LAPLACE APLICADA A CIRCUITOS

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TENSÕES E CORRENTES 
 
 
TRANSITÓRIAS E 
 
 
TRANSFORMADA 
 
 
DE 
 
 
LAPLACE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
 PRINCIPAIS SINAIS NÃO SENOIDAIS 
 
Degrau de amplitude E - É um sinal que vale 0 volt para t < 0 e vale E volt, 
constante, para t >0. Ver fig. 1-a. 
 
 
t
E
E vR
(a) (b)
v
0
0
 
 
 Fig. 1 
 
A fig. 1-b mostra um exemplo da geração desse sinal. Com a chave aberta, a tensão em 
R é igual a zero volt. Com a chave fechada tem-se, em R, a tensão E volt. Supondo que 
a chave fechou no instante t = 0, tem-se o sinal na forma de degrau mostrado na fig. 1.a. 
 
Degrau unitário – É o degrau em que o valor para t > 0 é 1. Neste caso ele é 
designado por ( )tu . Ver fig. 2. 
 
 
t0
1
( )tu
+0−0
0
 
 Fig. 2 
 
Uma dúvida que se poderia ter seria sobre o valor da função para t = 0, uma vez que, 
pela figura 2, vemos que o valor pode ser qualquer um entre zero e 1. 
Por convenção, em t = 0, a função ( )tu é descrita analiticamente pelas expressões: 
 
Para )0( −=t ! ( ) 0=tu 
 
Para )0( +=t ! ( ) 1=tu 
 
 
O sinal degrau representado na fig. 1-a é designado por: 
 
 
( )tuEv ×= 
 
 2
Sinal impulso unitário 
 
É um sinal que é zero para qualquer 0≠t e é infinito para 0=t . Entretanto sua área é 
igual a 1. Ver fig. 3. 
 
 
0 t
∞
( )tδ
Área = 1
0
 
 
 Fig. 3 
 
Este sinal é, também, chamado de função Dirac e é representado por ( )tδ . 
Uma das maneiras matemáticas de descrevê-lo se refere à fig. 4. 
 
 
t
τ
1
=h
τ
0
0
 
 
 Fig. 4 
 
Nessa figura temos um pulso ( )tf de duração τ e amplitude 
τ
1
=h . 
Sua área fica: 11 =×=
τ
τA
 
Portanto, a área é igual a 1 independentemente do valor de τ . 
Neste caso poderíamos dizer que 
 
 
hlim= ∞=
0→τ τ
1lim
0→τ
=( ) ( )tft lim=δ
0→τ
 
 
Portanto, tem-se para ( )tδ : 
 
 0=τ 
 
 ∞→h 
 
 1=área 
 3
A função ( )tE δ× representa um impulso com área E. 
 
Rampa unitária 
 
É também chamada de rampa de inclinação unitária. Ela é definida como sendo a 
função ( )tf que obedece as seguintes características: 
 
Para 0<t ! ( ) 0=tf 
 
Para 0≥t ! ( ) ttf = 
 
Matematicamente, designa-se este tipo de função como sendo ( )tu 1− 
A fig. 5-a mostra essa função. A fig. 5-b mostra o sinal ( )tua 1−× que vem a ser uma 
rampa com inclinação igual a a . 
 
 
0 1
( )tu 1−
t
1
0
0 1
( )tua 1−×
t
a
0
(a) (b)
 
 
 
 Fig. 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
 TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Aplicação 
 
A transformada de Laplace é um algoritmo matemático que permite a resolução de 
equações diferenciais de uma maneira puramente algébrica. É muito útil para o cálculo 
de tensões e correntes transitórias em circuitos elétricos. 
 
Definição 
 
Define-se como transformada de Laplace, de uma função temporal ( )tf , a igualdade: 
 
 
( )[ ] ( ) dtetftf st−∞"= 0
 
 
Esta operação transforma uma função da variável tempo em outra função que depende 
apenas da variável s. Por isto, é comum dizer: 
 
 Função ( )tf! 
 
 Transformada de Laplace dessa função ( )sF! 
 
 onde ( ) ( ) dtetfsF st−∞"= 0 (1) 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 1 : Determinação da transformada de Laplace de um degrau unitário ( )tu . 
Ver fig. 6. 
 
 
t0
1
( )tu
0
 
 Fig. 6 
 
Neste caso 
 
( ) dtesF st"∞ −×= 0 1 stes
−
−=
1
0
∞
=
( ) ( )
ss
ee
s
11011 0 =−−=−−= ∞−
 
 
 5
 
( ) =sF ( )
s
tu
1
= (2)
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------- 
Teorema 1: A multiplicação de uma função temporal, por uma constante, equivale a 
multiplicação, de sua transformada de Laplace, pela mesma constante 
 
 Seja ( ) ( ) dtetfsF st−∞"= 0 
 
Neste caso, ( ) dtetfa st−∞" ×0 ( ) dtetfa st−
∞
"= 0 ( )sFa×= 
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo 2 – Determinação da transformada de Laplace de um degrau de amplitude E. 
Ver fig. 7. 
 
 
t0
E
( )tf
 
 Fig. 7 
 
Neste caso, ( ) ( )tuEtf ×= 
 
De acordo com o teorema 1, tem-se: 
 
 
( ) =× tuE ×E ( )
s
E
s
Etu =×= 1
 
 
 
( )
s
E
tuE =× (3)
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo 3 - Determinação da transformada de Laplace da função: ( ) tetf α−= 
 
 
( ) dteesF stt −
∞
−"=
0
α
 = 
( ) dte ts"
∞
+−
0
α
 
 
Portanto: 
 
 
 6
 
( )ts
e
s
+−
+
−
α
α
1
0
∞
αα +
=#$
%
&'
(
+
−−=
ss
110( ) =sF
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo - 3 - Determinação da transformada de Laplace da derivada de uma função: 
 
 
( )
#$
%
&'
(
dt
tdf
 
 
Sabemos que 
 
( )
dt
dUV
dt
dVUVU
dt
d
×+×=×
 
 
Multiplicando, os dois lados da igualdade, por dt fica: 
 
( ) dUVdVUVUd ×+×=× 
 
Integrando os dois lados da igualdade tem-se: 
 
" "+=× VduUdVVU 
 
ou 
 
" "−= VdUUVUdV (4) 
 
 
Sabemos que ( ) ( )sFdtetf st =−∞"0 (5) 
 
Vamos fazer ( ) Utf = e dtedV st−= 
Neste caso, ste
s
V −−= 1 
 
Vamos aplicar estas igualdades na equação (4) 
 
 
 
( )[ ]tfde
s
st"
∞
−+
0
1( ) ( ) stst etf
s
dtetf −−∞ ×−="
1
0
0
∞
ou
 
 
 7
 ( ) ( ) ( ) dte
dt
tdf
ss
fdtetf stst −∞
+
−
∞
"" #$
%
&'
(
+=
00
10
 ou 
 
 
 
( ) ( )
ss
f
sF 10 +=
+ ( )
dt
tdf
ou
 
 
 
( ) ( ) ( )+−= 0fssF
dt
tdf (6)
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 4 – Transformada de Laplace da integral de uma função ( )tf . 
 
Supondo que ( )sF é a transformada de Laplace de ( )tf é demonstrável que se 
 
 
( ) ( )dttfAtv t"×= 0 
 
 então 
 
 
( ) ( ) ( )
s
v
s
sFAtv
+
+×=
0 (7)
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo 5 - Transformada de um impulso de área A. 
 
É, também, demonstrável que: 
 
 
( ) AtA =δ (8)
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo 6 – Transformada de Laplace de uma rampa de inclinação C. 
 
( ) 0=tf para t < 0 
( ) Cttf = para 0≥t 
 
Resultado: ( ) 2s
C
sF = 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 8
 
Exemplo 7 - Transformada de Laplace de uma senoide 
 
 
( ) tAtf βsen= 
 
Resultado: 
 
 
( ) 22 β
β
+
=
s
AsF 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
Exemplo 8 – Transformada de Laplace de uma co-senoide 
 
 
( ) tAtf βcos= 
 
Resultado: 
 
 
( ) 22 β+= s
sAsF 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Anti-transformada de Laplace 
 
Se a transformada de Laplace de ( )tf é ( )sF , então a anti-transformada de Laplace de 
 
( )sF , é ( )tf , ou seja: 
 
 
se ( )[ ] ( )sFtf =
então ( )[ ] ( )tfsF =1− (9)
 
 
 
É costume designar a função no tempo com letra minúscula e a transformada com letra 
maiúscula. Exemplo: 
 
 i ⇔ I 
 
Equivale a 
 
 
( )ti ⇔ ( )sI 
 
 
 
 
 
 9
Aplicação da transformada de Laplace para a determinação de tensões e correntes 
em circuitos elétricos. 
 
Exercício 1: - Determinar a corrente i no circuito da fig. 8, após o fechamento da 
chave. Suponha que o capacitor está descarregado. 
 
 
E
i
R
C
 
 
 Fig. 8 
 
Solução: 
 
 Após o fechamento da chave, tem-se um circuito fechado. Neste caso, pode-se aplicar 
a segunda lei de ohm: 
 
 
01
0
=×++− "
t
dti
C
RiE
 (10) 
 
Vamos aplicar a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a fonte de 
alimentação excita o circuito na forma de degrau. Portanto sua transformada é 
 
 
( ) =sE
s
E
 Ver equação (3). 
 
A tensão no capacitor é 
 
 
( ) " ×= tc dtiCtv 0
1
 
 
 Sua transformada é: 
 
 
( ) ( )
s
V
Cs
I
sV cc
+
+=
0
 Ver expressão (7) 
 
Como, em nosso caso, a tensão no capacitor, no instante inicial, é zero, resulta: 
 
 
( )
Cs
I
sVc = 
 
 Portanto, a transformada de Laplace da expressão (10) fica: 
 
 10
 0=++−
Cs
IRI
s
E
 (11) 
 
Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )ti . 
 
A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I: 
 
 
s
E
Cs
RI =)
*
+
,
-
.
+
1
 
 
)
*
+
,
-
.
+
=
R
Cs
s
EI
1 Rs
C
E
+
=
1 ou 
 
 
RC
s
R
EI
1
1
+
×=
 (12) 
 
Finalmente, faz-se a anti-transformada de I. Dessa maneira, obtém-se a expressão da 
corrente i em função do tempo. 
 
Para a anti-transformação usa-se tabelamentos, das transformadas de Laplace, 
publicados em manuais ou em livros didáticos que tratam do estudo de transitórios em 
circuitos elétricos. Nas últimas páginas desta apostila temos reproduções parciais desse 
tabelamento. 
Para o caso deste exercício precisamos anti-transformar a expressão 
RC
s
1
1
+
. 
A linha 1.102 da tabela mostra que 
 
 
1− te
s
α
α
−
=
+
1
 
 
Por comparação concluímos que: 
 
 
1− t
RCe
RC
s
1
1
1 −
=
+
 
Portanto, a corrente ( )ti fica representada pela expressão: 
 
 
( ) tRCe
R
E
ti
1
−
=
 (13) 
 
A fig. 4 mostra como varia essa corrente ao longo do tempo. 
 
 11
 
R
E
( )ti
t0
 
 
 Fig. 9 
 
 ----------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercício 2: - Determinar a corrente i e a tensão v, no circuito da fig. 10, logo após 
o fechamento da chave. 
 
 
E v
R
L
i
 
 
 Fig. 10 
 
Solução: 
 
a) Determinação da corrente i. 
 
 Após o fechamento da chave, aplica-se a segunda lei de ohm: 
 
 0=++−
dt
diLRiE (14) 
 
Aplica-se a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a excitação é 
um degrau de amplitude E. Portanto sua transformada é dada pela igualdade (3). Para 
transformar o termo 
dt
di
 aplica-se a expressão (6), lembrando que a corrente no indutor, 
no instante inicial, é zero. 
 
 0=++− LsIRI
s
E
 (15) 
 
Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )ti . 
 
A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I: 
 12
 
 
( )
s
ELsRI =+
 
 
 ( )RLss
EI
+
= ou 
 
 
)
*
+
,
-
.
+
×=
L
R
ss
L
EI 1 (16) 
 
Precisamos determinar a anti transformada da expressão 
 
)
*
+
,
-
.
+
L
R
ss
1
 
 
No tabelamento, fornecido, não encontramos nenhuma expressão semelhante a essa. 
Entretanto, a linha 1.105 informa que a anti-transformada de 
 
 ( )( )γα ++ ss
1
 é 
αγ
γα
−
−
−− tt ee
 
 
Se fizermos 0=α concluiremos que a anti-transformada de 
 
 ( )γ+ss
1
 é 
γ
γt
e
−
−1
 
 
 Fazendo a identidade com o resultado do nosso problema, tem-se: 
 
 ( )
)
*
+
,
-
.
+
≡
+
L
R
ss
ss
11
γ
 
 
Concluímos que γ≡
L
R
 
 
Portanto, a anti-transformada da função 
 
)
*
+
,
-
.
+
×=
L
R
ss
L
EI 1 
 
resulta: ( )
L
R
e
L
E
ti
t
R
L
−
−
×=
1
 
 
 13
ou ( ) ))
*
+
,,
-
.
−=
− t
L
R
e
R
E
ti 1 (17) 
 
A fig. 11 mostra esta corrente em função do tempo. 
 
 
t
R
E
( )ti
0
 
 
 Fig. 11 
 
a) Determinação da tensão no indutor 
 
Pela expressão (13) sabemos que a tensão no indutor é dada pela expressão: 
 
 ( )
dt
diLtv = 
 
Pela expressão (6) sabemosque, quando a corrente inicial é nula, a 
transformada de Laplace desta tensão é: 
 
 LsIsV =)( 
Substituindo o valor de I pelo valor fornecido pela expressão (16), tem-se: 
 
 
 
( )
)
*
+
,
-
.
+
×=
)
*
+
,
-
.
+
×=
L
R
s
E
L
R
ss
L
ELssV 11 
 
 
 ( )
)
*
+
,
-
.
+
=
L
R
s
EsV 1 
 
A anti-transformada resulta: 
 
 
( ) tL
R
Eetv
−
= (18) 
 
A fig. 12 mostra a variação dessa tensão no indutor ao longo do tempo. 
 
 14
 
E
( )tv
t0
 
 
 Fig. 12 
 
Exercício 3: - Determinar a corrente i, no circuito da fig. 13, logo após o 
fechamento da chave. Supõe-se que, tanto a corrente inicial da bobina quanto a 
tensão inicial no capacitor, são nulos. 
 
 
 
 
R C
Lv
E L
 
 
 Fig. 13 
 
Equação diferencial: 
 
 01
0
=+++− " dt
diLidt
C
RiE
t
 
 
Transformadas de Laplace: 
 
 0=+++− LsI
Cs
IRI
s
E
 
 
onde I representa a transformada de Laplace de ( )ti , ou seja, ( )sII = 
 
Determinando, algebricamente, o valor de I, encontra-se: 
 
 
( )
LC
s
L
R
s
L
E
sI 1
1
2 ++
= 19 
 
 
Precisamos achar a anti-transformada da expressão: 
 
 15
 
LC
s
L
R
s
1
1
2 ++
 
 
A tabela não fornece a anti-transformada da forma com que essa expressão se 
apresenta. Precisamos mudar sua forma para se enquadrar na tabela. 
Vamos fazer 
 
 α2=
L
R
 e 20
1
ω=
LC
 
 
Portanto 
 
LC
s
L
R
s
1
1
2 ++
2
0
2 2
1
ωα ++
=
ss
 
 
Vamos somar e subtrair, ao denominador, o termo 2α 
 
Resulta: 
 
 2
0
2 2
1
ωα ++ ss 220
22 2
1
αωαα −+++
=
ss
= ( ) ( )2202
1
αωα −++s
 20 
 
 Caso a 
Se 0220 ≥−αω então podemos usar a identidade 
 
( ) ( )2202
1
αωα −++s
 ( ) 22
1
βα ++≡ s 21 
 
 
22
0
2 αωβ −= 
 
Caso b 
 
Se 0220 <−αω então podemos usar a identidade 
 
 ( ) ( )2202
1
αωα −++s ( ) 22
1
βα −+≡ s 22 
 
 
onde 220
2 αωβ −=− ou 2022 ωαβ −= 
 
Solução para o caso a 
 
A linha 1.301 da tabela fornece: 
 
 16
 
( ) tes
t βββα
α sen
11
22
−
=
++
1−
 
 
Neste caso 
 
 
( ) te
L
E
ti
t
ββ
α
sen
−
=
 23 
 
Substituindo os valores: 
 
L
R
2
=α 
 
22
0 αωβ −= 2
2
4
1
L
R
LC
−=
 
 
 chega-se ao resultado final 
 
 
( ) t
L
R
LC
e
R
C
L
E
ti
t
L
R
)
)
*
+
,
,
-
.
−
−
=
−
2
2
2
2 4
1
sen
4
 24 
 
A fig. 14 mostra como varia essa corrente em função do tempo. 
 
 
t
( )ti
0
 
 
 
 Fig. 14 
Solução para o caso b 
 
Seguindo procedimento semelhante chega-se ao resultado: 
 
 
 17
 
( ) t
LCL
R
e
C
LR
E
ti
t
L
R
)
)
*
+
,
,
-
.
−
−
=
− 1
4
senh
4
2
2
2
2
 25 
 
onde θsenh significa seno hiperbólico de θ . 
 
A fig. 15 mostra esta corrente versus variação do tempo. 
 
 
( )ti
0 t
 
 Fig. 15 
Maneira prática de resolução do circuito quando as condições iniciais são nulas. 
 
 
Desenha-se o circuito no domínio da transformada de Laplace com as seguintes 
relações: 
 
Impedância de resistor R! 
Impedância de indutor Ls! 
Impedância de capacitor 
Cs
1
! 
 
 
Exemplo: Circuito RLC série. Ver fig. 16. 
 
Ls
R
)(sE
( )sI Cs
1
 
 
 Fig. 16 
 
Calculando a corrente, resulta 
 
 18
 
( ) ( )
Cs
LsR
sE
sI 1
++
= 
 
Supondo excitação em degrau, tem-se: 
 
 
( )
Cs
LsR
s
E
sI 1
++
=
 
 
ou ( )
LC
s
L
R
s
L
E
sI
1
1
2 ++
=
 26 
 
Comparando (26) com (19), vemos que são idênticas. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercício 4 - Determinar a tensão ( )tvL no indutor do circuito da fig. 13. 
 Solução: 
Supondo que a transformada de Laplace de ( )tvL é ( )sVL , utilizamos, para esse cálculo, 
o circuito mostrado na fig. 17, cujos parâmetros estão enquadrados no domínio das 
transformadas de Laplace. Considere 0220 ≥−αω 
 
 
Ls
R
)(sE
( )sI Cs
1
( )sVL
 
 
 Fig. 17 
 
Pela lei de ohm tem-se: 
 
 
( ) LssIsVL ×=)( 
 
 
Vimos que ( )
LC
s
L
R
s
L
E
sI
1
1
2 ++
=
 
 
Portanto: 
 19
 
 ( ) =sVL
LC
s
L
R
s
sE 12 ++
 
 
Como 0220 ≥−αω então podemos usar a identidade 
 
 
 
LC
s
L
R
s
s
12 ++ ( ) 22 βα ++
≡
s
s
 
 
onde 
L
R
2
=α e 
2
2
1
)
*
+
,
-
.
−=
L
R
LC
β 
 
 
 
 
Determinação da Anti-transformada de 
 
 
( ) ( ) 22 βα ++= s
s
sF
 
 
 
Na linha 1.303, se fizermos 00 =a , teremos 
 
 
( ) ( ) ( )ψββαβ α ++= − tetf t sen
1
2
1
22
 
 
onde 
α
βψ
−
=
−1tg 
 
 
Após algumas operações e simplificações algébricas chega-se ao resultado da tensão no 
indutor: 
 
 
 
( ) ))
*
+
,
,
-
.
+−
−
=
− ψt
L
R
LC
e
L
CR
Etv
t
L
R
L 2
2
2
2 4
1
sen
4
1
1
 
 
 
 20
onde 142
1
−=
−
CR
L
tgψ
 
 
Casos onde se tem valores iniciais não nulos 
 
Seja o caso de um indutor de valor L, com uma corrente inicial 0I . Ver fig. 18-a. 
 
 
0VC
0I
L
(a) (b)
 
 
 Fig. 18 
 
Neste caso, quando a bobina é percorrida por uma corrente I, a tensão equivalente nesse 
um indutor fica: 
 
 
( ) 0LILsIsVL −= 
A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possui 
valor 0LI . A representação, no circuito, está mostrada na fig.19-a. 
 
 
( )sVLLs
0LI
( )sVC
s
V0
Cs
1
(a) (b)
 
 
 Fig. 19 
 
Seja o caso onde se tem uma tensão inicial, de valor 0V , no capacitor. Ver fig. 19-b. 
Quando este capacitor é percorrido por uma corrente I, a tensão equivalente neste 
componente fica: 
 
 ( )
s
V
Cs
I
sVC
0+= 
 
 21
A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensãocuja força eletromotriz possui o 
valor 
s
V0
. A representação no circuito está mostrada na fig. 19-b. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
Exercício 5 
Dado o circuito da fig. 20, 
 
a) Determinar a corrente ( )ti após o fechamento da chave. 
b) Determinar a tenção ( )tvC após o fechamento da chave. 
 
 
 
E
i
R
C 0V
Cv
 
 
 Fig. 20 
Solução: 
A fig. 21 mostra o circuito no domínio da transformada de Laplace: 
 
 
R
( )sVCs
E
( )sI
Cs
1
s
V0
 
 
 Fig. 21 
a) 00 =+++−
s
V
Cs
IIR
s
E
 
 
 
RC
s
R
VE
C
Rs
VE
Cs
R
s
VE
I 1
1
11
00
0
+
×
−
=
+
−
=
+
−
= 
 
A linha 1.102, da tabela, nos fornece a anti transformanda. Resulta: 
 
 ( ) tRCe
R
VE
ti
1
0 −)
*
+
,
-
. −
= 
 22
 
b) ( )
s
V
Cs
IsVC 0
1
+×= 
 
 ou ( )
s
V
RC
sCsR
VE
sVC 00 1
1
+
)
*
+
,
-
.
+
×
−
= 
ou ( ) ( )
s
V
RC
ss
RCVEsVC 00 1
1
+
)
*
+
,
-
.
+
×−=
 
 
As linhas 1.101 fornece a anti-transformada da segunda parcela. A linha 1.105, quando 
se faz 0=α , fornece a anti-transformada da primeira parcela. Resulta: 
 
 ( ) ( ) 0
1
0 1 VeVEtv
t
RC
c +)
)
*
+
,
,
-
.
−−= 
 
ou ( ) tRCtRCc eVeEtv
1
0
1
1
−
+)
)
*
+
,
,
-
.
−= 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 6 
Dado o circuito da fig. 22, 
 
a) Determinar a corrente ( )ti após a chave mudar do ponto A para o ponto B. 
b) Determinar a tensão ( )tvL após a chave mudar do ponto A para o ponto B. 
 
 
A
B
LvL
0I
2E
2R
1R
1E
 
 
 Fig. 22 
 
Solução: 
Antes de mudar a chave de A para B: 
 
Corrente contínua através do indutor: 
1
1
0 R
E
I = 
 
 23
Após a mudança de A para B: 
 
 Corrente inicial no indutor: 
R
E
I 10 = 
 
a) A fig. 23 mostra o circuito equivalente no domínio da transformada de Laplace: 
 
 
 
( )sVLLs
s
E2
2R
)(sI
0LI
 
 
 Fig. 23 
 
Aplicando a segunda lei de Ohm, tem-se: 
 
02
2 LILsIIR
s
E
−++− =0 
 
L
R
s
I
L
R
ss
L
EI
2
0
2
2 11
+
+
)
*
+
,
-
.
+
×= 
Usando as anti-transformações da linha 1.105 ( fazendo 0=α ) e da linha 1.102, resulta: 
 
 ( ) tL
R
t
L
R
eIe
R
E
ti
22
0
2
2 1
−−
+))
*
+
,,
-
.
−= onde 
1
1
0 R
E
I = 
 
b) ( ) 0LILsIsVL −= 
 
 
ou ( ) LI
L
R
s
sLI
L
R
s
EsVL 0
2
0
2
2
1
−
+
+
+
×= 
 
ou ( ) ( )
L
R
s
RIEsVL
2
202
1
+
−=
 
 
Anti transformando (linha 1.102 da tabela), resulta: 
 
 24
 ( ) ( ) tL
R
L eRIEsV
2
202
−
−= onde 
1
1
0 R
E
I = 
 
 
Teoremas dos valores iniciais e finais. 
 
Sendo ( )sF a transformada de Laplace de ( )tf , o teorema do valor inicial afirma: 
 
 
( )tflim
0→t
( )ssFlim=
∞→s
 
Portanto, podemos calcular o valor inicial de uma função temporal utilizando sua 
transformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limite 
quando s tende para o infinito. 
 
Da mesma forma, o teorema do valor final afirma: 
 
 
( )tflim
∞→t
( )ssFlim=
0→s
 
 
Portanto, podemos calcular o valor final de uma função temporal utilizando sua 
transformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limite 
quando s tende a zero. 
 
Vamos verificar as afirmações utilizando o resultado do exercícios 5. 
 
Vimos, no exercício 5 que a corrente no circuito resultou 
 
 
( ) tRCe
R
VE
ti
1
0 −)
*
+
,
-
. −
= 
Valor inicial 
 
Podemos ver que 
 
 
( ) )
*
+
,
-
. −
=
R
VE
ti 0lim
0→t
 
 
No domínio da transformada de Laplace tínhamos: 
 
 
( )
RC
s
R
VE
sI 1
10
+
×
−
=
 
 
Podemos ver que 
 
 25
 
( )ssIlim
∞→s∞→s R
VE
RC
s
s
R
VE 00
1
−
=
))
)
)
*
+
,,
,
,
-
.
+
×
−lim=
 
 
Isto confirma a validade do teorema do valor inicial 
 
Valor final 
 
 Voltando à expressão de ( )ti 
 
 
 
( ) tRCe
R
VE
ti
1
0 −)
*
+
,
-
. −
= 
 
Podemos ver que 
 
 
( ) 0lim =ti
∞→t
 
 
No domínio da transformada de Laplace tínhamos: 
 
 
( )
RC
s
R
VE
sI 1
10
+
×
−
=
 
 
Podemos ver que 
 
 
( )ssIlim 010 =
)
)
)
)
*
+
,
,
,
,
-
.
+
×
−
RC
s
s
R
VElim=
0→s0→s
 
 
Isto confirma a validade do teorema do valor final 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 7 
Trabalhando apenas no domínio da transformada de Laplace , determinar os valores 
inicial e final da corrente no indutor do circuito do exercício 6 
 
Solução: 
 
 
( )
L
R
s
I
L
R
ss
L
E
sI
2
0
2
2 11
+
+
)
*
+
,
-
.
+
×=
 
 
 26
 
( )
L
R
s
sI
L
R
s
L
E
ssI
2
0
2
2 1
+
+
)
*
+
,
-
.
+
×= 
 
 
 
 
 
Valor inicial 
 
 
000 II =+=
∞→s
( ) limlim =ssI
)
)
)
)
*
+
,
,
,
,
-
.
+
+
)
*
+
,
-
.
+
×
L
R
s
sI
L
R
s
L
E
2
0
2
2 1
∞→s
 
 
 
 
0→t
( ) 0lim Iti =Portanto (valor inicial)
 
 
Valor final 
 
 
 
2
2
2
2 0
R
E
R
E
=+=( ) limlim =ssI
)
)
)
)
*
+
,
,
,
,
-
.
+
+
)
*
+
,
-
.
+
×
L
R
s
sI
L
R
s
L
E
2
0
2
2 1
0→s 0→s
 
 
 
 
 
∞→t
( )
2
2lim
R
E
ti =Portanto (valor final)
 
 
Por inspeção no circuito do exercício 6, pode-se confirmar sem dificuldades os 
resultados deste exercício 7. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Utilização dos teoremas dos valores iniciais e finais. 
 
Muitas vezes , quando se trabalha com circuitos muito complicados, a obtenção da anti-
transformada de Laplace fica extremamente trabalhosa. Se estamos interessados, 
apenas, em conhecer os valores iniciais e finais das tensões e correntes, nos diversos 
pontos do circuito, não teremos a necessidade de calcular as anti-transformadas.