Aula 02 Subconjuntos do Rn

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 02
Assunto:Os espaços Rn, Operações no Rn, Sistemas de coordenadas retangulares tridimensi-
onais
Palavras-chaves: Espaço, operações, pontos, sistemas de coordenadas.
Os espaços Rn (continuação)
O último assunto ministrado na aula passada foi a interpretação geométrica do R,R2 e R3. Vamos agora
ver o espaço R4.
O espaço R4 é definido como
R4 = {(x1, x2, x3, x4);x1, x2, x3, x4 ∈ R}
R4 e a planolândia
• Habitantes da planolândia
• A esfera visita o quadrado
• A esfera tenta entrar na planolândia
• A esfera leva o quadrado para o mundo tridimensional
• O quadrado fala de sua "viagem"e é incompreendido
2
• A fuga do quadrado com a ajuda da esfera
• O hipercubo
3
Distância entre pontos
No R2
Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) pontos do R2. A distância entre P1 e P2 é dada por
d2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ⇒ d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Portanto,
d(P1, P2) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Denotaremos por d(P1, P2) ou |P1P2| a distância entre P1 e P2
No R3
Sejam P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2) pontos do R3. A distância entre P1 e P2 é dada por
D2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 ⇒ D =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
4
Portanto,
D(P1, P2) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
No Rn
Sejam P1 = (x1, x2, ..., xn) e P2 = (y1, y2, ..., yn) pontos do Rn. A distância entre P1 e P2 é dada por
d(P1, P2) =
√
(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + ...+ (yn − xn)2
Equação da circunferência (no R2)
Seja a figura abaixo a circunferência de centro c = (x0, y0) e raio r.
5
Seja P = (x, y) um ponto genérico da circunferência. Logo
d(P, c) = r
Assim, teremos que
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r ⇔ (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2
Casos Particulares
• Circunferência de centro na origem e raio r
x2 + y2 = r
• Circunferência de centro na origem e raio 1
x2 + y2 = 1
6
Equação da esfera (no R3)
Seja a figura abaixo a esfera de centro c = (x0, y0, z0) e raio r.
Seja P = (x, y, z) um ponto genérico da circunferência. Logo
d(P, c) = r
Assim, teremos que
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r ⇔ (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2
Casos Particulares
• Esfera de centro na origem e raio r
x2 + y2 + z2 = r
• Esfera de centro na origem e raio 1
x2 + y2 + z2 = 1
7
Exemplo 1 Mostre que x2+y2+z2+4x−6y+2z+6 = 0 é a equação de uma esfera e encontre seu centro e raio.
Resolução:
Temos que,
x2 + y2 + z2 + 4x− 6y + 2z + 6 = 0
x2 + y2 + z2 + 4x− 6y + 2z = −6
x2 + 2.2x+ 22 + y2 − 2.3y + 32 + z2 + 2.1.z + 12 = −6 + 22 + 32 + 12
(x+ 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = −6 + 4 + 9 + 1
(x− (−2))2 + (y − 3)2 + (z − (−1))2 = 8
(x− (−2))2 + (y − 3)2 + (z − (−1))2 = (
√
8)2
A equação dada é de uma esfera de centro (−2, 3,−1) e raio √8 = 2√2.
Exemplo 2 Que região do R3 é representada pelas seguintes inequações
1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4
Resolução:
Temos que,
1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4⇔
√
1 ≤
√
x2 + y2 + z2 ≤
√
4⇒ 1 ≤ d((x, y, z), (0, 0, 0)) ≤ 2
Portanto, as inequações representam o conjunto
8
{(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ d((x, y, z), (0, 0, 0)) ≤ 2}
o qual é o conjunto dos pontos do R3 que distam da origem pelo menos 1 e, no máximo, 2.
Exemplo 3 Qual a região do R3 é representada pelo seguinte sistema de inequações?
{
1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4
z ≤ 0
Resolução:
O conjunto dos pontos do R3 representado por esse sistema de inequações é, na verdade, um subconjunto
do conjunto do exemplo anterior que é constituído pelos pontos deste que se encontram abaixo do plano xy e
sobre o mesmo.
9
Exemplo 4 Esboce o subconjunto do R3 representado pelo seguinte sistema de equações
{
x2 + y2 = 1
z = 0
Resolução:
O conjunto é dado por
{(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 = 1 e z = 0}
10
Exemplo 5 Idem para
{
x2 + y2 = 1
z = 3
Resolução:
Exemplo 6 Idem para
{
x2 + y2 = 1
0 ≤ z ≤ 3
Resolução:
11
Exemplo 7 Idem para x2 + y2 = 1
Resolução:
O subconjunto do R3 representado pela equação x2 + y2 = 1 é dado por
{(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 = 1 e z ∈ R} = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 = 1}
12