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INSTITUTO DE FI´SICA - UFRJ P2 Fı´sica I - 2015-1 Parte 2 - Questo˜es Discursivas Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que: todos os fios e molas sa˜o ideais; os fios permanecem esticados durante todo o tempo; a resisteˆncia do ar e´ desprezı´vel; a gravidade tem mo´dulo g conhecido. Questa˜o 1 – valor 2,5 Um bloco de massaM esta´ em equilı´brio preso a uma mola ideal, de constante ela´stica k, inicialmente em sua posic¸a˜o relaxada, como mostra a figura. Uma bala de massa m com velocidade horizontal de mo´dulo v0 colide com esse bloco de modo que a bala retorna apo´s a colisa˜o no sentido oposto com velocidade de mo´dulo v0/2. Considere que a colisa˜o seja instantaˆnea. Determine, em func¸a˜o dos dados do problema: a) a velocidade V do bloco de massa M imediatamente apo´s a colisa˜o. b) a compressa˜o ma´xima da mola. c) a raza˜om/M para que a colisa˜o seja ela´stica. gabarito (a) [0,8] Podemos aplicar a conservac¸a˜o do momento linear do sistema bloco+bala, pois podemos considerar que a colisa˜o e´ um processo quase instantaˆneo e assim desprezar o deslocamento da mola e da bala durante o choque. Adotando o sinal positivo para a velocidade da bala antes da colisa˜o, escrevemos m · v0 = −m v0 2 +M · V (0, 5 pt) V = 3mv0 2M (0, 3 pt) (b) [0,8] Podemos aplicar a conservac¸a˜o de energia mecaˆnica no sistema bloco+mola apo´s a colisa˜o (pois a forc¸a ela´stica e´ conservativa) entre o momento imediatamente posterior a` colisa˜o (quando o bloco tem velocidade V calculada no item anterior) e o instante de ma´xima compressa˜o (x) da mola, quando o bloco tem velocidade nula: Emec = Ec + U ⇒ 1 2 M · V 2 = 1 2 k · x2 (0, 5 pt) x = √ M · V 2 k = √ M k 3mv0 2M (0, 3 pt) (c) [0,9] Se a colisa˜o do bloco com a bala for ela´stica, enta˜o a conservac¸a˜o da energia cine´tica do sistema bloco+bala entre os instantes imediatamente anterior e posterior a` mesma fornece: 1 2 mv2 0 = 1 2 m (v0 2 )2 + 1 2 MV 2 (0, 6 pt) 1 m M = 1 3 (0, 3 pt) Questa˜o 2 – valor 2,5 Um disco de massa M e raio R esta´ em repouso sobre uma superfı´cie plana, horizontal e com atrito. Num dado instante aplica-se no seu centro O uma forc¸a ~F constante, cuja direc¸a˜o faz um aˆngulo θ com a horizontal, como mostra a figura. Sabe-se que o disco rola sem deslizar sobre a superfı´cie e que o momento de ine´rcia do disco em relac¸a˜o a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro e´ I = 1 2 MR2. a) Fac¸a um diagrama representando todas as forc¸as que agem sobre o disco nos seus respectivos pontos de aplicac¸a˜o. b) Determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o, aCM , do centro de massa do disco enquanto ele se desloca. c) Determine o mo´dulo e o sentido da forc¸a de atrito que atua sobre o disco. d) Determine a energia cine´tica adquirida pelo disco no ins- tante em que da´ uma volta completa a partir do ins- tante inicial. gabarito a) valor=0,4 ponto ~P a forc¸a peso ~N a forc¸a normal ~fat a forc¸a de atrito ~F a forc¸a aplicada b) +c) valor=1,7 ponto A dinaˆmica do movimento do disco e´ dada pela sua rotac¸a˜o e pela translac¸a˜o do seu centro de massa. Translac¸a˜o: ∑ ~Fi = M~aCM Rotac¸a˜o: ∑ ~τi = I~α (1) Onde ~Fi sa˜o as forc¸as e ~τi os torques que agem sobre o disco. A condic¸a˜o para que o disco role sem deslizar e´ dada pelo vı´nculo aCM = αR, onde α corresponde a acelerac¸a˜o angular do disco e R o seu raio. 2 De acordo com a direc¸a˜o e sentido do movimento do centro de massa do disco, o sentido de rotac¸a˜o positivo como hora´rio e calculando os torques em relac¸a˜o ao centro O, podemos escrever as relac¸o˜es em (1) como: Translac¸a˜o: F cos θ − fat = MaCM i) Fsenθ +N − P = 0 ii) Rotac¸a˜o: Rfat = Iα iii) Rearranjando as equac¸o˜es i) e iii) com a condic¸a˜o de vı´nculo, obtemos F cos θ − fat = MaCM Rfat = Iα α = aCM/R → F cos θ − fat = MaCM fat = (I/R 2)aCM A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita permite obter aCM , onde I = (1/2)MR 2, aCM = Fcosθ (M + I/R2) → aCM = 2 3 Fcosθ M Substituindo o resultado de aCM na relac¸a˜o i), Fcosθ − fat = MaCM =✚✚M 2 3 Fcosθ ✚✚M , fat = 1 3 Fcosθ O valor de fat > 0 indica que o sentido adotado para a forc¸a de atrito esta´ correto. d) valor=0,4 ponto Maneira 1) Apo´s uma volta completa o centro de massa do disco deslocou-se de 2πR. Podemos aplicar o teorema trabalho-energia ∆K = WTotal. Como as forc¸as peso, normal e atrito na˜o realizam trabalho e a forc¸a ~F e´ constante,WTotal = ~F ·∆~S. Assim temos, Kf −Ki = Fcosθ.2πR (Ki= 0)→ Kf = 2πRFcosθ Maneira 2) A energia cine´tica do disco e´ dada pela soma das contribuic¸o˜es das energias cine´ticas de translac¸a˜o e rotac¸a˜o. Como Ktransf = 1 2 Mv2CM,f e K rot f = 1 2 Iω2f , e o disco rola sem deslizar vCM = ωR, com I = 1 2 MR2, Kf = 3 4 Mv2cm,f Apo´s uma volta completa o centro de massa deslocou-se de d = 2πR. Como aCM = 2 3M Fcosθ e´ constante, podemos aplicar a equac¸a˜o de Torricelli, logo v2cm,f = 2aCMd = 8 3M πRFcosθ. Substi- tuindo esse resultado emKf , Kf = ✁3 4 ✚✚M ( 8 ✟✟ ✟3M πRFcosθ ) → Kf = 2πRFcosθ 3
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