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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2016
Lista de Exerc´ıcios 4
1. Calcule as integrais a seguir
(a)
∫ 5
1
(2 + 3x− x2) dx (Resposta: 8
3
)
(b)
∫ √pi
0
(cosx) dx (Resposta: sen(
√
pi))
(c)
∫ 2
1
(− 2
x
+ 3ex − 1) dx (Resposta: −2ln2 + 3e2 − 3e− 1)
(d)
∫ 1
0
(3 + x
√
x) dx (Resposta: 17
5
)
(e)
∫
(1− t)(2 + t2) dt (Resposta: 2t+ 1
3
t3 − t2 − 1
4
t4 + C)
(f)
∫
(2x+ 1√
1−x2 ) dx (Resposta: x
2 + arcsen(x) + C)
(g)
∫ (
x2 + 1 + 1
x2+1
)
dx (Resposta: 1
3
x3 + x+ tan−1 (x) + C)
(h)
∫
(2ey − cossec2(y))dy (Resposta: 2ey + cotan(y) + C)
(i)
∫ 1
0
2
1+x2
, dx , com −pi
2
< x < pi
2
(Resposta: pi
2
)
(j)
∫
x+1
x
dx (Resposta: x+ ln|x|+ C)
(k)
∫
3tan2(a)da (Resposta: 3tan(a)− 3a+ C)
(l)
∫ √
x3+
3√
x2−2x−1
3x
dx (Resposta: 2
9
x
3
2 + 1
2
x
2
3 + 2
3
x−1 + C)
2. Calcule as integrais seguir, por substituic¸a˜o
(a)
∫ a
0
(x
√
a2 − x2) dx (Resposta: a3
3
)
(b)
∫ 1
0
(xe−x
2
) dx (Resposta: 1−e
−1
2
)
(c)
∫
cos(3x) dx (Resposta: sen(3x)
3
+ C)
(d)
∫
2x3(x4 + 2)7 dx (Resposta: (x
4+2)8
16
+ C)
(e)
∫
tg(y) dy (Resposta: −ln|cos(y)|+ C)
(f)
∫
dx
n+x
(Resposta:ln|n+ x|+ C)
(g)
∫ e4
e
1
x
√
ln(x)
dx (Resposta: 2)
(h)
∫ pi/2
0
xsen(x2)dx (Resposta: 1
2
− cos(pi2
4
)
(i)
∫ 1/2
1/6
cossec(pit)cotg(pit)dt (Resposta: 1/pi)
(j)
∫
etg(x)sec2(x)dx (Resposta: etg(x) + C)
(k)
∫ pi
2
0
cosx.esen(x)dx (Resposta: e− 1)
(l)
∫ 1
0
x3
1+x2
dx (Resposta: 1
2
− ln(2)
2
)
3. Calcule as seguintes integrais de func¸o˜es trigonome´tricas
(a)
∫
cos3(x)dx (Resposta: sen(x)− sen3(x)
3
+ C)
(b)
∫ pi/2
−pi/2
cos2(x)dx (Resposta: pi/2)
(c)
∫
cos7(3x)sen3(3x)dx (Resposta: − cos8(3x)
24
+ cos
10(3x)
30
+ C)
(d)
∫
cos2(t)sen2(t)dt (Resposta: 1
16
(
2t− sen(4t)
2
)
+ C)
(e)
∫
sen4(x)dx (Resposta: 1
32
(12x− 8sen(2x) + sen(4x)) + C)
(f)
∫
tg3(x)sec(x)dx (Resposta: 1
3
sec3(x)− sec(x) + C)
4. Calcule as integrais seguir, por partes
(a)
∫
xe2x dx (Resposta: e
2x
2
(
x− 1
2
)
+ C)
(b)
∫ 3
1
ln(2x)dx (Resposta: ln(108)− 2)
(c)
∫
3x4lnx dx (Resposta: 3x
5
5
(lnx− 1
5
) + C)
(d)
∫
exsenx dx (Resposta: 1
2
ex(senx− cosx) + C)
(e)
∫ −1
−2 x
2e−2xdx (Resposta: 1
4
e2(5e2 − 1))
(f)
∫
x2sen(ax) dx (Resposta: −x2 cos(ax)
a
+ 2x sen(ax)
a2
+ 2cos(ax)
a3
+ C)
(g)
∫
sen−1(2x) dx (Resposta: 1
2
[2xsen−1(2x) +
√
1− 4x2] + C)
(h)
∫
x2ln2(x) dx (Resposta: x
3
3
(
ln2|x| − 2
3
ln|x|+ 2
9
)
+ C)
(i)
∫
eaxsen(bx) dx (Resposta: b
2
a2+b2
[
−eaxcos(bx)
b
+ ae
axsen(bx)
b2
]
+ C)
(j)
∫
3x2ex dx (Resposta: 3ex(x2 + x− 1) + C)
5. Calcule as integrais a seguir, usando frac¸o˜es parciais
(a)
∫
x− 9
x2 + 3x− 10 dx (Resposta:
2 ln |x+ 5| − ln |x− 2|+ C)
(b)
∫ 3
2
1
x2 − 1 dx (Resposta:
1
2
ln 3
2
)
(c)
∫
3x+ 5
(x+ 1)(x− 1)2 dx (Resposta:
1
2
ln |x+1
x−1 | − 4x−1 + C)
(d)
∫
x2 + x− 3
x3 − 2x2 − x+ 2 dx (Resposta:
− ln |x+1|
2
+ ln |x−1|
2
+ ln |x− 2|+ C)
6. Calcule as integrais a seguir usando o me´todo da substituic¸a˜o trigonome´trica
(a)
∫
dx√
x2 + a2
(Resposta: ln
∣∣∣∣∣
√
a2 + x2 + x
a
∣∣∣∣∣+ C)
(b)
∫ √
4− (x− 1)2 dx (Resposta: 1
2
(x− 1)√−x2 + 2x+ 3 + 2sen−1(x−1
2
) + C)
(c)
∫
1
x2
√
16− x2 dx (Resposta: −
√
16− x2
16x
+ C)
(d)
∫ 4
2
√
16− x2 dx (Resposta: 8pi
3
− 2√3)
(e)
∫
dx
x3
√
x2 − 16 (Resposta:
1
128
(
4
√
x2−16
x2
+ cos−1( 4
x
)
)
+ C)
7. Calcule as integrais abaixo utilizando o me´todo mais adequado
(a)
∫ 1
−1
(x7 + 3 + 1/x2)dx (Resposta: 4)
(b)
∫ 0
−1
e2xdx (Resposta: 1
2
(1− e−2))
(c)
∫
7
x−2dx (Resposta: 7ln|x− 2|+ C)
(d)
∫
sen3(x)√
cos(x)
dx (Resposta: 2
√
cos(x)
(
cos2(x)
5
− 1
)
+ C)
(e)
∫ e
1
dx
x
√
1 + ln(x)
(Resposta: 2
√
2− 2)
(f)
∫
dx
sen−1(x)
√
1− x2 (Resposta: ln|sen
−1(x)|+ C)
(g)
∫
x sen(x)cos(x)dx (Resposta: −x
4
cos(2x) + 1
8
sen(2x) + C)
(h)
∫
(ln(x))2dx (Resposta: x ln2(x)− 2(xln(x)− x) + C)
(i)
∫
dx√
x2 + 5
(Resposta: ln
∣∣∣∣∣
√
5x2 + 25 +
√
5x
5
∣∣∣∣∣+ C)
(j)
∫
x
ex
dx (Resposta: −(x+ 1)e−x + C)
(k)
∫
xr ln(x)dx, r ∈ R Resposta:
{
xr+1
r+1
ln(x)− xr+1
(r+1)2
+ C se r 6= −1
ln2(x)
2
+ C se r = −1
(l)
∫
sen−1(x)dx (Resposta: x sen−1(x) +
√
1− x2 + C)
(m)
∫ 1
0
1√
4− x2 dx (Resposta:
pi
6
)
(n)
∫
sec3(x)dx (Resposta: 1
2
sec(x)tg(x) + 1
2
ln|sec(x) + tg(x)|+ C)
(o)
∫
sen(ln(x))dx (Resposta: x
2
[sen(ln(x))− cos(ln(x))] + C)
(p)
∫
sen3
(
x
2
)
cos5
(
x
2
)
dx (Resposta:
cos8(x2 )
4
− cos
6(x2 )
3
+ C)
(q)
∫
cos6(3x)dx (Resposta: 5x
16
+ sen(6x)
12
+ sen(12x)
64
− sen3(6x)
144
+ C)
(r)
∫
xcos(x2)dx ((Resposta: 1
2
sen(x2) + C)
(s)
∫
x3√
4−x2dx ((Resposta: −x2
√
4− x2 − 2
3
√
(4− x2)3 + C)
(t)
∫
dx
x2
√
x2+1
((Resposta: −
√
x2+1
x
+ C)
(u)
∫
1
1+ex
dx (Dica: multiplique e divida por e−x (( Resposta: ln
(
ex
ex+1
)
+ C)
(v)
∫ ln(x)
x5
dx (( Resposta: − ln(x)
4x4
− 1
16x4
+ C)
8. Calcule a a´rea da regia˜o compreendida entre as curvas f(x) = 1−x2 e g(x) = 1−x.
(Resposta:
1
6
)
9. Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas y = 2x2 e y = −x2−2x. (Resposta:
4
27
)
10. Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas y =
√
x+ 1 e y = (x− 1)2, e pelas
retas x = 2 e x = 0. (Resposta: 2
√
3− 4
3
)
11. Qual e´ a a´rea entre as curvas y = cos(x) e y = cos2(x) entre 0 e 2pi?( Reposta: 2)
12. Calcule a a´rea da regia˜o compreendidada entre os gra´ficos f(x) = x3 − 2x + 1 e
g(x) = −x+ 1 com −1 ≤ x ≤ 1. Resposta: 1
2
13. Determine m > 0 para que a a´rea delimitada por y = x2, y = x
2
2
e a reta y = mx
seja igual 4. Resposta: m = 2
14. Encontre a rea da regia˜o limitada entre as curvas x = y3−y e x = 1−y4. Resposta:
8
5
15. Calcule a rea entre as curvas y = 2x2 e y = −x2 − 2x Resposta: 4/27u.a.
16. Calcule a´rea da regia˜o entre o gra´fico da func¸a˜o y = x2 + 1 e as linha y = 10 e
x = 0, no primeiro quadrante do eixo xy, e´: (Resposta: 18 )
17. Resolva as integrais abaixo:
(a)
∫ 1
0
(3x− 2)2dx = (Resposta: 1 )
(b)
∫
dx√
25−x2 (Resposta: sen
−1 (x
5
)
+ C )
(c)
∫
x√
3x2+5
dx (Resposta: 1
3
(3x2 + 5)
1
2 + C )
(d)
∫
dx
x2−2x+2 (Resposta: tan
−1(x− 1) + C )
(e)
∫
1
x2+x
dx (Resposta: ln
∣∣ x
x+1
∣∣+ C )
(f)
∫ 4
0
x
√
16− x2dx (Resposta: 64
3
)
(g)
∫ 4
0
x3
√
16− x2dx (Resposta: 2048
15
)
(h)
∫ 4
0
√
16− x2dx (Resposta: 4pi )
(i)
∫∞
1
x
(1+x2)2
dx (Resposta: 1
4
)
(j)
∫∞
2
dx
x2
(Resposta: 1
2
)
(k)
∫∞
4
−2xdx
3√9−x2 (Resposta: Na˜o converge. )
18. Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando
sua resposta e comparando com o integrando.
(a)
∫
e
√
xdx (Dica: use a substituic¸a˜o u =
√
x e fac¸a depois por partes, Resposta:
2[
√
xe
√
x − e√x] + C )
(b)
∫
x−4
x2+5x+6
dx (Dica: Use frac¸o˜es parciais, Resposta: ln
(
|x+3|7
|x+2|6
)
+ C )
(c)
∫ pi
4
0
√
1 + cos(4x)dx (Dica: Use o fato que cos2(θ) = 1+cos(2θ)
2
para simplificar
o integrando (ou multiplique e divida o mesmo por
√
1− cos(4x) e depois fac¸a
por substituic¸a˜o), Resposta:
√
2
2
)
(d)
∫ 1
0
ln(x2+2x+1)
x+1
dx (Dica: fac¸a a fatorac¸a˜o do argumento do logaritmo e use a
substituic¸a˜o com u= ln(x+ 1), Resposta: ln2(2) )
(e)
∫
x−3
x2−6x−16dx (Dica: Use frac¸o˜es parciais, Resposta:
1
2
ln (|x2 − 6x+ 16|) +C )
(f)
∫
xex
2
sen(x2)dx (Dica: Use a substituic¸a˜o u = x2 e depois fac¸a por partes ,
Resposta: 1
4
ex
2
(sen(x2)− cos(x2)) + C )
(g)
∫∞
1
ln(x)
x2
dx (Dica: Use a substituic¸a˜o u = ln(x) para essa integral impro´pria ,
Resposta: 1 )
(h)
∫
excos(ex)dx (Dica: Use a substituic¸a˜o u = ex , Resposta: sen(ex) + C )
(i)
∫ 2√
2
dx
x3
√
x2−1 (Dica: Use a substituic¸a˜o x = sec(θ) , Resposta:
pi+3
√
3−6
24
)
(j)
∫
dx
x2
√
x2+1
(Dica: Use a substituic¸a˜o x = tg(θ) , Resposta: −
√
x2+1
x
+ C )
19. Seja f e g func¸o˜es cont´ınuas e diferencia´veis satisfazendo as seguintes condic¸o˜es
para um certo nu´mero real b:
I.
∫ 3
1
f(x+ 2)dx = 3b
II. O valor me´dio de f no intervalo [1, 3] e´ 2b
III.
∫ x
−4 g(t)dt = f(x) + 3x
IV. g(x) = 4b+ f ′(x)
(a) Ache
∫ 5
1
f(x)dx em termos de b.(Resposta: 7b )
(b) Encontre b.(Resposta: 3
4
)
20. Seja a func¸a˜o f(x) = 1
x2−4
(a) Fac¸a um esboc¸o da func¸a˜o f(x).
(b) A integral definita
∫ 1
−1 f(x)dx e´ positiva ou negativa? Justifique fazendo re-
fereˆncia ao seu gra´fico. (Resposta: negativa )
(c) Fac¸a a integral do item (b) usando frac¸o˜es parciais. (Resposta: −1
2
ln(3) )
(d) E´ poss´ıvel fazer a mesma integral usando a substituic¸a˜o x = 2 sec(θ)? Se
poss´ıvel fac¸a a integral. Sena˜o indique o porqueˆ que a substituic¸a˜o falha.
21. Se para todo x > 1, se f(x) =
∫ x
1
dt
t
, determine f ′(x) (Resposta: 1
x
)
22. Calcule d
dx
∫ x
1
√
1 + t3dt (Resposta:
√
1 + x3 )
23. Calcule d
dx
∫ x2
2
√
1 + t2dt (Resposta:
√
1 + (x2)2.2x )
24. Qual o valor de
∫ 3
−3(x + 5)
√
9− x2dx? Tente na˜o fazer as integrais e use o gra´fico
de f(x) =
√
9− x2 e o fato que g(x) = x√9− x2 e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
25. Se
∫ 10
1
f(x)dx = 2 e
∫ 3
10
f(x)dx = 7, determine
∫ 3
1
f(x)dx. (Resposta: 9 )
26. Se
∫ b
a
f(x)dx = a− b, enta˜o quanto vale 1
2
∫ b
a
(f(x) + 5)dx? (Resposta: 2b− 3a )
27. A func¸a˜o densidade normal de probabilidade e´ dada por G(x) = 1√
2pi
∫ x
0
e−t
2/2dt.
Ache G′(x). (Resposta: 1√
2pi
e−x
2/2)
28. Determine o valor me´dio das func¸o˜es no intervalo dado:
(a) f(x) = x2
√
x3 + 1 no intervalo [0, 2]. (Resposta: 26
9
)
(b) f(x) = 1
x
no intervalo [1, 3]. (Resposta: ln(3)
2
)
29. Se a substituic¸a˜o u = x
4
e´ feita, como fica a integral
∫ 4
2
1−
√
(x4 )
x
dx? (Resposta:∫ 1
1
2
1−√u
u
du )
30. A substituic¸a˜o de x = sen(θ) na integral
∫ 1
2
0
x2√
1−x2dx resulta em qual integral?
(Resposta:
∫ pi
6
0
sen2(θ)dθ )
31. Se
∫
f(x)exdx = f(x)ex − ∫ 2xexdx, ache f(x). (Resposta: x2 )
32. Considere a figura abaixo, onde temos um retaˆngulo inscrito no gra´fico de y = 4−x2.
Qual a a´rea da figura hachurada na qual a a´rea do retaˆngulo inscrito e´ ma´xima?
(Resposta:
32(1−
√
3
3
)
3
)
33. A figura abaixo mostra um triaˆngulo OAB inscrito na regia˜o entre a para´bola y = x2
e a linha y = a2. Determine o limite da raza˜o entre a a´rea do triaˆngulo e a a´rea da
regia˜o parabo´lica quando a tende a` zero. (Resposta: 4
3
)
x
y
x2
0
A
a2
B
34. Sejam as duas integrais abaixo:
a)
∫ √
16− x2dx
b)
∫
x
√
16− x2dx
(a) Tente adivinhar qual delas sera´ a maior a` ser computada. Explique seus mo-
tivos.
(b) Calcule as integrais e veja qual e´ a maior.
35. Mostre que
∫
dx
a2cos2(x)2 + b2sen2(x)
=
1
ab
arctan(
btg(x)
a
) + C (1)
36. Mostre que ∫
dx
sen(x) + tg(x)
=
1
2
ln(tg(
x
2
)) +
1
4
tg2(
x
2
) + C (2)
37. Mostre ∫
ln(x+
√
1 + x2)dx = senh−1(x)−
√
1 + x2 + C (3)
38. Mostre ∫
dx
tg(x)
√
cos(2x)
= −cosh−1( 1√
2sen(x)
) + C (4)
39. Mostre que para x ≥ 0∫
(
x
x+ 1
)
1
4dx =
t
1− t4 +
1
4
ln(
1− t
1 + t
)− 1
2
arctan(t) + C (5)
onde x
x+1
= t.
40. Mostre que para x > 1
∫
dx
x
√
x2 − 1 = 2 arctan(
√
x− 1
x+ 1
) + C (6)
41. Mostre que ∫
tg(x)
1 + tg(x)
dx =
1
2
(x− ln(|sen(x) + cos(x))|) + C (7)
42. Mostre que para α 6= 1∫
dx
x+ xα
=
1
1− α ln(1 + x
1−α) + C (8)
43. Mostre que
∫
dx
(x+ 1)
√
x2 + 1
= − 1√
2
ln |1− x+
√
2(x2 + 1)
1 + x
| (9)
44. Mostre que ∫ √
1− 2x− x2dx = 1 + x
2
√
1− 2x− x2 + arcsin(1 + x√
2
) (10)
45. Mostre que
∫
dx√
(2x− 1)− 4√(2x− 1) = (1 + 4√(2x− 1))2 + ln( 4√(2x− 1)− 1)2 + C (11)
46. Mostre que
∫
3
√
1 + 4
√
x√
x
dx =
12
7
z7 − 3z4 + C (12)
z = 3
√
1 + 4
√
x
47. Mostre que ∫
dx
1 + sen(x) + cos(x)
= ln |1 + tgx
2
|+ C (13)
48. Mostre que ∫
dx
1 + sen2(x)
=
1√
2
arctan (
√
2tgx) + C (14)
49. Mostre que
∫
dx
senh2(x) + cosh2(x)
= arctan(tanh(x)) + C (15)
50. Mostre que
∫
x
√
x2 + x+ 1dx =
1
3
3
√
(t)2 − 1
4
(x+
1
2
)
√
t− 3
16
ln(x+
1
2
+
√
t) + C (16)
onde t = x2 + x+ 1.
51. Determine o valor de R tal que [
∫ R
1
dx
3√x+x = 1]. (Dica: use a substituic¸a˜o (u =
3
√
x)
(Resposta: R = (2e(
2
3
−1) 32 )
52. Calcule a derivada da func¸a˜o f , onde [f(x) =
∫ √x
1
et
t2+1
dt.] (Resposta: e
√
x
2
√
x(x+1)
)
53. Seja D a regia˜o entre as cuvras y = x2 − x e o eixo x. Encontre a equac¸a˜o da
reta y = mx tal que essa divide D em duas regio˜es com a´reas iguais. (Resposta:
m = 1− 13√2)
54. Consider a regia˜o D delimitada pelas curvas f(x) = x−2 e g(x) = x−3, para x ≥ a.
(a) Determine a a´rea da regia˜o D no caso de a = 1. (Resposta: 1
2
)
(b) Determine o valor de a > 0 para que a´rea de D seja o dobro da obtida no item
anterior. (Resposta: 1
2
)
55. Seja φ : [0,∞)→ R uma func¸a˜o deriva´vel e considere F (t) = ∫ φ2(t)
0
sen(x)
x
dx.
(a) Se φ(1) =
√
pi/2 e φ′(1) = 1
2
, calcule F ′(1). (Resposta:
√
2/pi)