Dirigido 1 Cálculo 1 16S1 Unicamp

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Estudo Dirigido 1 - MA111 A e B - 1S16
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Considere f uma func¸a˜o integra´vel no intervalo [a, b], e seja c ∈ (a, b).
Vamos trabalhar com a nova func¸a˜o, F , definida para cada x ∈ [a.b] como
F (x) =
∫ x
a
f =
∫ x
a
f(t) dt.
a) Explique por que na˜o devemos usar
∫ x
a
f(x) dx.
b) Comece pelo caso f(x) > 0 e h > 0. Nesse caso, mostre que
mhh ≤ F (c + h)− F (c) ≤Mhh,
onde mh = inf{f(x) : x ∈ [c, c + h]} e Mh = sup{f(x) : x ∈ [c, c + h]}.
c) Agora remova a hipo´tese h > 0 e mostre que
mh ≤ F (c + h)− F (c)
h
≤Mh.
d) Justifique que a hipo´tese f(x) > 0 pode ajudar a desenhar uma figura,
mas que na˜o e´ necessa´ria para o resultado.
e) Com o que ja´ temos, podemos falar algo sobre F ′(c)? E se supusermos
que f e´ cont´ınua em c?
f) Escreva o resultado que voceˆ acaba de demonstrar na forma de um
Teorema.
Se voceˆ fez tudo corretamente, esse e´ o Teorema Fundamental do Ca´lculo.
Compare com o
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