Aula_14_Transformação Linear

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8/10/2013
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Professora: Jossana Ferreira
Transformação LinearTransformação Linear
Introdução
•Transformações lineares
•Definição
•Núcleo
•Imagem
•Definição
•Relação entre espaços vetoriais
•Preservação de operações*
•Aplicação linear ou Mapa linear
•Definição
•Considerando funções da forma w=F(x)
•x : um vetor em V
•w : variável dependente e vetor em W
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•Definição
•A função é dita uma transformação linear 
T:V →W se satisfizer as seguintes condições:
i) F(x1 + x2) = F(x1)+ F(x2)
ii) F(λ.x1) = λ.F(x1)
Onde:
x1 e x2= elementos quaisquer de V
λ = constante.
•Notação
•Uma transformação T de um espaço vetorial V em 
um espaço vetorial W será denotada por 
T: V →W
onde 
T(v)=w,
sendo v um elemento de V e w um elemento de 
W.
•Exemplos
•T:ℜ→ℜ
•T(x)=k.x 
•T:ℜ2→ℜ3
•T(x,y)=(3x,-2y,x-y)
•T: ℜ4→ ℜ2
•T(x,y,z,w)=(x+y,y+z-w)
•T: ℜ5→ ℜ
•T(x,y,z,w,s)=(x+y-z+w-s)
•Exemplo
1. Explique se T:ℜ→ℜ, 
T(x)= 8x, é uma transformação linear
2. Explique se T: ℜ2→ℜ3 , 
T(x,y)=(3x,-2y,x-y), é uma transformação linear.
3. Explique se T: ℜ4→ℜ2 , 
T(x,y,z,w)=(x+y+1,z-w), é uma transformação 
linear.
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•Observação
•Em toda transformação linear T:V→W, tem-se 
que T(0)=0.
•T(-u)= -T(u)
•T(u - v)=T(u) – T(v)
•Princípio da superposição
•Se T:V→W é uma transformação linear, 
{v1,v2,...,vn} é base de V e λ1, λ2,..., λn
pertencem a ℜ, então:
T(λ1 v1+ λ2 v2+... λn vn)= 
λ1 T(v1)+ λ2 T(v2)+…+ λnT(vn)
•Núcleo •Núcleo
•Seja T:V→W
•Núcleo de uma transformação linear : 
vetores de V tal que T(v)=0. 
•Kernel de uma transformação linear.
•N(T)=Ker(T)={v∈ V; T(v)=0}
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•Propriedade do Núcleo
•Seja T:V→W uma transformação linear, então 
N(T) é um subespaço vetorial de V.
•Imagem
•Imagem
•Seja T:V→W
•Imagem de uma transformação linear: conjunto 
de vetores w ∈W que são imagens de pelo 
menos um vetor v ∈ V.
•Im(T)= {w ∈W; T(v)=w, para algum v ∈ V}
•Teorema
•Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita 
e T:U→V uma transformação linear, tem-se:
dim(U) = dim(N(T)) + dim(Im(T))
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•Exemplo
1. Encontre o núcleo e a dimensão da imagem da 
transformação linear T: ℜ3→ℜ3 , onde 
T(x,y,z)=(x-y+2z , 2x+y-z , 3x+z).
•Exemplo
1. Seja T: ℜ3→ℜ2 uma transformação linear e 
B={v1,v2,v3} uma base do ℜ3 , onde v1=(0,1,0), 
v2=(1,0,1) e v3=(1,1,0); determine T(V) sabendo 
que 
V=(5,3,-2), T(v1)=(1,-2),T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2).
•Exemplo
2. Encontre, caso exista, T: ℜ2→ℜ3 tal que 
T(1,1)=(3,-2,1) e T(0,-2)=(0,1,0).
•Exercício 1: Encontre o núcleo e a imagem da 
transformação T:M22→M22, 
•Exercício 2: Encontre a regra para a 
transformação linear sabendo que G, H e J 
formam uma base do P2.






−
−
=













bb
aa
dc
ba
T
12,2,1 22 −=−=+= xJxxHxG
2)(,5)(,2)( 222 −=+−=+= xJTxHTxGT
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IMPORTANTE
•Entender quando uma transformação é dita linear
•Saber utilizar e entender as definições de Núcleo e 
Imagem, assim como suas propriedades
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