Prova de Cálculo I - Estágio 3 - Respondida

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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I PERÍODO: 2013.1TURNO: MANHÃPROFESSOR: Diogo de Santana Germano DATA: 16/09/2013
Respostas da AVALIAÇÃO 3
1. Neste caso, sendo s a distância entre a partícula e a origem temos
s(t) =√x2(t) + y2(t).
e, derivando em relação a t, vemdsdt = 12√x2 + y2
(2x dxdt + 2ydydt
) .
Sabemos que dxdt = −1 e dydt = −5. Então, quando a partícular passar por (5, 12)teremos dsdt = 12√52 + 122 (2 · 5 · (−1) + 2 · 12 · (−5)) = −5 m/s.2. A área de um quadrado descrito no problema (veja figura) com base medindo x ealtura y = −2x + 100 é
A(x) = x(−2x + 100) = −2x2 + 100x, 0 ≤ x ≤ 50.
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Como A é uma função diferenciável em x , temos
A′(x) = −4x + 100
e, A′(x) = 0 implica −4x + 100 = 0, ou seja, x = 25 que é um valor crítico paraA. Note que A(0) = A(50) = 0. Como a função é uma parábola com concavidadevoltada para baixo, teremos um máximo absoluto em x = 25, dado por
A(25) = 25(−2 · 25 + 100) = 25 · 50 = 1250
que é a área do maior retângulo possível satisfazendo as condições dadas.
3. (a) A função f é diferenciável em todos os reais e f ′(x) = 4x3 − 8x2. De f ′(x) = 0,obtemos
4x3 − 8x2 = 0⇒ 4x2(x − 2) = 0⇒ x = 0 ou x = 2
ou seja, x = 0 e x = 2 são os pontos críticos de f . Sendo f ′′(x) = 12x2 − 16x ,temos f ′′(0) = 0 e f ′′(2) = 12 · 4− 16 · 2 = 16 > 0.Neste caso, pelo teste da derivada segunda temos um mínimo relativo em x = 2;em x = 0 este teste é inconclusivo. Mas, analisando o sinal de f ′(x) = 4x2(x−2)concluimos f ′(x) < 0 em (−∞, 0)e f ′(x) < 0 em (0, 2)isto é, pelo teste da derivada primeira a função não possui extremo em x = 0.(b) Analisando o sinal de f ′(x) = 4x2(x − 2) obtemos• Para x < 0 , f ′(x) < 0, ou seja, f é decrescente em (−∞, 0);• Para 0 < x < 2 , f ′(x) < 0, ou seja, f é decrescente em (0, 2);• Para x > 2 , f ′(x) > 0, ou seja, f é crescente em (2,∞).(c) Para a concavidade, consideremos f ′′(x) = 0, ou seja,
12x2 − 16x = 0⇒ 4x(3x − 4) = 0⇒ x = 0 ou x = 4/3.
Neste caso, analisando o sinal de f ′′(x) = 12x2 − 16x = 12x (x − 43), obtemos• Para x < 0 , f ′′(x) > 0, ou seja, f possui concavidade para cima em(−∞, 0);• Para 0 < x < 4/3 , f ′′(x) < 0, ou seja, f possui concavidade para baixoem (0, 4/3);• Para x > 4/3 , f ′′(x) > 0, ou seja, f possui concavidade para cima em(4/3,∞).Logo, como houve mudança de concavidade em x = 0 e x = 4/3 nestes valorestemos pontos de inflexão.(d) Da análise feita nos itens anteriores temos
f (2) = 24 − 8 · 233 = −163 ⇒
(2,−163
) mínimo local.
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f (0) = 04 − 8 · 03 = 0⇒ (0, 0) ponto de inflexão.f (43
) = (43
)− 8(43 )33 = −25681 ⇒
(43 ,−25681
) ponto de inflexão.
Segue o gráfico:
4. (a) Fazendo u = x2 + 3 temos du = 2xdx , isto é, du2 = xdx . Logo,∫ xdxx2 + 3 = 12
∫ duu = 12 lnu+ C = 12 ln(x2 + 3) + CPortanto, ∫ 1
0
xdxx2 + 3 = 12 ln(x2 + 3)
∣∣∣∣10 = 12 [ln 4− ln 3]= ln 2− ln√3 = ln 2√3 .
(b) Fazendo u = x2 temos du = 2xdx , isto é, du2 = xdx . Logo,∫ x2x2dx = 12
∫ 2udu = 12 2uln 2 = 2x22 ln 2 .Portanto, ∫ 1
0 x2x2dx = 2x
22 ln 2
∣∣∣∣∣
1
0 = 22 ln 2 − 12 ln 2= 12 ln 2 = 1ln 4 .(c) Fazendo u = sen x temos du = cos xdx . Logo,∫ cot xdx = ∫ cos xsen x dx =
∫ duu = ln |u|+ C = ln | sen x|+ C.5. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, temosddx
∫ x4
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3√sen tdt = [ 3√sen x4] dx4dx = 4x3 3√sen x4.
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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I PERÍODO: 2013.1TURNO: TARDEPROFESSOR: Diogo de Santana Germano DATA: 16/09/2013
Respostas da AVALIAÇÃO 3
1. Neste caso, sendo x(t) e y(t) o afastamento vertical e horizontal, respectivamente,temos x2(t) + y2(t) = 25
e, derivando em relação a t, vem
2x dxdt + 2ydydt = 0⇒ dxdt = −yx .
Sabemos que dydt = −2 (a escada está descendo) e quando y = 3 segue do teoremado Pitágoras na figura que x = 4. Então,dxdt = −34(−2) = 32 m/s.
2. O volume da piscina descrita no problema (veja figura) com diâmetro da base medindo2r e altura h é V = pir2h. Daí
pir2h = 125pi ⇒ h = 125r2 .
Seja A a área da superfície da piscina. Temos
A = pir2 + 2pirh
e substituindo h na equação acima, vem
A(r) = pir2 + 2pir125r2 = pir2 + 150pir = pi
(r2 + 250r
)
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ou seja, temos a função A(r) = pi (r2 + 250r ), r > 0 diferenciável em r. Derivando,
A′(r) = pi(2r − 250r2
) = pi2r3 − 250r2
e, A′(x) = 0 implica 2r3 − 250 = 0, ou seja, r = 5 que é um valor crítico para A(r = 0 seria outro valor crítico; porém este não pertence ao domínio de A). Agora,vamos usar o teste da derivada segunda para saber se este valor é de máximo oumínimo. Temos A′′(r) = pi(2 + 500r3
)⇒ A′′(5) > 0
ou seja, este valor de r = 5 é de mínimo. Logo, o raio e a altura procurados são
r = 5 e h = 12552 = 5.
3. (a) A função f é diferenciável em todos os reais e f ′(x) = 3x2−4x+1. De f ′(x) = 0,obtemos 3x2 − 4x + 1 = 0⇒ x = 1/3 ou x = 1ou seja, x = 1/3 e x = 1 são os pontos críticos de f . Sendo f ′′(x) = 6x − 4,temos f ′′(1/3) = 6 · 13 − 4 = −2 < 0 e f ′′(1) = 2 > 0.Neste caso, pelo teste da derivada segunda temos um máximo relativo emx = 1/3 e um mínimo relativo em x = 1.(b) Analisando o sinal de f ′(x) = 3x2 − 4x + 1 = 3(x − 1/3)(x − 1) obtemos• Para x < 1/3 , f ′(x) > 0, ou seja, f é crescente em (−∞, 1/3);• Para 1/3 < x < 1 , f ′(x) < 0, ou seja, f é decrescente em (1/3, 1);• Para x > 1 , f ′(x) > 0, ou seja, f é crescente em (1,∞).(c) Para a concavidade, consideremos f ′′(x) = 0, ou seja,
6x − 4 = 0⇒ 6x = 4⇒ x = 2/3
Neste caso, analisando o sinal de f ′′(x) = 6x − 4 = 6(x − 2/3), obtemos• Para x < 2/3 , f ′′(x) < 0, ou seja, f possui concavidade para baixo em(−∞, 2/3);• Para x > 2/3 , f ′′(x) > 0, ou seja, f possui concavidade para cima em(2/3,∞).
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Logo, como houve mudança de concavidade em x = 2/3 neste valor temos umponto de inflexão.(d) Da análise feita nos itens anteriores temos
f (13
) = (13
)3 − 2(13
)2 + 13 = 427 ⇒
(13 , 427
) máximo local.
f (23
) = (23
)3 − 2(23
)2 + 23 = 227 ⇒
(23 , 227
) ponto de inflexão.
f (1) = 13 − 2 · 1 + 1 = 0⇒ (1, 0) mínimo local.
f (0) = 0⇒ (0, 0) pertence ao gráfico.Segue o gráfico:
4. (a) Temos∫ ( 1√x + x
√x3
)dx = ∫ (x−1/2 + x3/23
)dx = x− 12+1−12 + 1 + 13 · x
32+132 + 1 + C= x1/21/2 + 13 · x5/25/2 + C = 2x1/2 + 215x5/2 + C= 2√x + 215x2√x + C = 215√x(15 + x2) + CPortanto,∫ 4
1
( 1√x + x
√x3
)dx = 215√x(15 + x2)
∣∣∣∣41 = 215√4(15 + 42)− 215√1(15 + 12)= 12415 − 3215 = 9215 .
(b) Fazendo u = ln x temos du = 1x dx . Logo,∫ sen(ln x)x dx =
∫ senudu = − cosu+ C = − cos(ln x) + C.
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(c) Fazendo u = 2x temos du = 2dx , isto é, du2 = dx . Logo,∫ cos 2xdx = 12
∫ cosudu = 12 senu+ C = 12 sen 2x + C.
Logo, ∫ pi4
0 cos(2x)dx = 12 sen 2x
∣∣∣∣ pi40 = 12
[sen 2pi4 − sen 2 · 0
]
= sen 12 [pi2 − sen 0] = 12 − 0 = 12 .
5. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, temos
ddx
∫ ex2
0
√1 + tdt = [√1 + ex2] dex2dx = 2xex2√1 + ex2.
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