Lista 08 Derivadas de Ordens Superiores

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UFRN – CCET – Departamento de Matemática
MAT0318 – Cálculo Básico I - Turma 01 – Local 3H4
Lista de Exercícios 08 - 28/05/2012
Aluno(a):___________________________________
Prof. Roosewelt F. Soares
Teorema do Valor Intermediário - TVI
Teorema 1: Seja 
 uma função contínua no intervalo fechado 
 e seja 
 um número real entre 
 e 
, isto é, 
 ou 
. Então, existe pelo menos um c, com 
, tal que, 
.
Exercício 1:	Use o TVI para mostrar que a função 
 definida por 			
 tem pelo menos uma raiz neste intervalo.
Derivada da Função Exponencial
Seja 
 a função definida por 
, com 
 e 
. Encontrar, pela definição, a derivada 
. Apliquemos o seguinte o limite:
.
Então,
.
Pelo TVI, existe um determinado valor de a, 
, que neste caso é único, tal que, 
, quando 
. Chamemos de e este valor especial de a. Isto significa dizer que: 
 quando 
. Ou seja,
.
Mas, isto implica que,
.
Portanto, 
, ou seja, a derivada da função 
 é ela própria, 
. Temos então a seguinte situação: 
, para todo x em 
.
Sugestão: Dê uma interpretação geométrica para este fato.
Agora, a questão é a seguinte: como obter um valor aproximado para esta base e? Observe que, considerando 
, onde n é um número natural maior ou igual a 1, podemos escrever o limite anterior da seguinte forma,
.
Analisando este limite concluímos que 
 , ou 
. Ou seja, 
, ou ainda, 
. Elevando à n-ésima potência ambos os lados teremos,
.
Passando o limite em ambos os membros quando n tende a infinito, podemos afirmar que,
.
A função resultante 
 é chamada de função exponencial natural.
Exercícios:
1)	Considere a função 
 definida por 
.
a)	Construa o gráfico de f;
b)	Do modo como esta função está definida ela admite uma inversa? Porque?
c)	Que modificações devemos fazer para que isto aconteça?
d)	Construa o gráfico da função inversa 
 fornecendo seu domínio e contra-	domínio. A função inversa obtida chama-se função logaritmo natural e é 	denotada por 
.
2)	Considere a função exponencial 
. Encontre a derivada 
.
3)	Considere a função 
. Encontre a derivada 
.
4)	Considere a função logaritmo 
. Encontre a derivada 
. 
5)	Considere a função 
. Encontre a derivada 
. 
6)	Considere a função 
. Encontre a derivada 
. 
7)	Considere a função 
. Encontre a derivada 
. 
8)	Considere a função 
. Encontre 
.
9)	Considere a função 
. Encontre 
.
10)	Considere as funções 
 definidas por 
 e 
. Faça 	um esboço do gráfico da função 
 e encontre a 	derivada 
. 
11)	Considere as funções 
 definidas por 
 e 
. Faça 	um esboço do gráfico da função 
 e encontre a 	derivada 
.
12)	Considere a função 
. Encontre a derivada 
.
Derivadas de Ordem Superior
Definição 1: Seja f uma função derivável. Se 
 também for uma função derivável, então, a sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por 
, na notação de Newton e 
 na notação de Leibniz.
Notações de derivada:
Notação de Newton: 
, derivada primeira ou derivada de primeira ordem 
, derivada segunda ou derivada de segunda ordem 
, derivada terceira ou derivada de terceira ordem 
, derivada de quarta ordem 
, derivada de ordem n 
.
Notação de Leibniz: 
, derivada primeira 
, derivada segunda 
, derivada terceira 
, derivada de quarta ordem 
, derivada de ordem n 
.
 
Exercícios:
1)	Se 
 encontre 
.
2)	Se 
 encontre 
.
3)	Se 
 encontre 
.
Se 
 é uma função derivável, sua derivada, representada por 
, é chamada derivada terceira de 
.
A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, representada por 
, é obtida derivando-se a derivada de ordem n-1 de f.
Exercícios:
1)	Se 
 encontre 
.
2)	Se 
 encontre 
.
3)	Se 
 encontre 
.
Função na Forma Implícita
Consideremos a equação
.
Dizemos que a função 
, ou 
, é definida implicitamente por esta equação se, ao substituirmos y por 
, ou 
, esta equação se transforma em uma identidade.
Exemplo: A equação 
 define implicitamente a função 
, pois substituindo 
 na equação 
, obtemos a identidade,
.
Derivação Implícita
Suponhamos que 
 define implicitamente uma função derivável 
. Usando a regra da cadeia podemos determinar 
 (notação de Newton) ou 
 (notação de Leibniz) sem explicitar y.
Exercícios:
1)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
2)	Encontre a derivada 
 da função 
.
3)	Determine a equação da reta tangente à curva 
 no ponto 
.
4)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
5)	Encontre a derivada 
 da função 
.
6)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
7)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
8)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
9)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
10)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
11)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
12)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
13)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
14)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
15)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
16)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
17)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
18)	Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função implícita 	determinada pela equação 
 no ponto 
.
(a)	Pela diferenciação implícita.
(b)	Resolvendo a equação dada para obter y explicitamente como uma função de 	x, 
, então achando o valor de 
 quando 
.
19)	Considere que na equação 
 temos 
. Encontre 
 	implicitamente.
Diferencial
Acréscimos: Seja 
 uma função. Podemos sempre considerar uma variação da variável independente x. Se x varia de 
 para 
, e 
, definimos o acréscimo de x, denotado por 
, como:
.
A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por
ou,
.
Definição 2: Sejam 
 uma função derivável e 
 um acréscimo de x. Definimos:
(a)	a diferencial da variável independente x, denotada por 
, como 
;
(b)	a diferencial da variável dependente y, denotada por 
, como 
.
De acordo com a definição do item (a) podemos escrever 
 ou 
Assim, a notação 
, já usada para 
, pode agora ser considerada um quociente entre duas diferenciais:
Obs. Se 
 e 
 podemos escrever 
 e 
. Então, a regra da cadeia pode ser escrita do seguinte modo:
 (notação de Newton)
 (notação de Leibniz)
Exercícios:
1)	Calcular a diferencial da função 
.
2)	Calcular a diferencial da função 
.
3)	Calcular a diferencial da função 
.
4)	Se 
 calcule 
 e 
 para 
 e 
. Faça um esboço de 	
, mostrando 
 e 
.
5)	Dar a interpretação geométrica do acréscimo 
 e da diferencial 
 da função 	área do círculo 
.
6)	Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera, 	
, quando o raio varia de 
 para 
.
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