Lista de Calculo Numérico

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UNIPAMPA - Campus Alegrete
Disciplina: Ca´lculo Nume´rico
Professor: Joa˜o Pl´ınio Juchem Neto
Semestre: 02/2013
LISTA DE EXERCI´CIOS I
Para resolver os exerc´ıcios a seguir, lembre-se que o n-e´simo Polinoˆmio de Taylor em torno de
x0 de uma func¸a˜o f(x), n-vezes diferencia´vel em x = x0, e´ dado por:
f(x) ≈ pn(x) = f(x0) + f (1)(x0)(x− x0) + f
(2)(x0)
2!
(x− x0)2 + · · ·+ f
(n)(x0)
n!
(x− x0)n
=
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)k.
O n-e´simo Polinoˆmio de Maclaurin e´ dado pela mesma expressa˜o, mas considerando-se x0 = 0.
1. Considere o Polinoˆmio de Maclaurin para a func¸a˜o f(x) = e−x. Adicionando um termo
deste polinoˆmio por vez, encontre uma aproximac¸a˜o para o valor de e−1 contendo pelo menos
dois algarismos significativos. Calcule o erro relativo aproximado e verdadeiro em cada passo.
Utilize a tabela abaixo como modelo.
No de Termos Resultado εt εa
1
2
3
...
2. Repita o exerc´ıcio anterior para obter uma aproximac¸a˜o de e−2.
3. Derive o Polinoˆmio de Maclaurin da func¸a˜o f(x) = sen(x), e baseado nele desenvolva um
algoritmo iterativo para aproximar sen(x) com pelo menos n algarismos significativos. Imple-
mente este algoritmo no MATLAB e obtenha uma aproximac¸a˜o para os seguintes valores com
pelo menos 5 algarismos significativos. Para cada caso, anote quantos termos do polinoˆmio
foram necessa´rios para obter a precisa˜o desejada.
a. sen(0.5)
b. sen(1.0)
c. sen(2.0)
d. sen(4.0)
e. sen(8.0)
f. Fac¸a o gra´fico do nu´mero de termos necessa´rio para obter a precisa˜o desejada versus o valor
de x.
4. Escreva um programa no MATLAB para resolver o exerc´ıcio 1 e gerar a tabela indicada.
5. Desenvolva um me´todo iterativo baseado em Polinoˆmios de Taylor para aproximar o valor
de
√
2 com dez algarismos significativos.
1
6. E´ um resultado conhecido o de que podemos escrever pi da seguinte forma:
pi = 4− 4
3
+
4
5
− 4
7
+ · · · =
∞∑
k=0
(−1)k4
(2k + 1)
.
Implemente um me´todo iterativo no MATLAB para aproximar o valor de pi com 10 algarismos
significativos.
2