CURSO DE CÁLCULO I

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1 
 
 MEC - SETEC 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ 
DIRETORIA DE ENSINO SUPERIOR 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
 
 ESTUDO DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
 
FUNÇÕES 
História 
 
 O conceito de Função, como as noções e espaço e geometria, passou por evoluções acentuadas. 
Percebemos bem esse fato ao atentar para os vários refinamentos desse processo evolutivo que acompanham 
os progressos escolares, desde os cursos mais elementares da escola secundária até os mais avançados e 
sofisticados em nível de pós-graduação. 
 A história do termo função proporciona um exemplo interessante da tendência os matemáticos de 
generalizar e ampliar os conceitos. A palavra função, na sua forma latina equivalente, parece ter sido 
introduzida por Leibniz, em 1964, inicialmente para expressar qualquer quantidade associada a uma curva, 
como por exemplo, as coordenadas de um ponto da curva, a inclinação de uma curva e o raio de curvatura. 
Por volta de 1718, Johann Bernoulli havia chegado a considerar uma função como expressão qualquer 
formada de uma variável e algumas constantes; pouco tempo depois 
 
Euler considerou uma função como uma equação ou fórmula qualquer envolvendo variáveis e constantes. 
Esta última idéia corresponde ao conceito de função a maioria os alunos dos cursos elementares de 
matemática têm. O conceito de Euler se manteve inalterado até que Joseph Fourier (1768-1830) foi levado a 
considerar, em suas pesquisas sobre a propagação do calor, as chamadas séries trigonométricas, envolvendo 
2 
 
uma forma de relação mais geral entre as variáveis. Numa tentativa de dar uma definição de função ampla o 
suficiente a ponto de englobar essa forma de relação, Lejeune Dirichlet (1805 -1859) chegou a seguinte 
formulação: Uma variável é um símbolo que representa um qualquer os elementos de um conjunto de 
números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a y, então 
se diz que y é uma função de x. Os valores possíveis que x (variável independente) pode assumir constituem 
o campo de valores da função. Por outro lado, a teoria dos conjuntos propiciou ampliar o conceito de função 
de maneira a abranger relações entre dois conjuntos de elementos quaisquer, sejam esses elementos números 
ou qualquer outra coisa. 
 O conceito de função permeia grane parte da matemática, representando deste modo, um guia natural 
e efetivo para a seleção e o desenvolvimento do material e textos de matemática. Assim, torna-se 
inquestionável que quanto antes nos familiarizarmos com o conceito de função, tanto melhor será para nossa 
formação matemática. 
 
Introdução 
 Nosso objetivo é dar um tratamento logicamente bem fundamentado das funções reais de uma 
variável real e equações, apoiado nos números reais. Isto não quer dizer que as idéias geométricas sejam 
abandonadas; elas continuam sendo um guia 
 
importante, um auxiliar indispensável na busca dos caminhos da construção lógica como instrumento 
didático. Estaremos sempre nos valendo das funções elementares como ilustrações da teoria antes mesmo que 
elas sejam introduzidas. 
 
Exemplo 1: Ilustrar o conceito de função. 
Uma pequena fábrica caseira pode produzir até 5 unidades diárias de um determinado artigo. O custo 
operacional diário é dado por: 
 
3 
 
Nº de unidades - 0 1 2 3 4 5 
Custo diário (R$) - 50 70 90 110 130 150 
 
Podemos representar esta situação de diversos modos: por uma tabela, por pares ordenados, por uma regra 
(ex: O custo operacional diário é igual ao número de itens produzidos multiplicado por 20, adiciona-se 50 ao 
resultado), por uma equação (ex: y = 20x + 50, onde x representa o número de artigos e y o custo operacional 
diário). 
Observação: Nem toda tabela, conjunto de pares ordenados, gráfico, regra e equação representa uma função. 
 
Definição 1: Função 
 Dados os conjuntos não vazios A e B, uma função :f A B (lê-se: “uma função de A em B”) é uma 
regra ou conjunto de instruções que diz como associar a cada elemento x  A um elemento y = f(x)  B. O 
conjunto A chama-se domínio e B é o 
 
contradomínio da função f. Para cada x  A, o elemento f(x)  B chama-se a imagem de x pela função f ou o 
valor assumido pela equação f no ponto x  A. 
 Devemos observar que f(x) é a imagem do elemento x  Apela função f, pois, algumas vezes, 
dizemos “a função f(x)” quando deveríamos dizer “a função f”. Por outro lado, quando dizemos 
simplesmente “a função f”, deve ficar subentendido seu domínio A e seu contradomínio B, pois, uma função 
consta de três partes: domínio, contradomínio e a lei de correspondência ( )x f x . 
 Geralmente, os conjuntos A e B são conjuntos numéricos e a regra ( )x f x expressa o valor f(x) por 
meio de uma fórmula que envolve x. Porém a natureza da regra que ensina como obter f(x) quando é dado x 
arbitrário, está sujeita apenas a duas condições: 
i) A regra deve favorecer f(x) , seja qual for x  A, a fim de que a função f tenha o 
conjunto A como domínio. 
4 
 
ii) A cada x  A, a regra deve fazer corresponder um único f(x ) em B. 
 
 Por simplificação, deixaremos muitas das vezes de explicitar o domínio e o contradomínio de uma 
função; quando tal fato ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é R e o domínio o “maior” subconjunto 
de R para o qual faz sentido a regra em questão. 
 
 
 
 
Função de uma variável real 
 
Definição 2: é uma relação F entre dois conjuntos A e B não vazios, tais que para todo elemento xse 
associa um único y B , onde ( )y F x . 
 
Elementos de uma função 
1. Domínio da Função: ( )D f A 
2. Contradomínio da Função: ( )CD f B 
3. Imagem da Função:  Im( ) ;Im( ) ( ) /f B f F x x A   
4. Lei de Formação: expressão algébrica ( )y F x 
5. Gráfico: é o lugar geométrico dos pontos (x, f(x) ) quando x assume todos os valores de A. 
   ( ) , /graf F x y x  
Exemplo 01: Seja :F R R com regra F(x) = x3. Determine: 
a) O domínio 
b) O contradomínio e a imagem 
c) A lei de formação 
d) O esboço do gráfico 
 
 Exemplo 02: Seja F a função dada por F(x) = x . Determine: 
a) O domínio 
b) A imagem 
c) O esboço do gráfico 
x 
 
y 
F 
A B 
( )y F x 
5 
 
Exemplo 03: Seja a função 
1
y
x
 . Determine: 
a) O domínio 
b) A imagem 
c) O esboço do gráfico 
 Exemplo 04: Dada a função 2( ) 2f x x x   . Simplifique: 
 a) 
( ) (1)
1
f x f
x


 
 b) 
( ) ( )f x h f x
h
 
 
6 
 
 
 FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
Exemplo 05: Função Constante: é a função :F R R tal que f(x) = K. (K = constante) 
 
a) A função f(x) = 3 é uma função constante 
b) D (f) = R 
c) Im (f) = 3 
d) Gráfico: é uma reta paralela ao eixo x 
0 3
1 3
x y
x y
  
  
 
 
Exemplo 06: Função Linear: é a função :F R R tal que F(x) = ax ( 0)a  
 
i) a > 0  f é crescente 
 
 
ii) a < 0  f é decrescente 
 
 
Exemplo 07:Construir os gráficos: 
a) f(x) = 4x 
 
b) f(x) = - x 
a > 0 
000 
3 
 
6 
 
 
 
Exemplo 08: Função afim: é a função :F R R tal que F(x) = ax+ b, com a  0 e b  0. 
 
 
 
 
7 
 
i) Se a0  f é crescente 
 
 
 
 
ii) Se a 0  f é decrescente 
 
 
 
Exemplo 09: Esboce o gráfico de: 
 
i) f(x) = 2x -1 
ii) f(x) = - x + 2 
 
Exemplo 10: Função Quadrática: é a função :F R R com a lei y = ax2 + bx + c, onde a  0; 
a,b,c R. 
Se a0 a parábola tem concavidade para cima 
Se a 0  a parábola tem concavidade para baixo. 
 
a) D(f) = R 
 
 
x 
y 
7 
 
b) Im(f) = ( ) /
4
f x y
a
 
 
 
 para a0 
 Im(f) = ( ) /
4
f x y
a
 
 
 
 para a 0 
 
8 
 
Exemplo 11: construir os gráficos: 
a) f(x)= x2 – 6x + 5 
b) y = - x2 – 4x 
c) y = - 5x2 
d) y = x2 
e) y = x2 + 4 
 
 
Exemplo 12: Função Exponencial: 
Definição: :F R R *+ 
 
F(x) = ax a0, a  1 
 
Ex 1: y = 2x  a = 2 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
Ex 02: f(x) = 
1
2
x
 
 
 
 a = 
1
2
  1 
 
 
 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 1/4 1/2 1 2 4 
x -2 -1 0 1 2 
y 4 2 1 1/2 1/4 
8 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Gráfico: 
 
 
 
 
F(x) = ex caso particular 
e 2,718 (nº irracional) 
 
 
 
 
 
Exemplo 13: Função Logarítmica 
Definição: F: R*+  R tal que f(x) = logax condição: x 0 e a0, a  1. 
 
Ex 1: y = 2log x (a  1) 
 
 
 
 
 
 
Ex 2: f(x) = ln x 
 a = e = 2,718 
 
x 1/4 1/2 1 2 4 
y -2 -1 0 1 2 
9 
 
 
 
10 
Ex 3: f(x) = 1
2
log x (0 a 1) 
 
 
 
 
 
 
Gráfico: 
 
Funções Trigonométricas: 
 
01- Função seno: 
def: É a função : [ 1,1]f   tal que ( )f x senx 
 
02- Função cosseno: 
def: É a função : [ 1,1]f   tal que ( ) cosf x x 
 
03- Função tangente: 
def: É a função :{ : }
2
f x x k

    tal que ( )f x tgx 
 
 
 
Exercícios: 
1) Calcule 
F (a + b) - F (a - b)
ab
 sendo F(x) = 3x + 1 e ab 0 
2) Simplifique 
( ) ( )f x f p
x p


 x p sendo dados: 
a) 2( ) ; 1f x x p   
b) 
1
( ) ; 0f x p
x
  
 
3) Simplifique 
( ) ( )f x h f x
h
 
 0h  sendo f(x) igual a: 
a) 
2 2x x 
b) - 2x + 4 
x 1/4 1/2 1 2 4 
y 2 1 0 -1 -2 
10 
 
 
 
11 
4) Dê o domínio e esboce o gráfico: 
 
a) ( ) 1h x x    
b) 
2 2 1
( )
1
x x
g x
x
 


 
 
c) ( )
x
f x
x

 
 
5) Estude a variação de sinal de f(x): 
 
a) f(x) = (x -1).(x + 2) 
b) f(x) =
1
1
x
x


 
 
 
6) Considere a função F dada por F(x) = x2 +4x +5: 
 
a) Mostre que F(x) = (x + 2)2 +1 
b) Esboce o gráfico de F 
c) Qual é o menor valor que a função pode obter? Em que valor de x este menor valor é 
atingido? 
 
 
 
 
ESTUDO DOS LIMITES 
 
 
1. Introdução: É um instrumento utilizado para analisar o comportamento de uma função F quando x se 
aproxima de um ponto P. Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em módulo de 
x-a tende a zero. ( x ≠ a ). Escreve-se: x → a (x tende a a). 
Intuitivamente, dizer que o limite de uma função f(x), quando x tende a um ponto P, é igual a L, que se 
escreve lim ( )
x p
f x L

 , significa dizer que quando x tende a p ( x p ), f(x) tende a L ( ( )f x L ). 
 
2. Definição: 
 )x(flim
ax→
 é igual a L se e somente se, dado ε > 0 , existe δ > 0 tal que se .δ<L-f(x) então ,ε<a-x<0 
Notação: 
 lim ( )
x a
f x L

 
 
 
11 
 
 
 
Noção intuitiva de limite 
 
 Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita 
(valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor 
correspondente de y: 
 
x y = 2x + 1 
1,5 4 
1,3 3,6 
1,1 3,2 
1,05 3,1 
1,02 3,04 
1,01 3,02 
 
x y = 2x + 1 
0,5 2 
0,7 2,4 
0,9 2,8 
0,95 2,9 
0,98 2,96 
0,99 2,98 
 
 
 
 Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende 
para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja: 
 
 
 Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. 
 
 Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x 
12 
 
assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, 
embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. 
 
 De forma geral, escrevemos: 
 
 
se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: 
 
 
 
 Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x = 
1 tenhamos f(x) = 2. O que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no 
caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3. 
 Escrevemos: 
 
 
 Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No 
entanto, ambas têm o mesmo limite. 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites (de um ponto de vista informal). Se os valores de f(x) puderem ser tornados tão 
próximos quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente próximos de a (mas não igual a a), 
então escrevemos: 
 
 o qual deve ser lido como "o limite de f(x) quando x tende a a é L." 
 
 
 
 
 
Limites 
 
Propriedades dos Limites 
 
 O limite de uma constante é a própria constante. 
 
 lim
x a
C C

 
Exemplo: 
5
lim 20 20
x
 
 
 O limite da soma é a soma dos limites. 
 O limite da diferença é a diferença dos limites. 
 
 
 
 
14 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 O limite do produto é o produto dos limites. 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 se 
 
 O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero. 
 
 
 
se 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 O limite da potência é a potência do limite. 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
O limite da n-ésima raiz é a n-ésima raiz do limite 
15 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Limites Laterais 
 
 Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: 
 
 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. 
 Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: 
 
16 
 
 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
 
 O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são 
iguais, ou sejas: 
 Se 
 Se . 
 
 
 
 
Relação entre limites laterais e bilaterais. O limite bilateral de uma função existe em um ponto a 
se e somente se existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor; isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Continuidade 
 
 Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a se as seguintes condições são 
satisfeitas: 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade das Funções contínuas 
 
 Se f(x) e g(x) forem contínuas em x = a, então: 
 1) f(x) g(x) é contínua em a; 
 
 2) f(x) . g(x) é contínua em a; 
 
 
 
 3) é contínua em a e tem uma descontinuidade em a,e g(a) = 0. 
 
17 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
 
Exercícios: 
1) Calcule lim ( )
x p
f x

, caso exista. 
 
 
a) 
1, 0
( )
1, 0
x
f x
x

 
 
 p = 0 
 
b) f(x) = 
2 3 2
1
x x
x
 

 p = 1 
 
 
 
2) 
0
lim
x
x
x

 existe? Por quê? 
 
3) 
2, 1
( )
1, 1
x
f x
x

 

 é contínua em p = 1? Justifique. 
 
1) Determine o valor de L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique. 
 
2 4
, 2
( ) 2
, 2
x
x
f x x
L sex
 

 
 
 Em p = 2 
 
5) Calcule 3
2
lim(5 8)
x
x

 
6) Calcule: 
3
3
lim
3x
x
x


 
7) Calcule: 
4
3 21
2 1
lim
3 1x
x x
x x
 
 
 
 
8) Seja f uma função e suponha que para todo x 
2( )f x x  . 
a) Calcule, caso exista 
0
lim ( )
x
f x

. 
b) f é contínua em 0? Por quê? 
 
 
9) Calcule 
0
1
lim .
x
x sen
x
. Justifique o resultado obtido. 
 
10) Calcule 2
0
lim . ( )
x
x g x

onde g(x) = 
1,
1,
x
x


 
 
 
18 
 
 
 
Limites envolvendo infinito 
 
 Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valoressuperiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, 
indica que x assume valores menores que qualquer número real. 
 Exemplo: 
 
a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero. 
b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero. 
c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores 
maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito. 
d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que 
zero, y tende para menos infinito 
 
 
 
 
Limites no infinito (do ponto de vista informal). Se os valores de f(x) ficam cada vez mais 
próximos de um número L, à medida que x cresce sem limitação, então escrevemos 
 
 Analogamente, se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de um número L, à medida 
que x decresce sem limitação, então escrevemos 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
Limite infinito no infinito (do ponto de vista informal). Se os valores de f(x) crescem sem 
limitação quando x + ou x - , então escrevemos 
 
 Se os valores de f(x) decrescem sem limitação quando x + ou x - , então escrevemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites 
 
Limite de uma função polinomial para 
 
 Seja a função polinomial . Então: 
 
 
 
Demonstração: 
 
 
 
Mas: 
 
 
Logo: 
 
 
De forma análoga, para , temos: 
 
 
 
 Exemplos: 
20 
 
 
 
 
 
 
Limites trigonométricos 
 
 
 
 
 
 Demonstração: 
 Para , temos . Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem: 
 
 Invertendo, temos: 
 
 
 Mas: 
 
 g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então, . Logo, 
 
 
 
 
21 
 
TEOREMA. 
 
 
 
 
 
 
Limites exponenciais 
 
 
 
 Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número 
irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818. 
 Veja a tabela com valores de x e de . 
 
x 1 2 3 10 100 1000 10000 100000 
 
2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169 2,7181 2,7182 
 
 Notamos que à medida que . 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 02 
 
1) Calcule: 
a) 
5 3 2
5 2
2 2
lim
3 4 1x
x x x x
x x x
   
  
 
b) 
6
4
3
lim
2 1x
x x
x x

 
 
 
c) 
2
lim
1
x
x
x
x
 
 
 
 
 
d) 
2
1
lim 1
x
x x


 
 
 
 
 
 
22 
 
e) 
2
1
lim 1
x
x x
 
 
 
 
 
 
f) 
2
lim 1
x
x x
 
 
 
 
 
2)Calcule: 
a) 
0
6
lim
x
sen x
x
 
 
b) 
0
lim
3x
tgx
x
 
 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO: 
 
 
Acréscimo de uma função 
 
)f(xx)f(xy :então x,xx
:Como f(x). função da oou variaçã acréscimo se-chama)f(x)x(fy 
de diferença À ).f(x e )f(xobter se-podem xe xDados contínua. f(x)y função uma Seja
0001
o1
1010



 
 
 
 
 
 
Define-se derivada da função f no ponto x0, e indicamos por f '(x0), como sendo o número 
 
 
23 
 
 
supondo que o limite exista, caso em que se diz que f é derivável em x0. 
 
 
 
 Notação de Leibniz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 Se fizermos Q se aproximar de P, o que se consegue fazendo x 0; então a reta secante PQ 
tenderá à reta tangente ao gráfico de f em P (admitindo que ela exista), de modo que se m for sua 
inclinação, tem-se 
 
 
 
 
Razão Incremental 
 
 O quociente da variação da função y pelo incremento da variável independente x é 
chamado razão incremental. 
 
24 
 
x
)f(xx)f(x
x
y 00





 
Trocando 0x por x (fixo momentaneamente), temos: 
 
x
f(x)x)f(x
x
y





 
0 0( ) ( )f x x f xytg
x x

  
 
 
 
Observe que no limite quando x 0 temos: 
1) s t 
2)   
3) tg tg  
 
Assim podemos concluir que f '(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (x0, 
f(x0)), ou seja: 
 
`0 0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x
f x x f x
m tg f x
x

 
  
  

 
 
 
Representações: 
 
Newton de Notação y
Leibnitzde Notação
dx
df
dx
dy
Cauchy de Notação Df(x)Dy
Lagrange de Notação (x)f'y'




 
 
 
PROPRIEDADES DA DERIVADA 
 
 
Propriedade 1. Derivada de uma constante 
 
 
0(x)f cf(x)  
 
25 
 
x 0
x 0 x 0
prova. 
f(x x) f(x)
f (x) lim , com f(x) c e f(x x)=c segue:
x
c c
f (x) lim lim 0 0
x
 
   
  
    


   

 
Propriedade 2. Derivada da função potência 
 
 1nn xn(x)f xf(x)  
 
3x
x2
xx3
x2
3x
2
x
3
2
x
3
2
(x)f xf(x)xf(x) :Ex
35x5x7(x)f 5xf(x) :Ex
3 2
3 23
3 2
3
1
3
1
1
3
2
3
2
3 2
2
6177
1








 
 
 
Propriedade 3. Derivada da soma ou diferença 
 
i) (x)g(x)f(x))g(f  
ii) ` ` `( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x   
 
53
64
x188x(x)f 
3x2xf(x) :Ex


 
 
 
38
49
40xx72(x)f 
x013xf(x) :Ex


 
 
 
 
Propriedade 5. Derivada do produto 
 
 (x)gf(x)g(x)(x)f(x))g(f  
 
26 
 
4x36xx11(x)F 
 x9 4)x()x2(x2(x)F 
 x9(x) x2g(x) 
x2(x)f4xf(x) 
)x(24)x(F(x) :Ex
810
829
89
2
92





g 
 
 
 
Propriedade 6. Derivada do quociente 
 
 
 
2
f(x) f (x) g(x) f(x) g (x)
g(x) g(x)

     
 
 
 
 
22
2
22
22
2
2
2
2
)7(x
3526x5x
y 
)7(x
(2x)6)5xx()7x()5x2(
y 
2x(x) 7 xg(x) 
5x2(x)f65xxf(x) 
7x
65xx
y :Ex











g
 
 
DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR 
 
27 
 
n
n
n
n
3
3
2
2
2
2
y
dx
yd
(x)f
: temosgeral, modo um De
y
dx
yd
dx
yd
dx
d
(x)f
y
dx
yd
dx
dy
dx
d
(x)f
y
dx
dy
(x)f
:ponto odeterminad um em derivável f(x) para temosf(x),y Sendo

















 
x96x336y
x4856x y
2x168xy
2x4xxy para y e y ,yCalcular :Ex
5
26
37
48




 
 
 
 
 
 
 REGRA DA CADEIA 
 
 A regra da cadeia de uma regra de derivação que nos permite calcular a derivada de 
uma composição (ou um encadeamento) de funções, tais como f(g(x)) ou f(g(h(x))), 
conhecendo-se as derivadas f’(x), g’(x) e h’(x). 
:por dada derivada temf(g(x))ypor definida
composta função da derivada a Então ambas. em existem, 
dx
du
 e 
du
dy
 derivadas as e g(x)u e f(x)y Se


 
 
 g(x)f(x)
dx
du
 
du
dy
dx
dy
 
28 
 
 
Ex: Aplicando a regra da cadeia, determine as derivadas das seguintes funções. 
)1x(x200x2)1(x1002xu100
dx
du
du
dy
dx
dy
 
: temosforma, Desta
2x
dx
du
 e100u
du
dy
 
:Logo
 
uy 
:Então
 1xu 
 :doConsideran
 
1)(xy a)
2299
99
100
2
1002





 
 
 
Nesse caso a propriedade é: 
 
uuny uy 1nn   
 
 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
Derivada da Função Seno 
 
u cosu
dx
dy
y u sen y Se :cadeia da regra Pela
 xcos
dx
dy
y sen x f(x)y Se


 
 
 
Derivada da Função Cosseno 
 
29 
 
 
  2
1
2
2
1
22222
xsen1 xcosy
xsen1 xcos x sen1xcos 1xcosxsen :que Sabendo
 xcos
dx
dy
y x cosf(x)y Se



 
       
usen u
dx
dy
y u cosy Se :cadeia da regra Pela
sen x
dx
dy
y x cosy Se 
sen x
 xcos2
 xcocsen x2
 xcossenx2xcos
2
1
 xcossenx2xsen1
2
1
y 2
1
22
1
2







 
 
 
Derivada da Função Tangente 
 
sen xg x cosg
 xcosf sen x f
 xcos
sen x
yx tf(x)y Se 


 g
 
 
   
 xsec
cos
1
 xcos
 xsen x cos
 xcos
sen x)sen x( x xcoscos
y 2
22
22
2




 
 
 u secu
dx
dy
y u tgy :se cadeia da regra Pela 2 
 
 
Derivada da Função Cotangente 
 
30 
 
ucossecu
dx
dy
y u cotgy Se :Cadeia da Regra Pela
xcossec
xsen
1
xsen
xcosxsen
y
 xcosg sen x g
sen xf x cosf
sen x
 xcos
y x cotg f(x)y Se
2
2
22
22







 
 
 Derivada da Função Secante 
 
 xtg xsec
xcos
sen x
sen x)(xcos1y
xcos
xcos
1
xsecy
2
2
1
2
2




 
 
uu tgu secy u secy Se :Cadeia da Regra Pela  
 
 
 
Derivada da Função Cossecante 
 
uu cotgu cossecy u cossecy Se :Cadeia da Regra Pela
 xcotg xcossec
xsen
 xcos
 x)(cosxsen1y
xsen
xsen
1
xcossecy
2
2
1
2
2







 
 
 
Exemplos: 
 
Ex1: Calcule as derivadas de: 
 
31 
 
1)(x2xcosy
:sejaOu 
1).2xcos(x2xcosu
dx
du
du
dy
dx
dy
: temoscadeia, da regra pela Logo,
cosu
du
dy
senuy
:Então
2x
dx
du
1xu
 :Façamos
1)sen(xy a)
2
2
2
2





 
 
 
x2
1
2x
1
x
2
1
x
2
1
dx
du
xu
 :Façamos
senxyxseny b)
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1



 
x2
xcos
y
:sejaOu 
x2
1
.xcos
x2
1
cosu
dx
du
du
dy
dx
dy
y
: temoscadeia, da regra pela Logo,
cosu
du
dy
senuy
:Então



 
 
 
 
32 
 
19219
2
1920
202
3202
1)40x(x2x20u
dx
du
du
df
dx
df
f
2x
dx
du
u1xu
20u
du
df
fuf
1)(xf
:Fazendo
:cadeia da regra Pela
2)sen(x1)(xy c)





 
 
 
23
3
3x
dx
dv
v2xv
cosv
dv
dg
gsenvg
2)sen(xg
:Para



 
 
 
2)cos(x3x3xcosv
dx
dv
dv
dg
dx
dg
g 322  
 
 
gfgfyf.gy
:Temos

 
2)cos(x1)(x3x2).sen(x1)(x40xy
:sejaOu 
2)cos(x3x1)(x2).sen(x1)(x40xy
:Então
320223192
322023192


 
 
 
 
33 
 
)12(xsec2)2x(y
:sejaOu 
)12(xsec2)2x(2)2x(usec
dx
du
du
dy
dx
dy
y
usec
du
dy
 u tgy
:Temos
22x 
dx
du
 12xu
:Fazendo
)12tg(xy d)
22
222
2
2
2





x
x
x
x
 
 
 
 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
alnauy ay Se
:cadeia da regra Pela
aln ay ay Se
uu
xx


 
 
xu
xx
euyey
:cadeia da regra Pela
eyey
:Temos
2,71828ea Para
:Atenção



 
 
 
 
34 
 
ln223xy
ln223xlnaauy
:Então
3xu1xu
:Fazendo
2y a)
:isexponencia funções seguintes asDerivar :Ex
1x
1xu
3
1x
3
3
3







 
 
 
1x
2
1x
2
2
e2xeuy
:Então
2xu1xu
:fazendo
ey b)





u
 
 
 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
lnxaln a
dy
dx
 xa x logy yya  
 
aln x
1
dx
dy
dy
dx
1
dx
dy
:Como

 
 
aln x
1
yxlogy Se z

 
 
 
aln u
u
y u logy Se :Cadeia da regra Pela a


 
 
35 
 
 
ln xxlog ea Para a  
 
 
u
u
y u ln y Se :Cadeia da Regra Pela

 
 
 
Ex: Calcule as seguintes derivadas: 
 
x
2
x
2x
y xy a)
2
2  
 
 
2x
1
x
x2
1
yxln y b)  
 
 
 
 3ln2
1
3ln
2
1
log c) 3
xx
x
yx 

 
 
 
DERIVADAS DE FUNÇÕES NA FORMA IMPLÍCITA 
 
 
Muitas vezes, duas variáveis x e y são tais que, em certo intervalo de valores de x, y depende 
de x, ou seja, y de uma função da variável x, mas em lugar de uma fórmula y = f(x), temos 
uma equação F(x,y) = c, inter-relacionando ambas as variáveis, tal como nos dois exemplos 
abaixo. 
 
:Cadeia da Regra a Usando.49y xSeja 22  
.yy2 é x a relação comy de derivada a ,uun)(u 21n n  - 
 
: temos x,a relação com termosos todosderivarmos se inicial equação Na 
 
36 
 
ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 
Intervalos de Crescimento e Decrescimento 
Teorema: Seja f contínua em um Intervalo I. 
1) Se f’ (x) > 0 , x I, então f é estritamente crescente em I. 
2) Se f’ (x) < 0 , x I, então f é estritamente decrescente em I. 
 
Ex01: Determine o intervalo de crescimento e decrescimento de f(x) = 3 22 2x x x   . Esboce 
o gráfico. 
 
Ex02: Seja f(x) = 
2
21 3
x x
x


. Estude f com relação a crescimento e decrescimento. Esboce o 
gráfico. 
 
 
Concavidade de uma curva: 
Teorema: Se f é contínua em um intervalo I, então: 
a) Se f’’ (x) > 0 , x I  concavidade de f para cima. 
b) Se f’’ (x) < 0 , x I  concavidade de f para baixo. 
 
Pontos Extremos: 
 Ponto de Máximo 
 Ponto de Mínimo 
 
Condição Necessária de Máximo e Mínimo: 
 
y = f(x) condição necessária: f’ (x*) = 0 
 x* = máximo ou mínimo 
 
 
Condição Suficiente: x* 
 
f’ (x*) = 0  f’’(x*) > 0  x* ponto de mínimo 
 f’’(x*) < 0  x* ponto de máximo 
 f’’(x*) = 0  x* ponto de inflexão 
 
 
Ex: Verificar se 3y x tem ponto de máximo, mínimo ou inflexão. 
 
 
Exercícios: 
 
37 
 
1) Esboce o gráfico de 3 2( ) 1f x x x x    
 
2) Seja 
4
2
1
( )
x
f x
x

 . Determine os intervalos de crescimento, decrescimento, pontos 
de máximo, mínimo e inflexão. Esboce o gráfico. 
 
 
3) Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2p é 
dado. 
 
 
4) A Cia  Ltda. produz determinado produto e vende-o a preço unitário de R$13. 
Estima-se que o custo total C para producir e vender q unidades é dado por 
3 23 4 2C q q q    . Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado 
consumidor, que quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo? 
 
5) Deseja-se construir uma caixa de forma cilíndrica, de 1 m3 de volume. Nas 
laterais e no fundo será utilizado material que custa R$10.000 o metro quadrado, 
e na tampa, material de valor R$ 20.000 o metro quadrado. Determine as 
dimensões da caixa que minimiza o custo do material empregado. 
 
6) Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os (máximo, mínimo 
ou ponto de inflexão). 
a) 4 3 2( ) 4 6 4 1f x x x x x     
b) 2 5( ) . xg x x e 
 
 
INTEGRAL 
 
1 - INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa 
da derivação é a antiderivação ou integração indefinida. 
 
 Dada uma função f(x), qualquer função F(x) tal que F '(x) = f(x) é chamada integral indefinida 
ou primitiva (antiderivada) de f(x). 
 
 
2( )
'( ) 2
f x x
f x x


 
38 
 
 
 Derivação 
F(x) f (x) 
 Integração 
(Primitiva). 
PRIMITIVA: Seja f uma função definida em um intervalo I. a primitiva de f é a função F definida em I, tal 
que '( ) ( )F x f x x I  . 
Exemplos: 
1- A primitiva de f(x) = x2 é F(x) = 
3
3
x
pois f’(x) = F(x) 
2- A primitiva de f(x) = cos x é F(x) = sen x, pois F’(x) = cos x 
3- A primitiva de f(x) = 4x é F(x) = 2x2 
 F(x) = 2x2 + 3 
 F(x) = 2x2 + 100 
4- Seja f(x) = 4x. As primitivas de f são dadas por: F(x) = 2x2 + C ; C = cte 
 
 
 Notação de Leibniz 
39 
 
Outra notação empregada para designar a operação de primatização de uma função f, no
intervalo [a , b] é , notação de Leibniz.
O simbolo (esse alongado de soma), é o sinal de integral.


 
Definição: Seja f uma função definida em I  R. A primitiva de f em I será dada por: 
( ) ( )fx dx F x C  ; C = Constante de Integração. 
( )f x dx  Integral indefinida de f (conjunto de primitivas) 
( )f x  integrando. 
 
 
Fórmulas de Integração 
 
1. 
2. 
3. 
 
4 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. 
x xe dx e C  
2. 
3
2
3
x
x dx C  
3. cos xdx senx C  
40 
 
4. 
1
lndx x C
x
  
 
Fórmulas 
 
1. 
1
1
n
n xx dx C
n

 

, n  -1 
 
2. .x xe dx e C  
 
3. 
1
lndx x C
x
  
 
 
Propriedades das integrais indefinidas 
 
 
1ª) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x f x dx g x dx     , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou 
diferença das integrais. 
 
2ª:) . ( ) . ( )k f x dx k f x dx  onde k =cte , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do 
integrando. 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 03: 
1) Calcule: 
a) 
2x dx 
b) 1dx 
c) 4x dx 
d) 
2
1
dx
x
 
e) 3 2x dx 
f) 
5
3
1
( 4)x dx
x
  
g) 
1
x dx
x
 
 
 
 , (x > 0) 
41 
 
2) Determine uma única função y = y(x) definida em , tal que: 2
dy
x
dx
 e y(0) = 2. 
 
 
Integrais Imediatas: 
1- dx x C  
2- 
1
1
n
n xx dx C
n

 

 
3- 
1
lndx x C
x
  
4- x xe dx e C  
5- cos xdx senx C  
6- cossenxdx x C   
7- 
21
dx
x


 arc tg x + C 
8- 2sec xdx tgx C  
 
 
EXERCÍCIOS : 
1) Calcule: 
a) 
2
3
1
(3 )x x dx
x
  
b) 
2 1x
dx
x

 , x>0 
c) ( )ax b dx , a e b ctes 
d) 
2
xex e
dx
 
 
 
 
e) 
xe dx ;  = cte 
42 
 
f) cos xdx ;  = cte 
g) sen xdx 
h) 2( 3 )xe sen x dx 
2) Determine a função y = y(x), x  R, tal que 
2
2
1
d y
x
dx
  . 
3) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, t  0, a velocidade é v(t) = 2t + 1. 
Sabe-se, que no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 1. Determine a posição x = x(t) 
da partícula no instante t. 
 
 
Tabela das Integrais Indefinidas Fundamentais 
 
43 
 
2- MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
2.1 - Mudança de variável 
As fórmulas de integral indefinida têm objetivo limitado, pois não se pode usá-las 
diretamente para calcular integrais como, por exemplo, x 1 dx . 
Para resolvê-la podemos usar o seguinte artifício: 
Fazendo a mudança de variável, faremos u = x + 1, então: 
du
1,logo du dx
dx
  
Dessa forma teremos: 
 
 
1 3
1
1 31 2 2
22
u u 3u 3uu
x1dx x1dx udu c c c c
1 3 2 2
1
2 2
Substituindo ux1, temos:
3x1 x1
x1dx c
2

        


  
  
  

 
 
2.2 - Integração por Substituição Algébrica 
Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a finalidade de 
eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc. 
O problema é resolvido na nova variável. 
Observe o exemplo: 
44 
 
9x
Ex: Calcular dx.
3x 2
t 2 dx 1 dt
Fazendo: t 3x 2 x dx
3 dt 3 3
Então, substituindo x e dx, temos:
t 2
9
9x dt t 2 t 23
dx dt dt dt t 2lnt c
3x 2 3 t t tt


       
 
           


    
 
 
O resultado dessa integral é:
9x
dx 3x22ln3x2 c
3x2
   

 
 
2.3 - Método da Integração por Partes 
 Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular por 
outra integral, de preferência mais simples que a integral original. A primeira coisa a ser feita 
na aplicação da fórmula, que desenvolveremos, é a escolha dos termos u e dv, que devem 
seguir os seguintes critérios: 
I) Você deve ser capaz de calcular a integral dv para encontrar a expressão de v. Se não 
conseguir calcular essa integral, faça outra escolha para u e dv. 
II) Você deverá obter uma integral vdu que seja mais simples ou semelhante a integral 
original; afinal de contas esta é a integral que você efetivamente calculará. Em geral a 
integral vdu será mais simples quando a expressão u é simplificada pela diferenciação. 
- Determinação da fórmula: 
Sejam u e v duas funções de x. da fórmula da derivada do produto, tem-se: 
45 
 
d(u v) u dv v du
u dv d(u v) v du
u dv d(u v) v du
    
    
      
 
 
 
1Ex: Calcular a integral xsen x dx.
Basta usar as expressões u x e dv sen x dx
u x dv sen x dx
du dx v cos x

 
 
 

 
Aplicando a fórmula, temos:
u dv uv v du
xsen x dx xcos x cos x dx
 
    
 
 
 
 
udv uv vdu     
46 
 
2 3 x
2
2 3 x
3 x 3 x
3 x 2 3 x 3 x
E x : C a lc u la r a i n t e g r a l x e d x .
U s e a s e x p r e s s õ e s u x e d v e d x
1
d u 2 x d x v e d x e
3
A p l i c a n d o a f ó r m u la u d v u v v d u , t e m o s :
1 1
x e d x x e e
3 3

 
  
 
   


 

2 3 x 3 x
3 x
3 x
3 x 3 x
3 x 3 x 3 x
1 2
2 x d x x e x e d x
3 3
R e p l i c a - s e o m é t o d o d a i n t e g r a l d o ú l t i m o t e r m o x e d x
u x d v e d x
1
d u d x v e d x e
3
1 1 1
x e d x x e e d x x e
3 3 3
  

 
  
     
 


 
3 x 3 x
2 3 x 2 3 x 3 x 2 3 x 3 x 3 x
2 3 x 2 3 x 3 x 3 x
1
e
9
A i n t e g r a l i n i c i a l f i c a :
1 2 1 2 1 1
x e d x x e x e d x x e x e e
3 3 3 3 3 9
1 2 2
x e d x x e x e e c
3 9 2 7

 
         
 
     
 

 
 
2.4 - Método de Integração por Substituição Trigonométrica 
Se o integrando possui expressões das formas      22 22 22 , ou 
n n n
ax xa ax   tente 
fazer substituições imediatas (do tipo u = a² – x², u = x² – a² ou u = a² + x²), que serão úteis 
desde que haja outros termos no integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este 
o caso proceda da seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica: 
 
47 
 
a) Desenhe um Triângulo; 
 
b) Identifique a Hipotenusa e os dois Catetos do Triângulo; lembre-se que um dos lados do 
Triângulo deverá representar uma das expressões      22 22 22 , ou 
n n n
ax xa ax   que 
aparecem na sua integral; 
 
c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a transformação correspondente. 
 
Temos os seguintes tipos de substituições: 
 
(a) Se no integrando aparece a expressão  2 2
n
a x , use a substituição: 
x = a . sen θ, dx = a . cos θ dθ e  2 2
n
a x = cos θ. 
 
 
Substituição trigonométrica: x = a . sen θ, dx = a . cos θ dθ e  2 2
n
a x = cos θ. 
 
(b) Se no integrando aparece a expressão  2 2
n
x a , use a substituição: 
x = a . sec θ, dx = a . sec θ . tg θ dθ e  2 2
n
x a = tg θ. 
 
 
48 
 
Substituição trigonométrica: x = a . sec θ, dx = a . sec θ . tg θ dθ e  2 2
n
x a = tg θ. 
(c) Se no integrando aparece a expressão  2 2
n
a x , use a substituição: 
x = a . tg θ, dx = a . sec² θ dθ e  2 2
n
a x = sec θ. 
 
 
Substituição trigonométrica: x = a . tg θ, dx = a . sec² θ dθ e  2 2
n
a x = sec θ. 
 
Ex1: Calcular a integral de dx
x16x
1
22


. 
 
Faz-se a substituição θsen 4x  , com dθ θ cos4dx  e θ cos4x162  
 





dθθcossec
16
1
dθ
θ sen
1
16
1
dθ θ cos4
θ cos4θ sen61
1
dx
x16x
1 2
2222 
 
cotgθ
16
1
 
 
Voltando a variável original, temos: 
 
c
x
x16
16
1
dx
x16x
1 2
22




 
 
 
49 
 
Ex2: Calcular a integral de dx
x4
1
2


. 
 
Faz-se a substituição θ tg2x  , com dθ θ sec2dx 2 e θ sec2x4 2  
cθ tgθ seclndθθ sec dθ θ sec2
θ sec2
1
dx
x4
1 2
2




 
 
Voltando a variável original, temos: 
 
2
x
2
x4
lndx
x4
1 2
2




 
 
 
Ex3: Calcular a integral de dx
x
9x2


. 
 
Faz-se a substituição θ sec3x  , com dθ tgθθ sec3dx  e tgθ39x2  
 
 




dθ3dθθ sec3dθ1θ sec3dθ tgθθ sec3
θ sec3
tgθ3
dx
x
9x 22
2
 
 
θ3tgθ3  
 
Voltando a variável original,temos: 
 
c
3
x
arcsen39xdx
x
9x 2
2


 
 
 
50 
 
4. INTEGRAL DEFINIDA 
A integral definida 
 
Índice 
Problema Definição 1 Proposição 
Exemplo 2: Propriedades da 
integral definida 
Exemplo 3 
Definição 2 Exemplo 4 Propriedade i) 
Exemplo 5 Propriedade ii) 
O Teorema da Média 
Definição 3 
- Valor médio 
Propriedade iii) 
Construção de uma primitiva 
Exemplo 6 
Propriedade iv) 
O Teorema fundamental do cálculo 
Exemplo 7 Exemplo 8 
"Veremos o resultado mais importante do cálculo integral_ O teorema Fundamental do Cálculo". 
"Não apresentaremos nenhuma demonstração para os resultados enunciados. Tais demonstrações são 
encontradas facilmente em livros sobre o assunto. Veja, por exemplo, nos livros indicados nesse site". 
 
Retornar 
 Seja y = f(x) uma função definida e limitada no 
intervalo [a, b], e tal que f(x)  0 para todo x  [a, 
b]. 
 
Problema: Calcular (definir) a área, A, 
da região do plano limitada pela curva 
y = f(x), o eixo OX e as retas x = a e x = b. 
 
 Tomemos números x0, x1, x2, ..., xn  [a, b] tais que a = x0 < x1< x2 < ... < xn = b e , a1, 
a2, ..., an tais que ai  [xi-1, xi]. Então 
 
 
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Seja%20y%20=%20f%28x%29
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Defini%C3%A7%C3%A3o%201
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Proposi%C3%A7%C3%A3o
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Exemplo%202
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedades%20da%20integral%20definida
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedades%20da%20integral%20definida
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Exemplo%203
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Defini%C3%A7%C3%A3o%202
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Exemplo%204
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedade%20i%29
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Exemplo%205
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedade%20ii%29%20-%20O%20Teorema%20da%20M%C3%A9dia
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedade%20ii%29%20-%20O%20Teorema%20da%20M%C3%A9dia
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedade%20ii%29%20-%20O%20Teorema%20da%20M%C3%A9dia
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Defini%C3%A7%C3%A3o%203%28%20Valor%20m%C3%A9dio%29
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Defini%C3%A7%C3%A3o%203%28%20Valor%20m%C3%A9dio%29
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedade%20iii%29%20-%20%28Constru%C3%A7%C3%A3o%20de%20uma%20primitiva%29
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedade%20iii%29%20-%20%28Constru%C3%A7%C3%A3o%20de%20uma%20primitiva%29
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Exemplo%206
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedade%20iv%29%20%E2%80%93O%20Teorema%20fundamental%20do%20c%C3%A1lculo
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Propriedade%20iv%29%20%E2%80%93O%20Teorema%20fundamental%20do%20c%C3%A1lculo
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Exemplo%206
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#Exemplo%208
http://www.mat.ufba.br/mat042/index.htm
51 
 
 
 
 
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Definição 1: Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b]. Se existe 
 
dizemos que f é integrável em [a, b] e que sua integral definida em [a, b] é I. 
Notação: 
 
 
Exemplo1: f(x) =3 para todo x  [1, 2] 
 
 
 
 
De modo análogo, dada a função constante f(x) = C então 
 
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Proposição: Se f (x) é contínua em [a, b] então é integrável em [a, b]. 
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 Exemplo 2: f(x) = x para todo x  [0, 1]. 
Mesmo sabendo tratar-se de uma função 
que possui integral (pois é contínua), no momento 
ainda não temos recursos que facilitem calcular 
esta integral. Usaremos a definição e faremos uma 
escolha para os números x0, x1, x2, ..., xn e a1, a2, 
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
52 
 
..., an da seguinte forma: 
 
Dado n  N tomemos 
 
 
 
 
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Propriedades da integral definida 
Se f(x) e g(x) são funções integráveis em [a, b] e k  R então 
 f(x)  g(x) são integráveis em [a, b] e 
 
 k.f(x) é integrável em [a, b] e 
 
 Se f(x)  g(x), para todo x  [a, b] então 
 
 
Casos particulares: 
 Se f(x)  0, para todo x  [a, b] então 
 
 Se f(x)  0, para todo x  [a, b] então 
 
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
53 
 
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Exemplo 3: 
 
 
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Definição 2: 
 
2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] então 
 
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Exemplo 4: 
 
 
 
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Outras propriedades da integral definida 
 
Propriedade i) Sejam a, b, e c  R, se 
 
 
 
 
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Exemplo 5: 
 
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
54 
 
 
 
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 Propriedade ii) - O Teorema da Média 
Se f(x) é contínua em [a, b] então existe pelo 
menos um número c  [a, b] tal que 
 
 
 " Se f(x)  0, a área da região limitada 
pela curva y = f(x) e o eixo Ox é igual a 
área do retângulo de base [a, b] e altura 
f(c)" 
Definição 3 ( Valor médio): f(c) é o valor médio de f em [a, b]. 
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Propriedade iii) - (Construção de uma primitiva) 
Se f(x) é contínua em [a, b] então 
 
é uma primitiva de f(x). Isto é, F´(x)= f(x) 
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Exemplo 6: 
 
6.2) Calcular a derivada 
 
 
Se F(x) é a função dada em 6.1) então 
 
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
55 
 
 
6.3) Estude o crescimento da função 
 
F´(x) = f(x)  0  sen(x)  0. 
Portanto F(x) é crescente nos intervalos [2k , (2k+1) ] e decrescente em 
[(2k+1) , (2k+2) ], k= 0, 1, 2 
 
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Propriedade iv) –O Teorema fundamental do cálculo 
Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então 
 
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Exemplo 7: 
 
Notação: 
 
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Exemplo 8: Calcular o valor médio da função f(x) = 2x no intervalo [0, 1] e o ponto c  
[0, 1] em que ele ocorre. 
 
 
 
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Retornar 
 
Soma de Riemann 
 
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm#%C3%8Dndice
http://www.mat.ufba.br/mat042/index.htm
56 
 
 
1i i ix x x   (i = 1,2,3,4,...,n) 
01 12 23 1() () ()...()R nnSfxxfxxfxxfxx 
1
0
1
lim(). ()
i
bn
i i
x
i a
fx x fxdx


  
Integral definida  Integral de Riemann 
4.1 - Definição: A integral definida da função f, sendo f(x) ≥ 0 no intervalo [a , b], é igual ao 
limite da soma das áreas dos n retângulos , quando 0x  . 
 
 
Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal e o 
gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a , b]. 
Gráfico 1: 
 
 
 
4.5 – Propriedades 
Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a , b], então a função f  g é 
integrável em [a , b] e: 
 
 
nb
i
a 0
i=1
f(x)dx lim f(x )Δx i
x 
  
  
b b b
a a a
f(x)g(x)dxf(x) dxg(x) dx     
57 
 
Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo[a , b], então a 
função k.f é integrável em [a , b] e: 
 
 
Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a , b] e f(x) ≥ 0 em [a , b], então: 
 
 
Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a , b] e c é um ponto qualquer do 
intervalo [a , b], então: 
 
 
 
5 - TEREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de 
se encontrar a área de uma figura plana. 
 
 
TEOREMA. Se f for contínua em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a,b], então 
 
 
 
 
 
Propriedades das integrais definidas: 
 
 
b b
a a
kf(x) dxk f(x)   
 
b
a
f(x)dx 0 
 
b c b
a a c
f(x) dxf(x) dx f(x) dx    
58 
 
 
 
 
 
( )
b
a
f x dx = Área da região abaixo da curva F(x) 
 
 ( )f x dx  Integral Indefinida  Função F(x) + C 
 ( )
b
a
f x dx  Integral Definida  número = área 
 
 
 
Ex: Calcule as integrais definidas: 
2
2
0
2 33 3
2
2
0
0
a) xdx
2 0 8
xdx
3 3 3 3
x
   


 
 
  
0
00
b)sen x dx
sen x dxcosx cos cos0 112

    


 
 
   
1 2
2
0
1
5 3
1 12
2 4 2
0 0
0
c)x1dx
xx 11 28
x1dx x2x1dx = x 1
53 53 15

 
    
 

 
 
59 
 
 
4
31
4
4
3 3
1 2 2 22 24 4
3 22
31 1
1
1
3 3
2 22 2
2 2
32
d) 5x2x dx
x
32 5x 2x 32x 5x 4x
5x2x dx 5x2x32xdx = 16x
3x 2 2 2 3
2
54 44 5141 259
164 161
2 3 2 3 6

 
 
 
  
 
   
                         
  
  
           
  
  
  

 
 
 
5.2 - Aplicações da Integral Definida 
5.2.1 - Cálculo de Áreas 
Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a , b], então a área limitada por f (x), o eixo x e as 
retas x = a e x = b é dada por: 
 
 
Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a , b] com f(x) ³ g(x), x[a , b] então, a área limitada por 
f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por: 
b
a
A= f(x) dx 
60 
 
 
 
 
No caso de no intervalo [a , b] a função f(x) nem sempre for maior que g(x), então: 
 
 
Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f(y) e x = g(y). Se f(y)  g(y) 
no 
intervalo [c , d], então a área entre os gráficos de f(y), g(y) e as retas y = c e y = d será: 
 
 
 
 
  
b
a
A f(x) g(x)dx  
   
c c
a b
Af(x)g(x)dxg(x)f(x)dx    
 
 
d
a
A f(y) g(y)dy  
0.32xy e 6xy curvas pelas limitada região da área aAchar :Ex 2 





32xy :Eq
6xy :Eq
 :ointersecçã de Pontos
2
2
1
61 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 04 
 
 
1) Calcule: 
 a) 
2
21
1 1
dx
x x
 
 
 
 
 
 b) 
2
2
0
( 3 1)t t dt  
 c) 3
0
( 2 )senx sen x dx

 
 d) 22
0
(cos )x dx

 
2) Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e pelo gráfico de f(x) = 
x3. 
3) Calcule a área a região limitada pelo gráfico de f(x) = x3, pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 1. 
32x6x : temos,EqEq a Fazendo 221 






3bx
1a x
 032xx
:sejaOu 
2
12
        








3
1
2
33
1
2
3
1
2 3x x 
3
x
 dx 3 2x x dx 3x26xA
 
   
3
32
13 1 
3
1
33 3 
3
3
A
2
3
2
3

















u.a.
3
32
A 
62 
 
4) Calcule a área do plano compreendida entre o eixo 0x e o gráfico de y = x2 – x, com 0  x  2. 
 
 
5) Um Investidor aplica seu dinheiro em uma instituição financeira que remunera o capital investido de 
acordo com a equação 0,08
dc
c
dt
 . 
a) Supondo que o capital investido no instante t = 0 seja C0, determine o valor do capital 
aplicado no instante t. 
b) Qual o rendimento mensal que o investidor está auferindo? (suponha t dado em meses). 
6) Um objeto aquecido a 100º C é colocado em um quarto a uma temperatura ambiente de 20º C. Um 
minuto após, a temperatura do objeto passa a ser 90º C. Admitindo (Lei do Resfriamento de Newton) 
que a temperatura T = T(t) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a 
temperatura do objeto e a o quarto, isto é, ( 20)
dT
T
dt
   ,  = constante, determine a temperatura 
do objeto no instante t. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
 1) FLEMMING, Diva Marília. CÁLCULO A. Florianópolis-SC: Ed. Da UFSC- Pearson, 
2005 
 2) GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo V1. São Paulo: Editora LTC, 
1988. 
 3) PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Porto Lopes da Silva, 1993 
 
4) www.ime.uerj.br publicações 
5) www.somatemática.com.br 
 
 
http://www.ime.uerj.br/
	DERIVADA DE UMA FUNÇÃO:
	Acréscimo de uma função
	Graficamente:
	Razão Incremental
	Observe que no limite quando x 0 temos:
	1)
	2)
	3)
	PROPRIEDADES DA DERIVADA
	DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR
	REGRA DA CADEIA
	DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
	Derivada da Função Seno
	Derivada da Função Cosseno
	Derivada da Função Tangente
	Derivada da Função Cotangente
	Derivada da Função Secante
	Derivada da Função Cossecante
	Exemplos:
	DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL