1 4 16 2a Questão (Ref.: 201309735173) A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os geradores de G. C e F A e F A e D B e C B, D e E 3a Questão (Ref.: 201309751071) Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2. [2] = {4,6,8,0} [2] = {2,4,8,0} [2] = {2,4,6,0} [2] = {2,4,6,8,0} [2] = {2,4,6,8} 4a Questão (Ref.: 201309751056) Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de (Z6, +). H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6. H não é subgrupo de (Z6, +). H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +). H é subgrupo de (Z6, +). H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H. 5a Questão (Ref.:201309751028) A afirmação III é falsa As afirmações I e II são verdadeiras As afirmações II e III são verdadeiras As afirmações I e III são falsas A afirmação I é verdadeira 6a Questão (Ref.: 201309751029) Considere o grupo (Z*7, .) e a = 5. Determine a2. 1 25 4 3 0 AULA 04. 1a Questão (Ref.: 201309751043) Considere o Teorema de Lagrange: “Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H)”. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 2a Questão (Ref.: 201309751046) Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica as classes laterais G. {i, - i} {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} {1, -1} , {i, - i} 3a Questão (Ref.: 201309751073) O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H 4a Questão (Ref.: 201309751047) Considere o grupo aditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G. G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N} G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N} G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N} G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N} 5a Questão (Ref.: 201309751036) Considere(Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). Determine o número de classes laterais. 1 6 2 4 3 6a Questão (Ref.: 201309751031) 2 + H 3 + H H 1 + H H + H AULA 05. 1a Questão (Ref.: 201309751027) Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta - De acordo com a teoria do isomorfismo de Grupos podemos dizer que os grupos S3 e Z6 não são isomorfos PORQUE S3 não é abeliano e Z6 é abeliano. As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira. As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira. As duas afirmativas são falsas. Apenas a segunda afirmativa é verdadeira. Apenas a primeira afirmativa é verdadeira. 2a Questão (Ref.: 201309751050) Marque a alternativa que indica corretamente a definição de homomorfismo de grupos. Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1 Dizemos que f é um homomorfismo de grupos se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) . Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆), e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f(x*y) = f(x)*f(y), ∀ x,y ∈G1. Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) , e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. 3a Questão (Ref.: 201309657918) Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos: Sejam m, n elementos de N* tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta. 4a Questão (Ref.: 201309657915) Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta. (I) Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. (II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+) não são isomorfos. (III) Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+) são isomorfos. III , apenas II e III , apenas I , apenas II , apenas I e II , apenas 5a Questão (Ref.: 201309657923) (12341432) (12342413) (12343124) (12343241) (12344213) 6a Questão (Ref.: 201309657913) (12343241) (12341432) (12342314) (12344213) (12343124) SIMULADO 01. 1a Questão (Ref.: 201309751035) Pontos: 1,0 / 1,0 Considere em Z a operação * definida por: * : Z x Z → Z (x,y) → x*y = x + y - 2 Verifique a existência de elementos simétrizáveis. x-1 = 2 - x x-1 = x + 1 x-1 = 4 + x x-1 = 1 - x x-1 = 4 - x 2a Questão (Ref.: 201309751038) Pontos: 1,0 / 1,0 Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer que 15 * (-2) é: 0 12 4 1 13 3a Questão (Ref.: 201309751025) Pontos: 1,0 / 1,0 Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de operação abaixo. De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares. 2, 3, 4 e 5 1, 3 e 4 1, 2 e 5 2, 3 e 5 1, 2 ,3, 4 e 5 4a Questão (Ref.: 201309657920) Pontos: 1,0 / 1,0 Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11. {(1,4)} {(-3,7)} {(-14/13;119/39)} {(2,3)} {(0,6)} 5a Questão (Ref.: 201309751056) Pontos: 1,0 / 1,0 Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de (Z6, +). H não é subgrupo de (Z6, +). H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6. H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +). H é subgrupo de (Z6, +). H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H. 6a Questão (Ref.: 201309751049) Pontos: 0,0 / 1,0 Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈3Z Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z. Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 7a Questão (Ref.: 201309751031) Pontos: 1,0 / 1,0 H 1 + H 2 + H 3 + H H + H 8a Questão (Ref.: 201309751036) Pontos: 1,0 / 1,0 Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). Determine o número de classes laterais. 6 2 4 3 1 9a Questão (Ref.: 201309735411) Pontos: 1,0 / 1,0 Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(x + y) = f(x) + f(y). Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y). 10a Questão (Ref.: 201309751030) Pontos: 1,0 / 1,0 Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d). f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo. N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + 5y = 0} N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + y = 0} N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x - 5y = 0} N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + 5y = 0} N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + y = 0} AULA 06. 1. Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas. (I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos. (II) (Zn , +), n ∈ N é um grupo abeliano finito com n elementos. (III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n ∈ N. As afirmativas II e III estão corretas As afirmativas I e II estão corretas As afirmativas I e III estão corretas As afirmativas I, II e III estão corretas Apenas a afirmativa II está correta 2. Considere as operações x * y = x + y - 2 e x Δ y = xy - 2x - 2y + a, com a ∈ ℤ. Para que valor de a, (Z, * , Δ) é um anel? a = 2 a = 3 a = 6 a = 1 a = - 2 3. Julgue as proposiçõesabaixo e marque a alternativa correta. (I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. (II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. (III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as funções de K em A. III , apenas I e II , apenas I e III , apenas I , apenas II , apenas 4. Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. (I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. (II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. (III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as funções de K em A. I e II , apenas I e III , apenas II , apenas I , apenas III , apenas 5. Indique a opção que representa uma solução para o sistema de equações 6x+5y=7 e 3x + y=2 no anel Z12: x= 3 e y= 4 x= 3 e y= 8 x=5 e y={3,8,9} x= 3 e y= 5 x= 1 e y= 5 6. Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual: Z_ Z Q Zn nZ AULA 07. 1a Questão (Ref.: 201309751157) Um anel é um conjunto A, cujos elementos (x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo. x(y + z) = x.y + x.z x + y = y + x (x + y) + z = x + (y + z) x.y= y.x (x.y).z = x.(y.z) 2a Questão (Ref.: 201309751164) A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a,b ∈ A e m ∈ ℤ temos que m(a + b) = ma + mb. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. Seja A um anel, a,b ∈ A e m ∈ ℤ. Por indução sobre n verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. k(a + b) = ka + kb Vejamos que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora note que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos k(a + b) = ka + kb Vejamos que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. k(a + b) = ka + kb Seja A um anel, a,b ∈ A e m ∈ ℤ. Por indução sobre m verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. k(a + b) = ka + kb Vejamos que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 3a Questão (Ref.: 201309658023) A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. m(ka) = (mk)a Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. m(ka) = (mk)a Vejamos que é válido para n = k + 1. m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. m(ka) = (mk)a Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. Por indução sobre n temos n = k ≥ 1. m(ka) = (mk)a Vejamos que é válido para n = k + 1. m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. Por indução sobre m verificamos que: Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. m(ka) = (mk)a Vejamos que é válido para n = k + 1. m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 4a Questão (Ref.: 201309751175) A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a ∈ A e ∀ ∈ ℤ temos (m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. (m - k)a = ma - ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 5a Questão (Ref.: 201309658011) A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a,b ∈ A e m ∈ ℤ temos que m(a + b) = ma + mb. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. k(a + b) = ka + kb Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos k(a + b) = ka + kb Vejamos que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora note que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. k(a + b) = ka + kb Vejamos que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. Por indução sobre n verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. k(a + b) = ka + kb Vejamos que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 6a Questão (Ref.: 201309658022) A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinteproposição sobre o assunto estudado: seja A um anel, a ∈ A e ∀ ∈ ℤ temos que (m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. (m - k)a = ma - ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. AULA 08 1a Questão (Ref.: 201309751166) Considere as seguintes afirmações: (I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6. (II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero. (III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc (x,m) = 1. (IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2. Podemos afirmar que: Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. Somente a afirmativa I é verdadeira. Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. Somente a afirmativa II é verdadeira. 2a Questão (Ref.: 201309751152) Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova que a intersecção de B e C é subanel de A: Sejam x e y pertencentes ao subanel B e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C, logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese), logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C, logo x.y pertence a C (Subanel por hipótese), logo x.y pertence a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C, logo x+y pertencem a C (Subanel por hipótese), logo x+y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. Sejam x e y pertencentes aos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C, logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese), logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertencem a B, logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese); por outro x e y pertencem a C, logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese), logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. 3a Questão (Ref.: 201309735363) O anel Z6 admite quantos divisores de zero? 3 1 4 2 5 4a Questão (Ref.: 201309735355) Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z (Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.) (Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.) O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6 O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n∈Z} 5a Questão (Ref.: 201309735367) Determine todos os divisores de zero do anel Z15. 1, 3, 9, 10 e 12 2, 5, 9, 10 e 12 3, 5 e 9 3, 5, 9 e 10 3, 5, 9, 10 e 12 6a Questão (Ref.: 201309751194) A definição de divisores de um anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a alternativa correta. O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 2 e 4 não são divisores de zero em Z8. 2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 o anel Z7 possui divisores próprios de zero. 3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15. AULA 09. 1a Questão (Ref.: 201309735393) No anel Z6 determine Idemp (Z6). Idemp (Z6) = {1,2} Idemp (Z6) = {1,3,4} Idemp (Z6) = {1,2,3} Idemp (Z6) = {1} Idemp (Z6) = {2,3,4} 2a Questão (Ref.: 201309658017) Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade. Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 3a Questão (Ref.: 201309658016) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) e = 5 e = 4 e = 3 e = 2 e = 1 4a Questão (Ref.: 201309735388) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) No anel Z4 determine Reg(Z4 ). Reg(Z4 ) = {3} Reg(Z4 ) = {1} Reg(Z4 ) = {0,3} Reg(Z4 ) = {1,3} Reg(Z4 ) = {0,1,3} 5a Questão (Ref.: 201309751170) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade. Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 6a Questão (Ref.: 201309751156) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Marque a única afirmação correta. Todo anel comutativo é um corpo Todo anel de integridade finito é um corpo Todo anel de integridade é um corpo Todo subanel é um corpo O anel Zn é um corpo para todo n AULA 10. 1a Questão (Ref.: 201309751205) Marque a alternativa correta. 2Z é um ideal no anel Z. Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal no anel Q. Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível de A, então I ≠ A. Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .). O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2. 2a Questão (Ref.: 201309751198) Marque a alternativa correta. Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel. Seja f: Z → Z tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel. Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel. Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel. 3a Questão (Ref.: 201309751193) Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(x + y) = f(x) + f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 4a Questão (Ref.: 201309751208) N(f) = {(0,2)} N(f) = {(0,3)} N(f) = {(0,4)} N(f) = {(0,0)} N(f) = {(0,1)} 5a Questão (Ref.: 201309735399) Determine todos os ideais de Z8. {0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 {0}, {0,2,4,6} e {0,4} {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 {0}, {0,4} e Z8 {0} e {0,2,4,6} 6a Questão (Ref.: 201309751192) Considere a seguinte proposição: Se I e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A, I ∩ J = {x ∈A, x ∈ I e x ∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z. 4Z 3Z 5Z 6Z 2Z Exercícios Extras. Aula 04. 1. Considere (Z6,+) um grupo comutativo e H = {0, 2, 4} subgrupo de (Z6,+). Determine o conjunto das classes laterais à esquerda de H. 2. Seja G = {A ∈ Mn(R); A é inversível} e o subgrupo H = { A ∈ G; detA= 1}. Mostre que H é um subgrupo normal de G. 3. Considere o grupo G = (Z10, +). Verifique se o subconjunto H= {0,2,4} de G é um subgrupo de G. 4. Seja H = {0,8} um subconjunto de G = (Z10, +). Verifique se H é subgrupo de G. 5. Seja H = {1, 2, 4, 6, 8} um subconjunto de G = (Z10, +). Verifique se H é subgrupo de G. 6. Sejam G = (Z12, +) e H = {0,4,8} um subgrupo de G. Construa a tábua do grupo quociente (G/H, +), identifique seu elemento neutro e os inversos (aditivos) de 1 + H e 2 + H. Respostas em a4_t10.pdf. Aula 05. 1. Verifique, em cada caso, se existe um homomorfismo de f: G → H. a) G = (Z,+) e H = (Z,+), f(x) = 8x b) G = (Z,+) e H = (Z,+), f(x) = 8x + 1 c) G = (R,+) e H = (R,+), f(x) = |x| d) G = (R, .) e H = (R, .), f(x) = |x| e) G = (R, +) e H = (RxR, +), f(x) = (2x, 3x) 2. Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d). Mostre que f: G → G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo. 3. Mostre que um grupo G é abeliano se, e somente se, f: G → G definida por f(x) = x-1 é um homomorfismo. Respostas em a05_t15.pdf. Aula 06. 1 - O conjunto Z , dotado das leis de composição ⊕ e ⊗, é um anel. ݔ⊕ݕ=ݔ+ݕ+1 ݔ⊗ݕ=ݔ+ݕ+ݔݕ A partir dessa informação, marque a alternativa que indica o elemento simétrico. ( ) ∀ݔ∈ܼ,∃(−1−ݔ)∈ܼ ( ) ∀ݔ∈ܼ, ∃(2+ݔ)∈ܼ ( ) ∀ݔ∈ܼ, ∃(1−ݔ)∈ܼ ( ) ∀ݔ∈ܼ, ∃(−2+ݔ)∈ܼ ( ) ∀ݔ∈ܼ, ∃(−2−ݔ)∈ܼ 2 - O conjunto ℤ, dotado das leis de composição * e Δ abaixo definidas, é um anel. ݔ∗ݕ=ݔ+ݕ ݔΔݕ=0 A operação * é a operação de adição usual e a operação Δ é a operação de multiplicação usual. O elemento neutro desse anel é: ( ) e = 1 ( ) e = -1 ( ) e = 0 ( ) e = 2 ( ) e = -2 3- Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual. ( ) Z_ ( ) Q ( ) Zm ( ) nZ ( ) Z 4- Com as operações de anel estudadas, analise as proposições abaixo e sinalize as corretas: (I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos. (II) (Zn , +), n∈N⋅ é um grupo abeliano finito com n elementos. (III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n∈N. ( ) As afirmativas II e III estão corretas. ( ) As afirmativas I, II e III estão corretas. ( ) As afirmativas I e II estão corretas. ( ) As afirmativas I e III estão corretas. ( ) Apenas a afirmativa II está correta. 5 - Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, Δ) com as operações definidas por a * b = a + b - 1 e a Δ b = a + b - ab. ( ) e = 4 ( ) e = 5 ( ) e = 1 ( ) e = 2 ( ) e = 3 6- Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. (I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. (II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. (III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as funções de K em A. 7- Encontre a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8. ( ) x=1 ( ) x=-5/2 ( ) x=5 ( ) x=10 ( ) x=9 8- Considere as operações x * y = x + y - 2 e x Δ y = xy - 2x - 2y + a, com a∈Z. Para que valor de a, (Z, *, Δ) é um anel? ( ) a = 2 ( ) a = 6 ( ) a = -2 ( ) a = 1 ( ) a = 3 Responda 1- Mostre que o conjunto Z, dotado das leis de composição * e Δ abaixo definidas, é um anel. ݔ∗ݕ=ݔݕ ݔΔݕ=ݔ+ݕ 2 - Verifique os seis axiomas de anel com as operações vistas na questão 01. 3 - Mostre que (A, +, o) não é um anel. Considere as funções f, g e h definidas de R em R por f(x) = x2, g(x) = 2x e h(x) = x + 2. 4 - Seja (A,□) um grupo abeliano.Mostre que (A, □,+) não é um anel. Considere a operação a + b = a. Repostas em a06_t11.pdf. Aula 07. 1 - Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade. (Z, +, .) não é um anel com unidade. (R, + , .) não é um anel com unidade. (Q, +, .) não é um anel com unidade. (C,+, .) não é um anel com unidade. O anel (Zm,+, .) é um anel com unidade para m ≥ 2. 2 - Considere as seguintes afirmações: (I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então, (AK, +, .) é comutativo. (II) Se A e B são anéis com unidade, então, A x B não tem unidade. (III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então, (Mnxn(A),+, .) tem unidade. (IV) (Zm, +, .) é um anel comutativo com unidade. Com relação às afirmações, podemos concluir que: Somente a I está correta. Somente a II e a III estão corretas. Somente a II e a IV estão corretas. Somente a I, a III e a IV estão corretas. Somente a III e a IV estão corretas. 3 - Identifique o anel com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. ( ) Z ( ) 2z ( ) O conjunto M2(Z) das matrizes 2x2 ( ) Z+ ( ) Q Responda. 1 - Verifique se o conjunto Z , dotado das leis de composição * e Δ definidas a seguir, é um anel. ݔ∗ݕ=ݔ-ݕ ݔΔݕ=ݔݕ 2 - Verifique se o conjunto ℤ, dotado das leis de composição * e Δ definidas a seguir, é um anel comutativo com unidade. ݔ∗ݕ=ݔ+ݕ ݔ߂ݕ=0 A operação * é a operação de adição usual, e a operação Δ é a operação de multiplicação usual. Repostas em a07_t09.pdf. AULA 08. 1 - Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈Z}. (Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.). O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6. (Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.). O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z. 2 - A definição de divisores de um anel diz que: seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição, marque a alternativa correta. O anel Z7 possui divisores próprios de zero. O anel das matrizes (Mn(A), +, .) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 2 e 4 não são divisores de zero em Z8. 2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6. 3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15. RESPONDA. 1 - Sejam R e S subanéis de um anel (A,+,.). Prove que ܴ∩ܵ também é um subanel de A. 2 - Verifique se { a/2n | a, n ∈ Z, n≠0}é um subanel dos conjuntos dos racionais. 3 - Verifique se os seguintes subconjuntos são subanéis do anel (Q,+, .): a) S = {ݔ ∈ ܳ / ݔ ∉ ܼ} b) S = 3Z c) S = Q – Z d) S = {-1, 0, 1} 4 - Verifique se S é subanel de M2(R), sendo S = ൜0 ݔݖ ݕ൨ | ݔ, ݕ ∈ ℝൠ 5 - O centro do anel A é o conjunto Z(A) = {ݔ∈ܣ∕ݔ ܽ=ܽݔ, ∀ܽ∈ܣ }. Verifique que Z(A) é subanel de A. 6 - Mostre que, se A é um anel de integridade e x é um elemento de A tal que x2 =1, então, x = 1 ou x = -1. 7 - Considere o anel comutativo com unidade (Q, □, ∆), onde x □ y = x + y – 1, x ∆ y = x + y - xy Verifique se (Q, □, ∆) é um anel de integridade. Respostas em a08_t14.pdf AULA 09. 1- Qual dos anéis abaixo não pode ser definido como um corpo? Conjunto dos números racionais. Conjunto dos números complexos. Conjunto dos números reais. Conjunto dos números inteiros. Zp para p primo. 2- Calcule U(Z6). U(Z6) = {1,2,3,4,5} U(Z6) = {2,3} U(Z6) = {1,5} U(Z6) = {2,5} U(Z6) = {2,6} 3- Determine os elementos associados a 1 em Z7. {1,2,3} {1,2,3,4} {1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5,6} {0,1,2,3,4,5,6} 4- No anel Z6, determine Idemp(Z6). Idemp (Z6) = {1} Idemp (Z6) = {1,3,4} Idemp (Z6) = {1,2,3} Idemp (Z6) = {2,3,4} Idemp (Z6) = {1,2} 5- No corpo Z11, resolva a equação x3 = x. Podemos afirmar que: S = {1,11} S = {0,10} S = {0,1} S = {0,2,12} S = {0,1,10} RESPONDA. 1 - Verifique se (L, +, .) é um subcorpo de (R, +, .). ܮ={ܽ+ܾ √3∕ܽ,ܾ∈ܼ}. 2 - Verifique se (L, +, .) é um subcorpo de (R, +, .). ܮ={ܽ+ܾ √3∕ܽ,ܾ∈ܳ}. 3 - Verifique se (L, +, .) é um subcorpo de (R, +, .). ܮ={ܽ+ܾ ∛3∕ܽ,ܾ∈ܳ}. 4 - No corpo Z11, resolva a equação x3 = x. 5 - No anel Z8, determine Nilp (Z8 ). Repostas em a09_t13.pdf. AULA 10. 1 - Considere a seguinte proposição: sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela, marque a alternativa que representa a operação 2Z + 3Z. 5Z 6Z Z 3Z 2Z 2 - A função ߚ: Z → ZxZ é um homomorfismo do anel (Z,+, .) no anel (ZxZ,+, .). Nessas condições, quanto é ߚ(0)? (1,0) (0,1) (1,1) (0,0) (1,2) 3 - Marque a alternativa que indica a função que é um homomorfismo de anéis. f: RxR → R, f(x,y) = x2 f: RxR → R, f(x,y) = x + y f: RxR → R, f(x,y) = 0 f: RxR → R, f(x,y) = -x f: RxR → R, f(x,y) = x2 -5x + 6 4 - Marque a alternativa que indica o conjunto que é ideal de R. I = Z I = Q I = R - Q I = {Q[√2] = a + b√2 | a, b є Q} I = {0} 5 - Qual dos conjuntos abaixo é um ideal do anel Z? I = {−4݇+1∕݇∈ܼ} I = {4݇+1∕݇∈ܼ} I = {−4݇+3∕݇∈ܼ} I = {−4݇∕݇∈ܼ} I = {4݇∕݇∈ܼ} RESPONDA. 1 - Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). Verifique se I é um ideal do anel (RR, +, .). 2 - Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. Verifique se f é um homomorfismo de anel. 3 - Seja f: C → C tal que f(x) = x . Verifique se f é um homomorfismo de anel. 4 - Seja ܣ = ቄቂܽ 00 ܽቃ | ܯଶ ℝቅ . Verifique se existe um isomorfismo de anel. 5 - Vamos considerar o anel Z4. Verifique se {0,2} é um ideal do anel Z4. Respostas em a10_t17.pdf.
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