Determinantes - Parte 1

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28/2/2013
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Geometria Analítica e Álgebra
Linear
Determinantes de Matrizes –
Parte 1
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 1
O que é determinante?
• Determinante de uma matriz quadrada
é uma função matemática que associa
esta matriz a um valor escalar.
• Apenas matrizes quadradas possuem
determinantes, ou seja, m = n.
• Assim, representamos o determinante
de uma matriz A como det(A) ou |A|.
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Para que servem 
Determinantes de Matrizes?
• Determinantes de matrizes possuem
diversas aplicações em engenharia e
matemática:
– Resolução de Sistemas Lineares
– Cálculo de áreas, volumes e equações de planos no
espaço
– Cálculo vetorial de momento de forças
– Aplicações em programação e sistemas de
automação
– Entre outras...
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Determinante de uma matriz de 1ª ordem
• A determinante de uma
matriz de ordem n = 1, ou
seja, apenas uma linha e
uma coluna, é o próprio
elemento desta matriz.
• Assim temos:
• Exemplos:
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 
11
1111
)det( aA
aA x


 
 
23)det(
23
8)det(
8
11
11




B
B
A
A
x
x
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Determinante de uma matriz de 1ª ordem
• A determinante de uma
matriz de segunda ordem, ou
seja, 2x2, é calculada
multiplicando-se os
elementos da diagonal
principal e subtraindo do
resultado o produto dos
elementos da diagonal
secundária.
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).().()det( 21122211
2221
1211
22
aaaaA
aa
aa
A x








Diagonal 
Principal:
a11.a22
Diagonal 
Secundária:
a12.a21
Exemplos
• Calcule as determinantes das matrizes:
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7103)10(3)5.2()3.1()det( 
35
21
311021)5.2()7.3()det( 
75
23
224)1.2()4.1()det( 
41
21
























CC
BB
AA
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Determinante de uma Matriz de 3ª ordem
• O determinante de uma matriz de 3ª ordem pode ser
facilmente calculado pela Regra de Sarrus.
• Neste método, devemos seguir os seguintes passos:
1. Reescrever as duas primeiras colunas da matriz do lado direito da
mesma.
2. Efetuar o produto dos elementos das diagonais principais
3. Efetuar o produto dos elementos das diagonais secundárias
4. Subtrair os resultados das diagonais secundárias pelos das
diagonais principais
• A seguir, será apresentado um exemplo algébrico.
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Determinante de uma Matriz de 3ª ordem
• Calcular o determinante da matriz:
• Repetem-se as duas primeiras colunas e subtrai-se o produto
das diagonais secundárias das diagonais principais:
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










333231
232221
131211
33
aaa
aaa
aaa
A x
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa










332112322311312213
322113312312332211
......
......)det(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaA


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Exemplo
• Calcule o determinante da matriz
• Repetindo-se as duas primeiras colunas e efetuando-se os 
produtos:
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










412
013
121
33xA
12
13
21
412
013
121










2 0 24 4 0
3
192402304)det( A