Banco de dados calculo II

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1) Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. = 
 fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
2) limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 i + j + k 
3) e outro ortogonal a v=i+k. = 
 u=(2i+2k)+(-i+2j+k) 
4) z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2).= 
 z=-8x+12y -14 
5) Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 = 
 (c) 
6) lim→ 0 r(t)=(sen2t) i + ln (2 )j + ( cos )k = 
 
7) Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 3 t² i + 2t j 
8) Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. = 
6t i + 2j 
9) Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: r ( t ) dt é: 
 2 sent i - cost j + t² k + C 
10) Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost , sent , t²), em t = 
𝜋
2
 
 (0, − 1, 2) 
 
11) Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈 1 + , 2 + 5 , − 1 + 6 〉 
 x= 1 + t; y = 2 + 5t , z = − 1 + 6t 
12) Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
 ( sent )i + t^4 j 
13) Seja (( cost )i + 3t²)j dt, =qual a resposta correta? 
 (sent)i + t³j 
14) Calcule a integral da função vetorial: 
3 
𝜋
4
 + 1 
15) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva: x = 3t − 5 e y = 2t + 1 
 
16) 
 
 
17) 
 
18) Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 v( t ) = − 2 sen (2t)i + 2 cos (2t )j 
19) Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
 (1 − cost , sent , 0) 
20) Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
 ( − sent , cost , 1) 
 
 
22) 
 
23) 
 
24) Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
 
 
 
26) Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t) = ( tcost )i + (tsent)j + tk? 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
27) 
 
 
28) 
 
29) Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r² = 4r 
cosΘ 
(x - 2)² + y² = 4 
30) 
 
31) 
 
32) 
 
 
33) 
 
 
34) 
 
 
35) O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. 
Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
 
 
 
 
 
36) Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k] 
 
 
e3 i + 5k 
37) Sendo f(x,y,z)=exyz encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável no 
pontoP(1,0,1). 
 
38) Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 1/t 
39) Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. 
Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da 
asa-delta no instante t = 0. 
 3 
40) Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo do caminho x = cost, y = sent. 
Qual é o valor da derivada em t = Π/2? 
 -1 
41) Calcule a integral: 
A=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta. 
 π³6 
42) Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 1/2(e-1)(e6-1) 
 
 
44) Calcule o limite de: lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
11 
 
45) Encontre dwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 
 
46) Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de ∫-11∫01-x2dydx 
 
47) 
 
48) Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
 
49) Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t)=6t3i-2t3j-3t3k, considerando 1≤t≤2. 
 
50) 
 
51) 
 
52) 
 
53) 
 
 
54) 
55) 
 
 
56) 
 
57) 
 
58) 
 
59) 
 
60) 
 
61) 
 
62) 
 
63) 
 
64) 
 
65) 
 
66) 
 
67) Encontrar (r,θ), supondo r < 0 e 0 <= θ < 2Pi para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são (sqrt3,-1). 
Dado: tg (pi/3) = Sqrt(3) 
 
68) Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para 
os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
69) O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
70) O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
71) Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
72) Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
73) Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
74) Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única resposta correta. 
 
75) Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
76) Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
77) Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: 
 
78) Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 
 
79) Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z 
 
80) Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
81) Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x,ye z são funções de outra 
variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t=0 
 
82) Utilizando a regra da cadeia, encontre a derivada parcial ∂w/∂r quandow=(x+y+z)²; x=r-s ;y=cos(r+s); z=sen(r+s) se r=1 e s=-1. 
 
83) Os simétricos de P = (3,-7,-4) em relação aos planos yz e xz são, respectivamente: 
 
84) A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
85) Calcule ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
86) Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
87) Integre f(x, y, z) = x - 3. y2 + z sobre C1 ⋃ C2, sendo que o caminho C1 vai de (0,0,0) até (1,1,0) e o caminho C2 vai de (1,1,0) até 
(1,1,1). 
Dados: C1: r(t) = ti + tj, 0 ≤ t ≤ 1 e C2: r(t) = i + j + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
88) Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y (x + y)dxdy 
 
89) Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
90) Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
 
91) Calcule a integral: 
 
 
92) Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido antihorário 
e se encontra submetido à força F 
(x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 
 
93)Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t31) 
k] 
 
94) Seja a função f(x, y) = sen2(x 3y). 
Encontre ∂f∂x 
 
95) Encontre a curvatura para 
 
96) Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z, onde x varia no intervalo [4 , 9] , y varia no intervalo [0 , 1] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
97) Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
98) Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde 
x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 
 
99) Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x 
varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e]. 
 
100) Calcule a integral de linha ʃ F.dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z), e C e a curva parametrizada por(sen t, cos t , t), 0 ≤ t ≤ 2 π. 
 
101) Seja f:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + z e c o segmento 
de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcular ∫c fds. Utilize a 
parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] . 
 
102) Considere uma função de três variáveis z = f( x, y, z). Seja = z sen (xy) x+seny . 
 
 
103) Integre a função f(x,y,z) = x - 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1).Considere a parametrização r(t) = + tj + tk, onde t pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, a 
integral de f sobre C é: 
 
104) Integre f(x, y, z) = x - 3. 2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado a 
parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
105) Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Considere ainda a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π]. Calcule ∫c fds. 
 
106) Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
107) Considere a função f(x,y) = y. ln + x. e^y . 
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F): 
1) ( ) A derivada da função f(x,y) em p(1, 0) na direção do vetor v= i−j é nula. 
2) ( ) A função f(x,y) aumenta mais rapidamente na direção do vetor u= i+j. 
3) ( ) Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2. 
4) ( ) A taxa de variação da função é 2^1/2 
5) ( ) A reta tangente à curva f(x,y) no ponto p(1, 0) é = − 1. 
 
108) Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da 
função F(x,y,z). 
 
109) Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z) 
 
110) Determine o plano tangente à superfície esférica X² + 3y²+z²=22 no ponto p(1, 2, 3) . 
 
111) Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em 
A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a 
alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula B deve tomar. 
 
112) Inverta a ordem da integral, esboce a região de integração se achar necessário e calcule a 
 
 
113) 
 
 
114) Resolva a integral 
 
115) Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral 
 
116) Encontre 
 
117) Calcule 
 
118) Apresente a expressão do operador divergente do campo vetorial: 
 
119) Calcular o operador divergente aplicado ao campo vetorial 
 
 
 
120) Calcule o módulo do operador rotacional do campo vetorial 
 
 
121) Calcule a integral 
 
122) Quais dos campos abaixo não são conservativos? 
 
 
 
123) Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa é dada pela fórmula 
encontre o comprimento da curva 
 
 
124) Calcule a integral de linha ao longo da curva 
 
125) Quais dos campos abaixo não são conservativos? 
 
126) Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
127) Calcule o módulo do vetor assim definido: v= (∫01(21-t2)dt)i-∫01(41+t2)dt)j+(∫0π(dt))k 
 
128) Quais dos campos abaixo são conservativos? 
 
129) Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0yxF(x, y, z)dzdydx.Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
130) 
 
 
 
 
131) 
 
 
132) 
 
 
133) 
 
 
134) 
 
 
135) 
 
 
136) 
 
 
137) 
 
 
138) 
 
139) 
 
140)