Dirac e Leigos

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A func¸a˜o Delta de Dirac para Leigos
J M B Lopes dos Santos
CFP e Departamento de F´ısica, Faculdade de Cieˆncias,
Universidade do Porto, 4169-007 Porto
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I. FUNCIONAIS LINEARES
Consideremos uma func¸a˜o φ(x) e uma classe de func¸o˜es L que designaremos por func¸o˜es
de teste. Suponhamos φ(x) e´ tal que o integral
Φ[g] ≡
∫ +∞
−∞
dxg(x)φ(x) (1)
e´ convergente para qualquer func¸a˜o g(x) ∈ L. Este integral define uma aplicac¸a˜o do conjunto
L no conjunto de nu´meros reais (ou complexos) daqui em diante designados simplesmente
por escalares.
g 7→ Φ[g] (2)
Esta aplicac¸a˜o e´ um exemplo de um funcional. No caso presente trata-se de um funcional
linear visto que a sua definic¸a˜o implica a propriedade
Φ[ag1 + bg2] = aΦ[g1] + bΦ[g2] (a, b escalares) (3)
Este funcional esta´ claramente associado a uma func¸a˜o φ(x). A todas as func¸o˜es para as
quais os integrais como o da eq.(1) sa˜o convergentes para qualquer func¸a˜o de L associamos
por este meio um funcional linear. O inverso na˜o e´ verdadeiro. Na˜o e´ poss´ıvel associar a
qualquer funcional linear uma func¸a˜o por meio de uma definic¸a˜o como a da eq.(1).
II. O FUNCIONAL DELTA DE DIRAC
Tomemos por exemplo o seguinte funcional obviamente linear e designado por Delta de
Dirac
δ[g] ≡ g(0) (4)
Para qualquer classe de func¸o˜es suficientemente vasta para ter interesse na˜o existe de facto
nenhuma func¸a˜o δ(x) tal que ∫ +∞
−∞
dxg(x)δ(x) = g(0) (5)
para qualquer func¸a˜o g(x). Por outras palavras a func¸a˜o delta de Dirac e´ um funcional
(ou distribuic¸a˜o) e na˜o uma func¸a˜o. No entanto e´ poss´ıvel representa´-lo como limite de uma
sequeˆncia de expresso˜es do tipo da eq.(1). Punhamos, por exemplo,
φη(x) ≡ 1√
2piη
e−x
2/2η2 (6)
2
e consideremos o seguinte limite
lim
η→0
Φη[g] ≡ lim
η→0
∫ +∞
−∞
dxg(x)φη(x) (7)
A func¸a˜o φη e´ uma gaussiana normalizada∫ +∞
−∞
dxφη(x) = 1 (8)
de largura η. A` medida que η se torna nulo o seu peso fica totalmente concentrado numa
vizinhanc¸a η de x = 0. Se a func¸a˜o de teste for cont´ınua nesse ponto e´ plaus´ıvel que
lim
η→0
∫ +∞
−∞
dxg(x)φη(x) = g(0)
∫ +∞
−∞
dxφη(x) = g(0) (9)
Podemos formalizar este argumento intuitivo do seguinte modo
lim
η→0
∫ +∞
−∞
dxg(x)φη(x) = g(0)
∫ +∞
−∞
dxφη(x) + lim
η→0
∫ +∞
−∞
dx(g(x)− g(0))φη(x) (10)
O primeiro termo e´ simplesmente g(0). Para mostrar que o segundo se anula fac¸amos a
mudanc¸a de varia´vel x→ u = x/η
1√
2pi
∫ +∞
−∞
du(g(uη)− g(0))e−u2/2 (11)
Se trocarmos a operac¸a˜o de limite com a de integrac¸a˜o e a func¸a˜o g(x) for cont´ınua na origem
lim
η→0+
g(uη)− g(0) = 0 (12)
e o segundo integral da eq.(10) anula-se no limite η → 0.
Na˜o e´ dif´ıcil reconhecer que o argumento precedente pode ser aplicado a muitas outras
func¸o˜es φη desde caracterizadas por uma a´rea total de valor 1 (pelo menos no limite η → 0)
e com uma largura que se anula com η. Exemplos poss´ıveis sa˜o
φη(x) =
1
2η
e−|x|/η (13)
φη(x) =
1
pi
η
x2 + η2
(14)
φη(x) =


1
2η
se |x| < η
0 se |x| > η
(15)
Nenhuma destas func¸o˜es tem um limite definido quando η → 0. Com efeito em todos os
casos
lim
η→0
φη(x) = 0 x 6= 0
lim
η→0
φη(0) = ∞ (16)
3
Mas, por outro lado, o funcional Φη[g] tem um limite definido que e´
lim
η→0
Φη[g] = δ[g] = g(0) (17)
E´ habitual definir a func¸a˜o delta de Dirac pela equac¸a˜o
∫ +∞
−∞
dxg(x)δ(x) ≡ δ[g] = g(0) (18)
A expressa˜o do lado esquerdo na˜o e´ pois um integral no sentido usual do termo. A questa˜o
que se pode por e´ enta˜o qual a raza˜o de ser da popularidade desta notac¸a˜o aparentemente
ta˜o amb´ıgua.
III. DISTRIBUIC¸O˜ES DEFINIDAS A PARTIR DE δ(x)
Dado o funcional Φ[g] associado pela eq.(1) a` func¸a˜o φ(x) podemos definir outros a partir
de transformac¸o˜es desta func¸a˜o. Por exemplo
∫ +∞
−∞
dxg(x)φ(x− x0)∫ +∞
−∞
dxg(x)φ′(x)
∫ +∞
−∞
dxg(x)φ(x2 − x20) (19)
supondo e´ claro que estes integrais convergem. O mesmo tipo de transformac¸o˜es podem ser
feitas em funcionais como δ[g] que podem ser definidos como limites de funcionais associados
a func¸o˜es. Assim surgem naturalmente as seguintes definic¸o˜es
∫ +∞
−∞
dxg(x)δ(x− x0) ≡ lim
η→0
∫ +∞
−∞
dxg(x)φη(x− x0)∫ +∞
−∞
dxg(x)δ(ax) ≡ lim
η→0
∫ +∞
−∞
dxg(x)φη(ax)∫ +∞
−∞
dxg(x)δ′(x) ≡ lim
η→0
∫ +∞
−∞
dxg(x)φ′η(x) (20)
para func¸o˜es φη que satisfac¸am a condic¸a˜o da eq.(9). Embora as expresso˜es do lado esquerdo
desta definic¸o˜es na˜o sejam integrais no sentido usual da palavra as expresso˜es da direita
sa˜o. Como tal podem ser manipuladas pelos processos habituais (mudanc¸as de varia´vel,
integrac¸a˜o por partes etc.).
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Vejamos um exemplo
∫ +∞
−∞
dxg(x)δ(x− x0) ≡ lim
η→0
∫ +∞
−∞
dxg(x)φη(x− x0) (21)
= lim
η→0
∫ +∞
−∞
dyg(y + x0)φη(y) (22)
=
∫ +∞
−∞
dxg(y + x0)δ(y) = g(x0) (23)
Torna-se agora clara a raza˜o da popularidade da notac¸a˜o que consiste em representar o
funcional δ pelo s´ımbolo usual duma func¸a˜o. E´ que deste modo o valor correspondente ao
funcional δ(x − x0) pode ser obtido por uma manipulac¸a˜o formal sobre este s´ımbolo que e´
ideˆntica a` mudanc¸a de varia´vel num integral. Dentro deste esp´ırito propo˜e-se que o leitor
tente demonstrar algumas das seguintes propriedades da func¸a˜o delta de Dirac
i) ∫ b
a
dxδ(x− x0) =
{
1 se a < x0 < b
0 se x0 < a ou x0 > b
(a < b) (24)
ii) δ(x) = δ(−x)
iii) δ(ax) = 1
|a|
δ(x)
iv) δ(x2 − x20) = 12|x0|(δ(x− x0) + δ(x− x0)
v) δ(f(x)) =
∑
an
1
|f ′(an)|
δ(x− an) se f(an) = 0, f ′(an) 6= 0
vi)
∫+∞
−∞ dxg(x)δ
′(x) = −∂g(x)
∂x
∣∣∣
x=x0
= −g′(0)
vii)
∫+∞
−∞ dyδ(x− y)δ(y − x′) = δ(x− x′)
viii) δ(r − r0) = δ(x− x0)δ(y − y0)δ(z − z0) em que
∫
d3rg(r)δ(r − r0) = g(r0)
Como exemplo de manipulac¸a˜o da func¸a˜o δ(x) veremos a demonstrac¸a˜o de (iv). Trataremos
este s´ımbolo como se tratasse de facto de uma func¸a˜o. Mas o leitor cuidadoso podera´ querer
reescrever a derivac¸a˜o definindo os funcionais como limites de integrais envolvendo as func¸o˜es
φη(x) e realizando as mesmı´ssimas manipulac¸o˜es nesses integrais de modo a reduzi-los a
funcionais que no limite η → 0 se reduzam a δ[g].
Dentro deste esp´ırito
∫ +∞
−∞
dxg(x)δ(x2 − x20) =
∫ 0
−∞
dxg(x)δ(x2 − x20) +
∫ 0
+∞
dxg(x)δ(x2 − x20) (25)
5
Usando as substituic¸o˜es x→ y com y2 = x2 − x20 e
x = x−(y) = −
√
y + x20 no primeiro integral (26)
x = x+(y) = +
√
y + x20 no segundo (27)
obtemos ∫ −x2
0
∞
dy
2x−(y)
g(x−(y))δ(y) +
∫ −x2
0
∞
dy
2x+(y)
g(x+(y))δ(y) (28)
ou seja ∫ +∞
−∞
dxg(x)δ(x2 − x20) =
1
2|x0|(g(−|x0|) + g(|x0|)) (29)
o que em termos de func¸a˜o delta significa
δ(x2 − x20) =
1
2|x0|(δ(x− x0) + δ(x− x0)) (30)
IV. A FUNC¸A˜O DELTA COMO INTEGRAL DA EXPONENCIAL IMAGINA´RIA
Uma representac¸a˜o muito importante da func¸a˜o delta e´ a seguinte
δ(x) =
∫ +∞
−∞
dk
2pi
eikx (31)
Obviamente trata-se de novo de uma igualdade entre funcionais (distribuic¸o˜es). O s´ımbolo
do lado direito na˜o pode ser entendido como um integral. O sentido desta igualdade e´ enta˜o
o seguinte ∫ +∞
−∞
dk
2pi
∫ +∞
−∞
dxg(x)eikx = g(0) (32)
Podemos demonstrar este resultado modificando a func¸a˜o integranda em k de modo a tornar
o integral correspondente convergente. Chama-se a este estratagema, em f´ısica teo´rica, a
regularizac¸a˜o da singularidade
∫ +∞
−∞
dk
2pi
∫ +∞
−∞
dxg(x)eikx = lim
η→0+
∫ +∞
−∞
dk
2pi
∫ +∞
−∞
dxg(x)eikx−η|k| (33)
Podemos agora com η finito calcular facilmente o integral sobre k
∫ +∞
−∞
dk
2pi
eikx−η|k| =
∫ +∞
0
dk
2pi
eikx−ηk +
∫ 0
−∞
dk
2pi
eikx+ηk (34)
=
∫ +∞
0
dk
2pi
(eikx−ηk + e−ikx−ηk (35)
=1
pi
η
η2 + x2
(36)
6
Por este processo a eq(33) fica reduzida a
lim
η→0
∫ +∞
−∞
dxg(x)φη(x) (37)
em que a func¸a˜o φη e´ uma das referidas atra´s como dando origem a funcionais que convergem
para a func¸a˜o delta de Dirac.
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