Cálculo - Lista Integração por Partes

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Universidade Federal de Goiás Prof: Maxwell Dis
iplina: Cál
ulo I
Instituto de Matemáti
a e Estatísti
a Gyn, 26/10/15 Turma: Físi
a
LISTA 13�INTEGRAÇ�O POR PARTES∫
u dv = u v −
∫
v du
Exemplo 1: Cal
ule
∫
lnx dx.
solução: Seja I =
∫
1 · ln(x) dx. =
∫
ln (x)︸ ︷︷ ︸
u
· 1dx︸︷︷︸
dv
. Se �zermos


u = lnx
e
dv = 1dx
, obtemos


du = 1
x
· dx
e
v = x
Portanto,
I =
∫
lnx dx =
∫
lnx 1 · dx = u = ln (x) x−
∫
x
1
x
dx = x ln x−
∫
1 dx = x lnx− x+ c
Exemplo 2: Cal
ule
∫
x lnx dx
solução: Seja I =
∫
xln(x) dx. Se �zermos


u = lnx
e
dv = xdx
, obtemos


du = 1
x
· dx
e
v = x
2
2
Portanto, I =
∫
ln (x) xdx = ln (x)︸ ︷︷ ︸
u
(
x2
2
)
︸ ︷︷ ︸
v
−
∫
x2
2︸︷︷︸
v
1
x
dx︸︷︷︸
du
⇒ I =
x2
2
lnx−
∫
x
2
dx ⇒ I =
x2
2
lnx−
x2
4
+ c
Exemplo 3: Cal
ule
∫
x cosx dx.
solução: Seja I =
∫
x︸︷︷︸
u
cos(x)dx︸ ︷︷ ︸
dv
. Se �zermos


u = x
e
dv = cos(x)dx
, obtemos


du = 1 · dx
e
v = sen(x)
Portanto, I =
∫
x cos(x) dx = x︸︷︷︸
u
sen(x)︸ ︷︷ ︸
v
−
∫
sen(x)︸ ︷︷ ︸
v
1 · dx︸ ︷︷ ︸
du
⇒ I = xsen(x)−
∫
sen(x) dx⇒ I = xsen(x) + cos(x) + c
1) Agora que vo
ê já aprendeu 
omo fun
iona a integração por partes, resolva os exer
í
ios abaixo!
a)
∫
x sen(x) dx b)
∫
xex dx 
)
∫
ln(x)
x2
dx (di
a: faça u = ln(x))
d)
∫
x2e3x dx (di
a: use integração por partes 2 vezes) e)
∫
e−t cos(t) dt (di
a: use integração por partes 2 vezes)
f)
∫
e2tsen(3t) dt (di
a: use integração por partes 2 vezes) g)
∫
y2sen(y) dy (di
a: use integração por partes 2 vezes)
2) En
ontre fórmulas re
ursivas para In onde;
a) In =
∫
xnex dx b) In =
∫
xn cos(x) dx 
) In =
∫
xn sin(x) dx
d) In =
∫
xn ln(x) dx e) In =
∫
sinn(x) dx f)In =
∫
cosn(x) dx g)In =
∫
lnn(x) dx
3) Considere a seguinte integral: In =
∫
1
(x2 + 1)n
dx.
a) Fazendo u =
1
(x2 + 1)n
e dv = 1dx , obtenha uma relação do tipo In = A(x)−B(n) In+1+C(n) In. DICA: x2 = (x2+1)−1
b) En
ontre a fórmula re
ursiva para In.
1