10-Funcoes_trigonometricas-1.pdf

Prévia do material em texto

UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO
Funçõe trigonométricas: seno, cosseno e tangente
ADAMI, A. M. et al. Pré-cálculo: capítulo 8 - p. 148.
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: Apêndice C - p. 229
Das seis funções trigonométricas que podem ser definidas de acordo com as razões
trigonométricas conhecidas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante),
estudaremos as funções seno, cosseno e tangente. Para isso, é importante que lembremos
de alguns conceitos básicos da trigonometria.
1. Cada medida de arco na circunferência trigonométrica, dado em radianos, está
associada a um número real. Assim, por exemplo, quando nos referimos a sen2, estamos nos
referindo ao valor do seno de um arco que mede 2 rad; cos 3π2 significa o valor de cosseno
para um arco que mede 3π2 rad; e assim por diante.
2. O valor do seno de um arco na circunferência trigonométrica corresponde ao valor da
ordenada do ponto que é extremidade desse arco. Por isso, no sistema trigonométrico, o
eixo vertical (eixo dos y) é dito eixo dos senos.
3. O valor do cosseno de um arco na circunferência trigonométrica corresponde ao valor
da abscissa do ponto que é extremidade desse arco. Por isso, no sistema trigonométrico, o
eixo horizontal (eixo dos x) é dito eixo dos cossenos.
4. O valor da tangente de um arco pode ser obtido usando a relação entre o seno e o
cosseno do mesmo arco (tanθ = senθ
cosθ
) ou, no sistema trigonométrico, pode ser determinado
pela projeção do prolongamento do raio que passa pela extremidade do arco sobre o eixo
paralelo ao eixo dos y, no ponto 1, 0, por isso chamado de eixo das tangentes.
1) A função seno: fx = senx
x ∈ R ⇒Df = R
−1 ≤ senx ≤ 1  Imf = −1, 1
Para construir seu gráfico e considerando apenas uma volta na circunferência
trigonométrica, vamos tomar alguns arcos para os quais conhecemos os valores de seno.
Organizamos a tabela seguinte com esses valores:
1
x 0 π6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6 π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6 2π
senx 0 12
2
2
3
2 1
3
2
2
2
1
2 0
−1
2
− 2
2
− 3
2 −1
− 3
2
− 2
2
−1
2 0
Plotamos esses pontos:
1 2 3 4 5 6
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
Passamos sobre os pontos uma curva suave:
1 2 3 4 5 6
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
Observando que os valores de seno se repetem a cada volta na circunferência
trigonométrica, concluímos que a curva acima se repete a cada 2π radianos. Dessa forma,
obtemos o gráfico de fx = senx.
-2 2 4 6 8 10 12 14
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
Funções que, como a função seno, de ”tempos em tempos” repetem um mesmo
2
comportamento são chamadas de funções periódicas. E, também como ocorre com a
função seno, funções que têm um menor e um maior valor de imagem são ditas funções
limitadas. A essas idéias estão vinculados dois conceitos: o de período e o de amplitude.
Numa função y = fx, o período (representado por P) é a medida desse ”tempo”, melhor
dizendo, é a medida do intervalo de x no qual se complete todo o comportamento da função.
No caso da função seno, é a medida do maior intervalo de x necessário para se completar um
ciclo da senóide.
E, a amplitude (representada por A) é definida como sendo a metade da medida entre a
menor e a maior imagem produzida pela função.
⋙ Dessa forma, para a função seno, o período é P = 2π e a amplitude é A = 1.
2) A função cosseno: fx = cos x
x ∈ R ⇒Df = R
−1 ≤ senx ≤ 1  Imf = −1, 1
Exercício de aula:
Para construir o gráfico da função cosseno, considerando apenas uma volta na circunferência
trigonométrica, vamos proceder da mesma forma que para a função seno. Para isso, vamos
considerar os arcos cujas extremidades estão em pontos que dividem os quadrantes da
circunferência trigonométrica, os arcos notáveis e seus simétricos.
Complete a tabela abaixo com os valores exatos de cosseno para os arcos considerados.
Faça circunferências para localizar os arcos se necessário.
x 0 π6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6 π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6 2π
cosx 0 32
2
2
1
2 1
Plotando os pontos, passando sobre eles uma curva suave e observando que os valores
de cosseno se repetem a cada volta na circunferência trigonométrica, obtemos a curva que é
gráfico da função fx = cosx, dado a seguir.
-2 2 4 6 8 10 12 14
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
⋙ Também para a função cosseno, determine o período e a amplitude.
3
3) A função tangente: fx = tan x
Exercício extraclasse 8:
Atividade 1:
Lembrando que tan x = senxcosx :
 apresente 06 valores de x para os quais não existe tan x:
 o que levou você a concluir que para os valores de x acima não existe o valor de tan x?
 com base nisso, escreva uma expressão geral que expresse todos os valores de x para os
quais a tan x não existe:
 assim, pode-se definir a função tangente por fx = tan x para x ∈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ou
seja, a função tangente associa a cada valor de x ∈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . um único valor y = tan x
pertencente ao conjunto dos números reais;
 então, Dtan x =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Imtan x =. . . . . . . . . . . . .
Atividade 2:
 Use calculadora e complete a tabela com os valores de tan x para os valores dados de x:
x 0 π6
π
4
π
3 1. 1 1. 4 1. 55 1. 57
π
2
tan x
 O que acontece com os valores de tan x à medida que os valores de x ficam cada vez mais
próximos de π2 , por valores menores que ele?
 Use calculadora e complete a tabela com os valores de tan x para os valores dados de x:
x π 5 π6 3
π
4 2
π
3 1. 7 1. 59 1. 58 1. 571
π
2
tan x
 O que acontece com os valores de tan x à medida que os valores de x ficam cada vez mais
próximos de π2 , por valores maiores que ele?
Então, em x = π2 a função tangente não existe, porém, quando os valores de x estão muito
próximos de π2 a função ”cresce ilimitadamente” ou ”decresce ilimitadamente”, o que
caracteriza ali uma assíntota vertical do gráfico da função tangente.
 Escreva a equação dessa assíntota vertical:
Veja parte do gráfico da função tangente, para valores de x entre 0 e π:
4
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-20
-10
0
10
20
x
y
Assim como acontece em x = π2 , a função tangente tem esse mesmo comportamento em
todos os valores de x para os quais a função não está definida. Assim, a função tangente
apresenta assíntotas verticais em todos os valores de x = π2 + kπ, com k ∈ Z.
 Com isso, construa o gráfico de fx = tan x no intervalo −2π; 3π.
 Determine o domínio da função tangente e a sua imagem.
 Para a função tangente, determine o período e justifique porquê a amplitude não está
definida.
Algumas respostas:
Atividade 1:
Lembrando que tan x = senxcosx :
- tan x não existe, por exemplo, para x = π2 , x = −
π
2 , x =
3π
2 , x = −
3π
2 , x =
5π
2 , x = −
5π
2 .
- o valor de tan x não existe pra esses valores porque o cosseno desses valores é zero, ou
seja, o denominador de tan x = senxcosx é zero para esses valores.
- tan x não existe para x = π2 + kπ, com k ∈ Z.
- assim, a função tangente é definida por fx = tan x para x ∈ x ≠ π2 + kπ, com k ∈ Z, ou
seja, a função tangente associa a cada valor de x ∈ R − x ∈ R; x = π2 + kπ, com k ∈ Z. um
único valor y = tan x pertencente ao conjunto dos números reais.
- Dtan x = R − x ∈ R; x = π2 + kπ, com k ∈ Z. e Imtan x = R
Atividade 2:
x 0 π6
π
4
π
3 1. 1 1. 4 1. 55 1. 57
π
2
tan x 0 0. 577 35 1 1. 732 1 1. 964 8 5. 797 9 48. 078 1255. 8 ∄
À medida que os valores de x ficam cada vez mais próximos de π2 , à esquerda dele, os
valores de tan x ficam cadavez maiores.
5
x π 5 π6 3
π
4 2
π
3 1. 7 1. 59 1. 58 1. 571
π
2
tan x 0 −0. 577 35 −1 −1. 732 1 −7. 696 6 −52. 067 −108. 65 −4909. 8 ∄
À medida que os valores de x ficam cada vez mais próximos de π2 , à direita dele, os valores
de tan x ficam cada vez menores (mais negativos).
Assim, uma assíntota vertical do gráfico da função tangente é a reta de equação x =. π2 .
Assim como acontece em x = π2 , a função tangente tem esse mesmo comportamento em
todos os valores de x para os quais a função não está definida. Isto é, a função tangente
apresenta assíntotas verticais em todos os valores de x = π2 + kπ, com k ∈ Z.
O gráfico de fx = tan x no intervalo −2π; 3π é
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-10
-5
5
10
x
y
 Dtan x =.R − x ∈ R; x = π2 + kπ,com k ∈ Z. e Imtan x = R
 O período da função tangente é P = π e a amplitude não está definida porque a função não
é limitada (veja que Imf = R).
6