Método Simpson

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Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
Seja. . Considere a subdivisão do intervalo [a, b]
em n subintervalos.
I=∫a
b
f x dx
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
Seja. . Considere a subdivisão do intervalo [a, b]
em n subintervalos.
I=∫a
b
f x dx
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
Seja. . Considere a subdivisão do intervalo [a, b]
em n subintervalos.
I=∫a
b
f x dx
I i=∫x i−1
x i1
f x dx
f(x)
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
O método de Simpson consiste em aproximar a função f(x) no
intervalo [x
i-1
, x
i+1
] pelo polinômio interpolador de grau 2 que
passa pelos pontos (x
i-1
, f
i-1
), (x
i
, f
i
) e (x
i+1
, f
i+1
).
f(x)
P
2
(x)
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
O método de Simpson consiste em aproximar a função f(x) no
intervalo [x
i-1
, x
i+1
] pelo polinômio interpolador de grau 2 que
passa pelos pontos (x
i-1
, f
i-1
), (x
i
, f
i
) e (x
i+1
, f
i+1
).
P
2
(x)
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
O método de Simpson consiste em aproximar a função f(x) no
intervalo [x
i-1
, x
i+1
] pelo polinômio interpolador de grau 2 que
passa pelos pontos (x
i-1
, f
i-1
), (x
i
, f
i
) e (x
i+1
, f
i+1
).
P
2
(x)
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
O método de Simpson consiste em aproximar a função f(x) no
intervalo [x
i-1
, x
i+1
] pelo polinômio interpolador de grau 2 que
passa pelos pontos (x
i-1
, f
i-1
), (x
i
, f
i
) e (x
i+1
, f
i+1
).
P
2
(x)
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
Determinar P
2
(x) via Lagrange
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
P
2
(x)
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
Determinação de P
2
(x) via Lagrange
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
P
2
(x)
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
Determinação de P
2
(x) via Lagrange
 * Pontos onde f(x) é conhecida:
 (x
i-1
, f
i-1
), (x
i
, f
i
) e (x
i+1
, f
i+1
)
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
P
2
(x)
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
Determinação de P
2
(x) via Lagrange
 * Pontos onde f(x) é conhecida:
 (x
i-1
, f
i-1
), (x
i
, f
i
) e (x
i+1
, f
i+1
)
P2 x=f i−1
 x−xi x−xi1
 xi−1−x xi xi−1−xi1
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
P
2
(x)
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
Determinação de P
2
(x) via Lagrange
 * Pontos onde f(x) é conhecida:
 (x
i-1
, f
i-1
), (x
i
, f
i
) e (x
i+1
, f
i+1
)
P2 x=f i−1
 x−xi x−xi1
 xi−1−x xi xi−1−xi1
f i
x−xi−1 x−x i1
 xi−xi−1 xi−xi1
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
P
2
(x)
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
Determinação de P
2
(x) via Lagrange
 * Pontos onde f(x) é conhecida:
 (x
i-1
, f
i-1
), (x
i
, f
i
) e (x
i+1
, f
i+1
)
P2 x=f i−1
 x−xi x−xi1
 xi−1−x xi xi−1−xi1
f i
x−xi−1 x−x i1
 xi−xi−1 xi−xi1
f i1
x−xi−1 x−x i
 xi1−xi−1 xi1−xi
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
∫x i−1
x i1
P2 x dx=∫x i−1
x i1
f i−1
x−x ix−x i1
xi−1−xxixi−1−xi1
dx
∫x i−1
x i1
f i
x−xi−1 x−xi1
xi−xi−1 xi−xi1
dx
∫x i−1
x i1
f i1
 x−xi−1x−xi
xi1−xi−1xi1−xi
dx
+
+
Fazendo as devidas mudanças de variáveis e integrações tem-se
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx=
h
3
 f i−14f if i1
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
∫x i−1
x i1
P2 xdx=∫x i−1
x i1
f i−1
 x−xix−xi1
x i−1−xx ix i−1−xi1
dx
∫x i−1
x i1
f i
x−xi−1 x−xi1
xi−xi−1 xi−xi1
dx
∫x i−1
x i1
f i1
 x−xi−1x−xi
xi1−xi−1xi1−xi
dx
+
+
Fazendo as devidas mudanças de variáveis e integrações tem-se
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx=
h
3
 f i−14f if i1
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx
∫x i−1
x i1
P2 xdx=∫x i−1
x i1
f i−1
 x−xix−xi1
x i−1−xx ix i−1−xi1
dx
∫x i−1
x i1
f i
x−xi−1 x−xi1
xi−xi−1 xi−xi1
dx
∫x i−1
x i1
f i1
 x−xi−1x−xi
xi1−xi−1xi1−xi
dx
+
+
Fazendo as devidas mudanças de variáveis e integrações tem-se
I i≈ I i
S=∫x i−1
x i1
P2x dx=
h
3
 f i−14f if i1
Regra 1/3 
de Simpson
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
I≈∫a
b
P2x dx=
h
3
 f 04f1f 2
Regra 1/3 de Simpson – Regra de Simpson Simples
* 1 intervalo [a, b]
* Conhecidos 3 pontos, utiliza-se P
2
(x) para 
 aproximar f(x) no intervalo [a, b]
f(x)
a = x
0
b = x
2
 x
1
P
2
(x)
h h
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
I≈∫a
b
P2x dx=
h
3
 f 0f m4  f 1f 3...f m−12 f 2f 4... f m−2
Regra 1/3 de Simpson Composta (Repetida)
* n intervalos entre [a, b]. 
* Conhecidos 3 pontos em cada intervalo,
 utiliza-se P
2
(x) para aproximar f(x) neste
 intervalo
f(x)
a = x
0
b = x
m
 x
1
h
 x
2
 x
3
 x
5
 x
6
 x
m-1
 x
4
 x
m-2
hhhhhhh
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
I≈∫a
b
P3 x dx=
3h
8
 f 03f13 f 2f 3
Regra 3/8 de Simpson Simples
* 1 intervalo [a, b]
* Conhecidos 4 pontos, utiliza-se P
3
(x) para 
 aproximar f(x) no intervalo [a, b]
f(x)
a = x
0
b = x
2
 x
1
P
3
(x)
 x
1
hhh
 
Método de Simpson
Métodos Numéricos - Integração
I≈∫x0
xm
P2x dx=
3h
8
 f 0 f m3f13f22f33f43f52f6...2fm−33fm−23fm−1
* n intervalos entre [a, b]
* Conhecidos 4 pontos, utiliza-se P
3
(x) para 
 aproximar f(x) em cada intervalo
Regra 3/8 de Simpson Composta
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