Modelos Probabilisticos Discretos

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Distribuições Discretas 
 
As distribuições discretas são utilizadas para determinar a probabilidade de variáveis 
aleatórias discretas que seguem um determinado padrão. 
 
Experiências de Bernoulli 
 
1. A cada experiência corresponde apenas um de dois resultados possíveis: 
“sucesso” ou “insucesso”. 
2. A probabilidade de sucesso (p) (e logo de insucesso (q = 1 - p)) mantém-se 
inalterada ao longo das experiências; 
3. Os resultados associados a cada experiência são independentes entre si. 
 
Distribuição binomial 
 
),( pnBX → 
 
X : número de sucessos em n experiências de Bernoulli. 
 
nxppCxXP xnxnx ,,1,0,)1()( K=−== − npqXV
npXE
=
=
)(
)(
 
 
 
Distribuição geométrica 
 
X : número de experiências de Bernoulli até ocorrer um sucesso. 
K,2,1,)1()( 1 =−== − xppxXP x 
2)(
1)(
p
qXV
p
XE
=
=
 
 
Distribuição binomial negativa ou de Pascal 
 
),( pkPX → 
 
X : número de experiências de Bernoulli até ocorrerem k sucessos. 
 
kxppCxXP kxkxk ≥−== −−− ,)1()( 11 
2)(
)(
p
qkXV
p
kXE
=
=
 
 
 
 
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Distribuição hipergeométrica 
 
X : número de sucessos em n tentativas (não de Bernoulli), em que B elementos dão 
origem a um sucesso num total de N elementos. 
 
Nnnx
C
CCxXP N
n
BN
xn
B
x ≤===
−
− ;,,1,0,)( K 
1
)(
)(
−
−=
=
n
nNnpqXV
npXE
 
 
Distribuição multinomial 
 
Xk : número de vezes que Ak acontece em n tentativas. 
pk : a probabilidade de Ak acontecer. 
 
KKKK ,1,0,!!
!),,,( 11
1
11 ==== xppxx
nxXxXP kxk
x
k
kk 
iii
ii
qnpXV
npXE
=
=
)(
)(
 
 
jiji
k
i
i
k
i
i
pnpXXCv
p
nx
=
=
=
∑
∑
=
=
),(
1
1
1
 
 
Exercício: 
 
Recentemente, a fábrica XYZ adquiriu uma nova máquina de fresar. Para cumprir os 
padrões de qualidade em vigor na fábrica, o responsável pelo Departamento de 
Qualidade tem de definir e implementar um plano de inspecção às peças produzidas na 
nova máquina. No entanto, devido ao elevado rendimento da nova máquina, é 
impossível inspeccionar todas as peças produzidas, pelo que é necessário recorrer à 
inspecção de pequenos lotes. Por razões técnicas, foi estabelecido que é inspeccionado 
um lote por cada turno de trabalho e o tamanho de cada lote a inspeccionar é de 20 
peças (retiradas aleatoriamente do total de peças produzidas nesse turno). Após uma 
série de testes, foi possível definir que a percentagem de peças defeituosas produzidas 
na nova máquina é de 10%. Dessas peças defeituosas, 8% podem ser reaproveitadas, 
enquanto os restantes 2% são para sucata. 
 
a) O responsável pela Qualidade definiu os seguintes planos de inspecção 
alternativos: 
i) Uma peça é retirada aleatoriamente do lote, inspeccionada e colocada de 
novo no lote (existe reposição da peça inspeccionada). Este processo é 
repetido 10 vezes. O lote é rejeitado se tiver menos do que 9 peças boas; 
 
ii) Uma peça é retirada aleatoriamente do lote, inspeccionada e colocada de 
novo no lote (existe reposição da peça inspeccionada). Este processo é 
repetido 3 vezes ou até sair uma peça defeituosa. O lote é rejeitado se se 
retirar uma peça defeituosa; 
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iii) Uma peça é retirada aleatoriamente do lote, inspeccionada e colocada de 
novo no lote (existe reposição da peça inspeccionada). Este processo é 
repetido 7 vezes ou até saírem duas peças defeituosas. O lote é rejeitado se 
se retirarem duas peças defeituosas; 
 
iv) Uma peça é retirada aleatoriamente do lote, inspeccionada e colocada de 
parte (não existe reposição da peça inspeccionada). Este processo é 
repetido 10 vezes. O lote é rejeitado se tiver menos do que nove peças boas; 
 
Qual dos planos maximiza a probabilidade de rejeitar um lote? Analise os valores 
esperados e as variâncias. 
 
b) Qual a probabilidade de um lote de 20 peças (com reposição) ser constituído por: 
18 peças boas, 1 peça defeituosa reaproveitável e 1 peça para a sucata. 
 
Resolução: 
 
a) X : número de peças boas 
Yi : número de tentativas até sair a i-ésima peça defeituosa 
A probabilidade de retirar uma peça boa é 1 – 10% = 0.9 
A probabilidade de retirar uma peça defeituosa é 10% = 0.1 
 
i) Neste plano de inspecção a v.a. X segue uma distribuição binomial. 
Caso Geral: 
X : número de sucessos em n experiências de Bernoulli. 
Caso Particular: 
X : número de peças boas em 10 peças retiradas. 
 
A expressão da distribuição de probabilidade de X é dada pela seguinte expressão: 
knkn
k ppCkXP
−−== )1()( 
Pelo que devemos calcular P(X < 9), com n = 10, p = 0.9: [ ]
9.01.09.010)1()(
0.99.010)(
2639.07361.01)10()9(1)9(1)9(
=××=−=
=×==
=−==+=−=≥−=<
pnpXV
npXE
XPXPXPXP
 
 
ii) Neste plano de inspecção a v.a. Y1 segue uma distribuição geométrica. 
Caso Geral: 
X : número de experiências de Bernoulli até ocorrer um sucesso. 
Caso Particular: 
Y1 : número de peças retiradas até sair uma peça defeituosa. 
 
 A expressão da distribuição de probabilidade de Y1 é dada pela seguinte expressão: 
pqkYP k 11 )(
−== 
Pelo que devemos calcular P(Y1 ≤ 3), com p = 0.1: 
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90
1.0
9.0)(
10
1.0
11)(
271.01.09.01.09.01.09.0)3()2()1()3(
22
210
1111
===
===
=×+×+×==+=+==≤
p
qXV
p
XE
YPYPYPYP
 
iii) Neste plano de inspecção a v.a. Y2 segue uma distribuição de Pascal. 
Caso Geral: 
X : número de experiências de Bernoulli até ocorrerem k sucessos. 
Caso Particular: 
Y2 : número peças retiradas até saírem 2 peças defeituosas. 
 
 A expressão da distribuição de probabilidade de Y2 é dada pela seguinte 
expressão: 
kxkx
kk qpCxYP
−−
−== 11)( 
Pelo que devemos calcular P(Y2 ≤ 7), com k = 2, p = 0.1: 
180
1.0
9.02)(
20
1.0
2)(
2397.0)7()3()2()7(
22
2222
=×==
===
==++=+==≤
p
qkXV
p
kXE
YPYPYPYP K
 
iv) Neste plano de inspecção a v.a. X segue uma distribuição hipergeométrica. 
Caso Geral: 
X : número de sucessos em n tentativas (não de Bernoulli), em que B 
elementos dão origem a um sucesso num total de N elementos. 
Caso Particular: 
X : número de peças boas em 10 tentativas (não existe reposição), em que 18 
elementos dão origem a um sucesso num total de 20 elementos. 
 
 A expressão da distribuição de probabilidade de X é dada pela seguinte expressão: 
N
n
BN
xn
B
x
C
CCxXP
−
−== )( 
Pelo que devemos calcular P(X < 9), com p = 0.9, n = 10, B =18 e N = 20: [ ]
4737.0
120
10201.09.010
1
)(
99.010)(
2368.07632.01)10()9(1)9(1)9(
=−
−×××=−
−=
=×==
=−==+=−=≥−=<
N
nNnpqXV
npXE
XPXPXPXP
 
b) Esta experiência segue uma distribuição multinomial, onde: 
Xk = número de vezes que sai Ak, com probabilidade pk 
A expressão da distribuição de probabilidade de X é dada pela seguinte expressão: 
kn
k
n
k
kk ppnn
nnXnXP KKK
1
1
1
11 !!
!),,,( === 
 
Neste caso temos então: 
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X1 : número de peças boas ( 9.018 11 == pen ) 
X2 : número de peças reaproveitáveis ( 08.01 22 == pen ) 
X3 : número de peças para sucata ( 02.01 33 == pen ) 
0913.002.008.09.0
!1!1!18
!20),1,1,18( 1118321 =×××==== XXXP 
 
 
Distribuição de Poisson 
 
)(λPoissonX → 
 
X : número de ocorrências de fenómenos aleatórios por unidade de tempo, em que λ é o 
número médio dessas ocorrências por unidade de tempo. 
 
K,1,0,!
)( ===
−
x
x
exXP
xλλ
 λ
λ
=
=
)(
)(
XV
XE
 
 
Exercício: 
 
A procura diária para certo artigo na loja A segue uma distribuição de Poisson. Sabendo 
que a procura média diária é de 3 produtos e que o stock diário é mantido em 6 unidades, 
calcule: 
 
a) a probabilidade de num dia serem procurados pelo menos dois produtos; 
b) a probabilidade de se registar uma ruptura de stock; 
c) o número esperado de clientes que fica por satisfazer; 
d) o novo stock diário a assegurar de modo que a probabilidade de ruptura seja no 
máximo de 0.004. 
 
Resolução: 
 
a) Distribuição de Poisson 
Caso Geral: 
X : número de ocorrências de fenómenos aleatórios por unidade de tempo, em 
que λ é o número médio dessas ocorrências por unidade de tempo. 
Caso Particular: 
X : procura do produto por dia, em que λ é o número médio de produtos 
procurados por dia. 
 
X – número de produtos procurados diariamente na loja A 
λ = 3 
!
3)(
3
x
exXP
x−
== 
[ ] 8.0)15.005.0(1)1()0(1)2(1)2( =+−==+=−=<−=≥ XPXPXPXP 
b) Ruptura de stock = procura superior ao stock existente (6) [ ] 0335.0)6()0(1)6(1)6( ==++=−=≤−=> XPXPXPXP K 
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c) X’ : número de clientes que ficam por satisfazer num dia 
E(X’) = somatório do número de clientes por satisfazer vezes a probabilidade desse 
número ficarem insatisfeitos. 
0507.0
!
3)6(63
)()6(6)(66)()(
)(16)()(
)(6)()()6(
)8(2)7(1)6(0)'(
6
0
3
6
0
6
0
6
0
6
0
6
00
777
210
=⋅−+−=
==⋅−+−==⋅+−=⋅−=


 =−⋅−=⋅−=⋅=
==−=⋅==⋅−=
=+=×+=×+≤×=
∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
=
−
===
==
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
x
x
xxx
xxx
xxx
satisfazerporclientessatisfazerporclientesatisfazerporclientes
x
ex
xXPxxXPxXPxXE
xXPxXPxxXPx
xXPxXPxxXPx
XPXPXPXE
λ
K43421434214434421
 
d) S : novo stock assegurar 
996.0004.019962.00081.09881.0)8()7()8(8
9881.00216.09665.0)7()6()7(7
9665.00335.01)6(1)6(6
=−>=+==+≤=≤→=
=+==+≤=≤→=
=−=>−=≤→=
XPXPXPS
XPXPXPS
XPXPS