4 – Equações Diferenciais de 1ª Ordem (parte 3)

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4 – Equações Diferenciais 
de Primeira Ordem
Parte 3
Nesta última parte, não estudaremos nenhum
tipo particular de equação diferencial de primeira
ordem.
Apresentaremos três equações diferenciais
clássicas, as quais podem ser transformadas em
equações já estudadas anteriormente.
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Equação de Bernoulli
A equação diferencial
em que n é um número real qualquer, é chamada
equação de Bernoulli.
Note que, para n = 0 ou n = 1, essa equação é
linear em y.
)1()()( nyxfyxP
dx
dy
=+
Método de Resolução
Se , multiplicamos a equação (1) por
Fazendo e calculando
0≠y ny−
)2()()( 1 xfyxP
dx
dyy nn =+ −−
,1,0,1 ≠≠= − nnyw n
dx
dyyn
dx
dw n−
−= )1(
dx
dw
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Método de Resolução
Substituindo por em (2), a
equação torna-se linear em w
Resolvendo essa última equação e depois voltando
com a variável y por meio de obtemos a solução
para a equação inicial (1).
dx
dw
n
⋅
−1
1
dx
dyy n−
)()1()()1( xfnwxPn
dx
dw
−=−+
,
1 nyw −=
Método de Resolução
Resumidamente: para resolver a equação de
Bernoulli
faça e resolva a equação linear em w
em seguida, substitua w por
nyw −= 1
)()1()()1( xfnwxPn
dx
dw
−=−+
nyxfyxP
dx
dy )()( =+
.
1 ny −
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Equação de Bernoulli
Exemplo 1
Resolva a equação diferencial a seguir
21 xyy
xdx
dy
=+
Equação de Ricatti
A equação diferencial não linear
é chamada equação de Ricatti.
)3()()()( 2yxRyxQxP
dx
dy
++=
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Método de Resolução
Se y1 for uma solução particular para a equação
(3), então as substituições
em (3) produzem a seguinte equação diferencial para u
dx
du
dx
dy
dx
dy
uyy +=+= 11 e
)4()2( 21 RuuRyQdx
du
=+−
Método de Resolução
Como (4) é uma equação de Bernoulli com n = 2,
ela pode ser reduzida à equação linear
por meio da substituição
RwRyQ
dx
dw
−=++ )2( 1
.
1−
= uw
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Método de Resolução
Resumidamente: para resolver a equação de Ricatti
resolva primeiro a seguinte equação linear em w
Dessa forma, a solução para a equação de Ricatti é
é uma solução
particular da equação de Ricatti.
RwRyQ
dx
dw
−=++ )2( 1
2)()()( yxRyxQxP
dx
dy
++=
11 e
1que em y
w
uuyy =+=
Equação de Ricatti
Exemplo 2
Resolva 269 yy
dx
dy
++=
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Equação de Clairaut
Uma equação diferencial da forma
é chamada equação de Clairaut.
)( yfyxy ′+′=
Método de Resolução
A solução geral para a equação de Clairaut
é dada pela família de retas
Além dessa solução geral, há uma solução singular dada por
)(cfcxy +=
)( yfyxy ′+′=
)()(),( tfttfytfx ′−=′−=
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Equação de Clairaut
Exemplo 3
Resolva a seguinte equação diferencial
2)(
2
1 yyxy ′+′=
Trajetórias Ortogonais
Quando todas as curvas de uma família
G (x, y, c1) = 0 interceptam ortogonalmente todas as
curvas de outra família H (x, y, c2) = 0, então
dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais
uma da outra.
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Trajetórias Ortogonais
Em outras palavras, uma trajetória ortogonal é
uma curva que intercepta toda a curva de uma família
em ângulo reto.
Trajetórias ortogonais ocorrem naturalmente na
construção de mapas meteorológicos e no estudo de
eletricidade e magnetismo.
Trajetórias Ortogonais
Em um campo elétrico em volta de dois corpos
de cargas opostas, as linhas de força (as pontilhadas)
são perpendiculares às curvas equipotenciais (curvas
ao longo das quais o potencial é constante).
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Método Geral
Para determinar as trajetórias ortogonais de uma
dada famílias de curvas, primeiro encontramos a equação
diferencial
que descreve a família. A equação diferencial da família
ortogonal é então
),( yxf
dx
dy
=
),(
1
yxfdx
dy −
=
Trajetórias Ortogonais
Exemplo 4
Determine as trajetórias ortogonais da família de
hipérboles ⋅=
x
cy 1