Distribuições e a Função Delta de Dirac

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Apeˆndice A
Distribuic¸o˜es e a “Func¸a˜o” Delta de
Dirac
A Delta de Dirac e´ um artif´ıcio matema´tico utilizado em diversas a´reas da f´ısica. Por exemplo, no ca´lculo
da Func¸a˜o de Green, em problemas de contorno na˜o homogeˆneos, na determinac¸a˜o do espectro cont´ınuo
de autovalores em mecaˆnica quaˆntica, na determinac¸a˜o das flutuac¸o˜es te´rmicas de part´ıculas puntuais em
mecaˆnica estat´ıstica e outras aplicac¸o˜es importantes.
Este roteiro tem por objetivo definir a Delta de Dirac como tipo particular de uma distribuic¸a˜o e apre-
sentar algumas de suas propriedades.
A.1 Definic¸a˜o de Distribuic¸o˜es
Denotando por ϕ(x1, x2, . . . , xn) uma func¸a˜o de n varia´veis cont´ınuas x1, x2, . . . , xn, cujos valores na˜o
nulos esta˜o todos contidos dentro do domı´nio da func¸a˜o ϕ e que possui derivadas de todas as ordens em
relac¸a˜o a estas varia´veis.
Definic¸a˜o. Uma distribuic¸a˜o T [ϕ] e´ um funcional linear e cont´ınuo da func¸a˜o ϕ.
Por linearidade, entende-se que para qualquer combinac¸a˜o linear λ1ϕ1 + λ2ϕ2, onde λ1, λ2 ∈ C :
T [λ1ϕ1 + λ2ϕ2] = λ1T [ϕ1] + λ2T [ϕ2] .
Por continuidade, entende-se que para qualquer sequ¨eˆncia ϕ1, ϕ2, . . . , ϕj , . . . de func¸o˜es tais que
lim
j→∞
ϕj = ϕ,
tem-se
lim
j→∞
T [ϕj ] = T [ϕ] .
A.1.1 Definic¸a˜o operacional de distribuic¸a˜o
A uma func¸a˜o localmente integra´vel f qualquer, isto e´, qualquer func¸a˜o cuja integral1 sobre qualquer
intervalo finito contido no domı´nio exista, corresponde uma distribuic¸a˜o fˆ , tambe´m denominada funcional
definida pelo produto escalar
fˆ [ϕ] =
ˆ
f(x)ϕ(x)dx = 〈ϕ∗, f〉 .
A.1.1.1 Exemplos
A func¸a˜o 1/x na˜o define uma distribuic¸a˜o porque na˜o e´ integra´vel no ponto x = 0. Contudo, pode-se
definir a distribuic¸a˜o
PP
1
x
[ϕ] ≡ PP
ˆ
ϕ(x)
x
dx,
1Integral na definic¸a˜o de Integral de Lebesgue. Uma integral de Lebesgue reduz-se a uma integral de Riemann (integral
usual) sempre que a u´ltima puder ser definida. Contudo, a integral de Lebesgue existe mesmo em casos onde a integral de
Riemann na˜o pode ser definida.
55
56 A.1. Definic¸a˜o de Distribuic¸o˜es
onde PP denote a parte principal de Cauchy da integral, isto e´,
PP
ˆ ∞
−∞
= lim
�→0
(ˆ −�
−∞
+
ˆ ∞
�
)
.
A “func¸a˜o de Dirac” δ(x) define a distribuic¸a˜o
δ [ϕ] = ϕ(0),
assim como a “func¸a˜o” δ(x− x0) define a distribuic¸a˜o
δx0 [ϕ] = ϕ(x0).
A.1.2 Propriedades de distribuic¸o˜es
A.1.2.1 Combinac¸a˜o linear de distribuic¸o˜es
Seja T = λ1T1 + λ2T2, onde λ1, λ2 ∈ C, tem-se
T [ϕ] = λ1T1 [ϕ] + λ2T2 [ϕ] .
A.1.2.2 Produto de duas distribuic¸o˜es
Sendo fˆ uma distriuic¸a˜o associada com uma func¸a˜o localmente integra´vel f e T uma distribuic¸a˜o arbi-
tra´ria, a distribuic¸a˜o
P = fˆT
e´ bem definida se T e´ linear, e´ um funcional cont´ınuo da func¸a˜o fϕ e tem-se, por definic¸a˜o,
P [ϕ] = T [fϕ] .
O produto de duas distribuic¸o˜es nem sempre existe. Se f possui derivadas de todas as ordens, fˆT existe
para todas distribuic¸o˜es T . Se f e´ cont´ınua no ponto x0,(
fˆ δx0
)
[ϕ] = f(x0)ϕ(x0). (A.1)
Se f e g sa˜o func¸o˜es quadraticamente integra´veis,2 o produto fˆ gˆ esta´ bem definido. Por outro lado,
[δ(x)]
2
na˜o tem sentido, assim como
(
1/
√|x|)2.
Como um caso especial da equac¸a˜o (A.1), tem-se
xδ(x) = 0.
Por conseguinte, se xT = 0, T e´ um mu´ltiplo de δ(x) : T = cδ(x), onde c e´ uma constante.
Portanto, se f(x) e g(x) esta˜o relacionadas pela relac¸a˜o
xf(x) = g(x),
tem-se, necessariamente,
f(x) = PP
g(x)
x
+ cδ(x)
onde c e´ uma constante a ser determinada.
A.1.2.3 Se´ries e integrais de distribuic¸o˜es
Se um conjunto de distribuic¸o˜es T1, T2, . . . , Tj , . . . e´ tal que quando j → ∞, Tj [ϕ] possui um limite
para qualquer ϕ, este limite e´ tambe´m uma distribuic¸a˜o:
T = lim
j→∞
Tj .
2Isto e´, se
´ |f |2 dx e ´ |g|2 dx existirem.
Autor: Rudi Gaelzer – IFM/UFPel Inı´cio: Maio de 2006 Impresso: 9 de marc¸o de 2011
Cap´ıtulo A. Distribuic¸o˜es e a “Func¸a˜o” Delta de Dirac 57
Definic¸a˜o equivalente: Se a se´rie ∑
i
Ti [ϕ]
for definida para qualquer ϕ, seu resultado define uma distribuic¸a˜o; neste caso, diz-se que a se´rie de
distribuic¸o˜es {Ti} e´ realiza´vel:
T [ϕ] =
∑
i
Ti [ϕ] .
Se T (λ) e´ uma distribuic¸a˜o que depende de um paraˆmetro λ ∈ C, o qual pode variar continuamente em um
domı´nio Λ e se a integral
I [ϕ] =
ˆ
Λ
T (λ) [ϕ] dλ
converge para qualquer ϕ, o objeto I =
´
Λ
T (λ)dλ define uma distribuic¸a˜o. Uma definic¸a˜o ana´loga vale para
integrais mu´ltiplas.
Em particular, se f(x, λ) e´ uma func¸a˜o localmente integra´vel de x e λ, a distribuic¸a˜o fˆ(λ) e´ integra´vel
em λ e sua integral e´ a distribuic¸a˜o gˆ associada com a func¸a˜o:
gˆ [1] =
ˆ
Λ
fˆ(λ) [1] dλ =
ˆ
Λ
f(x, λ)dλ.
Se a func¸a˜o a(k) permanece menor que uma poteˆncia positiva de |k| quando |k| → ∞ :
|a(k)| ≤ A |k|α (Ae αconstantes positivas),
a integral ˆ ∞
−∞
eikxa(k)dk
e´ uma distribuic¸a˜o. Em particular, ˆ ∞
−∞
eikxdk = 2piδ(x).
A.1.2.4 Derivadas de distribuic¸o˜es
Por definic¸a˜o, a derivada parcial ∂T/∂xi da distribuic¸a˜o T e´:
∂T
∂xi
[ϕ] = −T
[
∂ϕ
∂xi
]
.
Em particular, se uma func¸a˜o localmente integra´vel e´ diferencia´vel, a derivada da distribuic¸a˜o correspon-
dente e´ a distribuic¸a˜o correspondente a sua derivada. Isto pode ser visto via integrac¸a˜o por partes:
fˆ ′ [ϕ] =
ˆ
f ′(x)ϕ(x)dx = −
ˆ
f(x)ϕ′(x)dx = −fˆ [ϕ′] .
Todas as propriedade das derivadas de func¸o˜es aplicam-se a distribuic¸o˜es. Por exemplo, a derivada do
produto P = fˆT e´:
P ′ = fˆ ′T + fˆT ′.
Ale´m disso, certas propriedades que pertencem a uma classe restrita de func¸o˜es aplicam-se a todas as
distribuic¸o˜es sem restric¸o˜es. Sa˜o as seguintes:
1. As distribuic¸o˜es sa˜o diferencia´veis em todas as ordens.
2. Derivac¸a˜o e´ uma operac¸a˜o linear e cont´ınua no espac¸o das distribuic¸o˜es. Se
lim
j→∞
Tj = T, lim
j→∞
T ′j = T
′.
Em consequ¨eˆncia, se a se´rie existe, ela e´ diferencia´vel termo a termo sob o s´ımbolo de soma
∑
. Da
mesma forma, se T (λ) e´ integra´vel sob o paraˆmetro λ, ∂T (λ)/∂xi tambe´m e´ integra´vel e
∂I
∂xi
=
ˆ
Λ
∂
∂xi
T (λ) [ϕ] dλ.
Autor: Rudi Gaelzer – IFM/UFPel Inı´cio: Maio de 2006 Impresso: 9 de marc¸o de 2011
58 A.2. Propriedades da “Func¸a˜o” δ
A.2 Propriedades da “Func¸a˜o” δ
A Delta de Dirac e´ um exemplo de distribuic¸a˜o definida sob o s´ımbolo de integrac¸a˜o, isto e´, ela somente
tem sentido matema´tico quando aparece em uma integral. Na f´ısica, costuma-se usar a notac¸a˜o δ(x − x0),
no lugar da notac¸a˜o mais correta δx0 [ϕ]. Esta notac¸a˜o, contudo, e´ bastante conveniente no uso pra´tico.
Tambe´m neste contexto, a δ(x− x0) e´ tratada como uma func¸a˜o governada por regras peculiares; contudo,
estas regras esta˜o justificadas pela teoria das distribuic¸o˜es.
A.2.1 Definic¸a˜o da δ
Sendo f(x) uma func¸a˜o definida no domı´nio Ω e x0 ∈ R,
ˆ
Ω
f(x)δ(x− x0)dx ≡ δx0 [f(x)] =
{
f(x0), x0 ∈ Ω
0, x0 6∈ Ω.
(A.2a)
Formalmente, escreve-se enta˜o
δ(x− x0) =
{
0, x 6= x0
+∞, x = x0,
onde ˆ ∞
−∞
δ(x− x0) dx = 1. (A.2b)
Neste caso, a δ pode ser pensada como a generalizac¸a˜o da delta de Kronecker
δnm =
{
0, m 6= n
1, m = n
para o caso cont´ınuo.
A.2.2 Representac¸o˜es da δ(x− x0) como o limite do kernel de um operador
integral
A δ(x − x0) pode ser considerada como o limite de uma func¸a˜o que possui um ma´ximo estreito e alto
em torno de x0, e cuja integral sobre todo o espac¸o permanece constante e igual a 1. Assim, existem as
seguintes representac¸o˜es:
δ(x− x0) = 1
pi
lim
L→∞
sen
L(x− x0)
x− x0 (A.3a)
=
1
pi
lim
χ→∞
1− cosχ(x− x0)
χ(x− x0)2 (A.3b)
=
1
pi
lim
�→+0
�
(x− x0)2 + �2 (A.3c)
= lim
η→0
H(x− x0 + η)−H(x− x0)
η(A.3d)
= lim
�→0
(2pi�)
−1/2
e−(x−x0)
2/4� (A.3e)
onde H(x) e´ a func¸a˜o de Heaviside ou tambe´m denominada func¸a˜o degrau:
H(x) =
{
1, x > 0
0, x < 0.
A δ(x− x0) pode ser interpretada como a derivada da func¸a˜o H(x) :
δ(x− x0) = dH(x)
dx
.
A figura A.1 mostra outras representac¸o˜es da δ(x− x0) juntamente com gra´ficos ilustrando a tendeˆncia das
respectivas func¸o˜es a` medida que o paraˆmetro �→ 0.
Autor: Rudi Gaelzer – IFM/UFPel Inı´cio: Maio de 2006 Impresso: 9 de marc¸o de 2011
Cap´ıtulo A. Distribuic¸o˜es e a “Func¸a˜o” Delta de Dirac 59
Figura A.1: Outras representac¸o˜es da δ(x− x0) junto com gra´ficos ilustrando a tendeˆncia das func¸o˜es para �→ 0.
A.2.3 Principais propriedades
As principais propriedades da δ sa˜o:
δ(x) = δ(−x) (A.4a)
δ(ax) =
1
|a|δ(x), (a = cte. 6= 0) (A.4b)
δ
(
x2 − a2)= 1|a| [δ(x− a) + δ(x+ a)] , (a = cte. 6= 0) (A.4c)
δ [g(x)] =
∑
n
δ(x− xn)
|g′(xn)| ,
{
g(xn) = 0,
g′(x) 6= 0
}
(A.4d)
xδ(x) = 0 (A.4e)
f(x)δ(x− a) = f(a)δ(x− a) (A.4f)ˆ
δ(x− y)δ(y − a)dy = δ(x− a) (A.4g)
δ(x) =
1
2pi
ˆ ∞
−∞
eikxdk. (A.4h)
Uma outra propriedade importante, que com frequ¨eˆncia e´ utilizada no tratamento de func¸o˜es complexas e´
a fo´rmula de Plemelj:
lim
�→+0
1
x− x0 ± i� = PP
1
x− x0 ∓ ipiδ(x− x0). (A.4i)
Todas as igualdades apresentadas acima indicam que um lado da equac¸a˜o pode ser substitu´ıdo pelo
outro lado quando a δ for multiplicada por uma func¸a˜o regular e o produto integrado sobre a varia´vel x.
Um exemplo de aplicac¸a˜o da propriedade (A.4d) e´ apresentada abaixo:
δ(x2 + x− 2)⇒ g(x) = x2 + x− 2 = (x− 1)(x+ 2)⇒ g′(x) = 2x+ 1
⇒ xn = {1,−2}, g′(1) = 3 e g′(−2) = −3.
Autor: Rudi Gaelzer – IFM/UFPel Inı´cio: Maio de 2006 Impresso: 9 de marc¸o de 2011
60 A.2. Propriedades da “Func¸a˜o” δ
⇒ δ(x2 + x− 2) = 1
3
[δ(x− 1) + δ(x+ 2)] .
A.2.4 Derivadas da δ(x)
A “func¸a˜o” δ(x) e´ diferenciavel em todas as ordens. A sua m-e´sima derivada δ(m)(x) e´ definida pela
propriedade ˆ ∞
−∞
δ(m)(x− x0)f(x) ≡ δ(m)x0 [f(x)] =
{
(−1)mf (m)(x0), x0 ∈ Ω
0, x0 6∈ Ω.
definic¸a˜o esta va´lida para qualquer func¸a˜o f(x) diferencia´vel m vezes no ponto x = x0 ∈ Ω. A δ(m)(x− x0)
pode ser considerada como o limite da derivada de ordem m de qualquer das func¸o˜es dadas em (A.3a-d).
As propriedades das derivadas da δ sa˜o as seguintes:
δ(m)(x) = (−1)mδ(m)(−x) (A.5a)ˆ
δ(m)(x− y)δ(n)(y − a)dy = δ(m+n)(x− a) (A.5b)
xm+1δ(m)(x) = 0. (A.5c)
Em particular a derivada primeira tem as propriedades:
ˆ ∞
−∞
δ′(x− a)f(x)dx=−f ′(a)
δ′(x) =−δ′(−x)ˆ
δ′(x− y)δ(y − a)dy = δ′(x− a)
xδ′(x) =−δ(x)
x2δ′(x) = 0
δ′(x) =
i
2pi
ˆ ∞
−∞
keikxdk.
Como exemplo, a propriedade (A.5a) pode ser obtida integrando-se por partes m vezes o funcional
ˆ ∞
−∞
δ(m)(x)f(x)dx = −
ˆ ∞
−∞
δ(m−1)(x)f ′(x)dx = · · · = (−1)m
ˆ ∞
−∞
δ(x)f (m)(x)dx.
A.2.5 Deltas de Dirac em mais de uma dimensa˜o
Quando o problema envolve duas ou mais dimenso˜es, a delta de Dirac e´ dada pelo produto de deltas,
cada uma delas unidimensional. Representa-se enta˜o a delta de Dirac multidimensional da seguinte forma:
δ (r −R) = δ (x1 −X1) δ (x2 −X2) δ (x3 −X3) , (A.6)
sendo {x1, x2, x3} o conjunto de coordenadas ortogonais adotado.
Desta forma, a extensa˜o das definic¸o˜es (A.2a,b) para 3 dimenso˜es fica sendo:
ˆ
V
δ (r −R) d3r=
{
1, R ∈ V
0, R 6∈ V (A.7a)
ˆ
V
F (r) δ (r −R) d3r=
{
F (R) , R ∈ V
0, R 6∈ V, (A.7b)
sendo V um subespac¸o vetorial de R3.
Coordenadas Curvil´ıneas Ortogonais
Quando se esta´ trabalhando em um sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonais qualquer, a forma
simples dada por (A.6) em geral esta´ incorreta, ou seja, sendo (q1, q2, q3) o conjunto de treˆs coordenadas
curvil´ıneas ortogonais, as quais se relacionam com o sistema cartesiano por
qi = qi (x1, x2, x3)⇐⇒ xi = xi (q1,q2, q3) , (i = 1, 2, 3) ,
Autor: Rudi Gaelzer – IFM/UFPel Inı´cio: Maio de 2006 Impresso: 9 de marc¸o de 2011
Cap´ıtulo A. Distribuic¸o˜es e a “Func¸a˜o” Delta de Dirac 61
na˜o esta´ correto, em geral, escrever
δ (r − r′) = δ (q1 − q′1) δ (q2 − q′2) δ (q3 − q′3) ,
pois esta expressa˜o na˜o respeita a propriedade (A.7a). Por outro lado, a expressa˜o
δ (r − r′) = δ (q1 − q
′
1)
h1
δ (q2 − q′2)
h2
δ (q3 − q′3)
h3
, (A.8)
sendo hi o fator de escala da coordenada i, dado por
hi =
√√√√ 3∑
j=1
(
∂xj
∂qi
)2
,
ira´ respeitar as propriedades (A.7a,b). O produto h1h2h3 e´ tambe´m denominado o Jacobiano da transfor-
mac¸a˜o de coordenadas. Portanto, (A.8) e´ a forma correta para a delta de Dirac em coordenadas curvil´ıneas
ortogonais.
Exemplos
Coordenadas esfe´ricas. Nas coordenadas esfe´ricas, q1 = r, q2 = θ e q3 = ϕ. Os fatores de escala sa˜o
h1 = r
2, h2 = sen θ e h3 = 1. Portanto,
δ (r − r′) = 1
r2sen θ
δ (r − r′) δ (θ − θ′) δ (ϕ− ϕ′) .
Assim, sendo r′ um ponto contido em V, (A.7a) sera´ respeitada, pois
ˆ
V
δ (r − r′) d3r =
ˆ
V
1
r2sen θ
δ (r − r′) δ (θ − θ′) δ (ϕ− ϕ′) r2sen θdrdθdϕ = 1.
Uma outra forma utilizada com frequ¨eˆncia e´
δ (r − r′) = 1
r2
δ (r − r′) δ (cos θ − cos θ′) δ (ϕ− ϕ′) .
Coordenadas cil´ındricas. Nas coordenadas cil´ındricas, q1 = ρ, q2 = ϕ e q3 = z. Por isso, h1 = h3 = 1 e
h2 = ρ. Assim,
δ (r − r′) = 1
ρ
δ (ρ− ρ′) δ (ϕ− ϕ′) δ (z − z′) .
Pontos degenerados
A expressa˜o (A.8) assume que r′ na˜o e´ um ponto degenerado, isto e´, na˜o e´ caracterizado por mais de
um conjunto de valores de coordenadas. Em algumas situac¸o˜es, o “ponto” degenerado pode ser uma curva
ou uma superf´ıcie em 3D.
Exemplos de pontos degenerados sa˜o: a origem num sistema plano-polar (caracterizado por r = 0 e
qualquer valor de 0 6 θ 6 2pi), a origem em um sistema curvil´ıneo em 3D (r = 0, 0 6 θ 6 pi, 0 6 ϕ 6 2pi
em coordenadas esfe´ricas), o eixo z em coordenadas cil´ındricas (ρ = 0, 0 6 ϕ 6 2pi).
Suponha, enta˜o, que a coordenada q1 assume todos os valores no intervalo q11 < q1 < q12. Neste caso, a
representac¸a˜o correta de δ (r − r′) na˜o e´ (A.8), uma vez que a coordenada q1 na˜o mais possui um u´nico valor
para q′1 (sua multiplicidade e´ coberta pela variac¸a˜o de q1). Neste caso, a propriedade (A.7a) e´ novamente
respeitada se
δ (r − r′) = δ (q2 − q
′
2) δ (q3 − q′3)(´ q12
q11
h1dq1
)
h2h3
,
pois (A.7a) fica
ˆ
V
δ (r − r′) d3r =
ˆ q12
q11
h1dq1
¨
h2h3dq2dq3
δ (q2 − q′2) δ (q3 − q′3)(´ q12
q11
h1dq1
)
h2h3
= 1.
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62 A.2. Propriedades da “Func¸a˜o” δ
Por exemplo, considerando um problema em coordenadas esfe´ricas que possua simetria azimutal, enta˜o a
coordenada ϕ deve ser eliminada, pois sera´ multiplamente definida. Neste caso,
δ (r − r′) = 1
r2sen θ
´ 2pi
0
dϕ
δ (r − r′) δ (θ − θ′) = 1
2pir2sen θ
δ (r − r′) δ (θ − θ′) .
Da mesma maneira, se os pontos multiplamente definidos estiverem sobre a superf´ıcie q1 × q2, estando a
coordenada q2 no intervalo q21 < q2 < q22, enta˜o
δ (r − r′) = δ (q3 − q
′
3)(´ q12
q11
´ q22
q21
h1h2dq1dq2
)
h3
.
Autor: Rudi Gaelzer – IFM/UFPel Inı´cio: Maio de 2006 Impresso: 9 de marc¸o de 2011