Determinantes e Matrizes

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Determinantes
 O determinante de uma matriz quadrada é a soma algébrica dos produtos obtidos da diagonal principal, permutando-se o segundo índice e precedendo esses produtos de sinal positivo ou negativo conforme o número de inversões efetuadas com as permutações.
 Ou seja, dada A = 
 matriz quadrada de ordem nxn, 
 det A = 
 
 onde P(n) = conj das permutações sobre 1 , 2 , ... , n
 s(p) é a paridade da permutação p
Matriz de ordem 2x2:
A = 
 det A = a11.a22 – a12.a21 
Matriz de ordem 3x3: ( Regra de Sarrus )
A = 
 
det A = a11 a22 a33 + a13 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33
Método de La Place para matrizes de ordem nxn 
 (desenvolvimento por linha ou por coluna )
 Consiste em escolher uma linha ou uma coluna da matriz e obter o somatório como indicado abaixo:
Sendo A = 
 matriz de ordem nxn , escolhendo uma linha k ,
detA = 
 
onde Akj é a matriz de ordem (n-1)x(n-1) obtida de A retirando-se a linha k e a coluna j.
Cada termo 
é denominado cofator kj de A
Propriedades dos determinantes:
det A = det At
Se uma matriz tem uma linha ou coluna de elementos nulos então seu determinante é nulo.
Se uma matriz tem linhas ou colunas iguais então seu determinante é nulo.
Se uma matriz tem linhas ou colunas proporcionais então seu determinante é nulo.
O determinante de uma matriz diagonal ou triangular ( superior ou inferior ) é igual ao produto de sua diagonal principal.
Se permutarmos duas linhas ou duas colunas de uma matriz seu determinante fica multiplicado por – 1.
Se multiplicarmos uma linha ou uma coluna de uma matriz por um número real seu determinante fica multiplicado por esse número.
O determinante de uma matriz não se altera se substituirmos uma linha ou uma coluna por outra linha ou coluna pela soma da mesma com outra multiplicada por um número real.
Se uma matriz tem uma linha ou coluna combinação linear das demais então seu determinante é nulo.
det(A.B)=detA.detB
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz:
Permutar duas linhas. Li ( Lj
Multiplicar uma linha por um número real diferente de zero. Li ( c.Li
Substituir uma linha pela soma da mesma com outra multiplicada por um número real. 
 Li ( Li + d.Lj 
Podemos definir de forma análoga operações sobre as colunas da matriz.
Cálculo do determinante por triangulação: 
Consiste em calcular o determinante da matriz dada transformando-a em uma triangular, através das operações elementares, e alterando o valor do determinante conforme as propriedades.
Li ( Lj ( troca o sinal do determinante )
Li ( c.Li ( multiplica o determinante por c )
Li ( Li + d.Lj ( não altera o valor do determinante )
Esse procedimento é conhecido como escalonamento da matriz
Exemplo: A = 
Det A = det 
 L1 ↔ L2 
 = - det 
 L1 →- L1 
= det 
 L2 → L2 + 2L1
= det 
 L2 →- L2
= - det 
 L3 →L3 -5.L1
= - det 
 L3 →L3 -3.L2
= -. det 
 L3 →- 1/3 . L3
= - ( - 3 ) . det
 = 3
Dai det A = 3
Matriz inversa. Dizemos que uma matriz quadrada B é inversa de A se A.B = B.A = I
Notação: B = A-1
 Observação: A tem inversa se e somente se det A ( 0
Se a matriz A tem inversa dizemos que A é matriz não singular.
Determinação de A-1 através de cofatores:
Dada A, matriz de ordem nxn com determinante diferente de zero,
A-1 = 
 onde bij = 
 ou seja bij = 
Onde A j , i é a matriz obtida de A, suprimindo-se a linha j e a coluna i.
Note que a ordem de A j , i é (n-1)x(n-1)
Observação: 
Exemplos: 1) A = 
 A-1 = 
Note que: para matrizes de ordem 2x2, A-1 = 
2) A = 
 A-1 = 
Propriedades: 1) (A.B)-1 = B-1 . A-1
 2) ( (.A )-1 = (.A-1
 3) (A-1 )-1 = A
 4) (At )-1 = ( A-1 )t
Determinação de A-1 através das operações elementares.
Aplicam-se as operações elementares na matriz A até transformá-la na matriz identidade e aplicam-se as mesmas operações elementares na identidade e a matriz obtida é inversa de A
 A (I (( ... (( I ( A-1 
As matrizes obtidas no processo citado são ditas matrizes equivalentes.
Exemplos: 1) A = 
 A-1 = 
2) A = 
 A-1 = 
 
3) A = 
 A-1 = 
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