4. Se considera el espacio vectorial real usual Rn (n ≥ 2) . Analizar en cada caso si los siguientes subconjuntos de Rn son o no subespacios. 1) F1...

Vamos analisar cada um dos subconjuntos de Rn para determinar se são ou não subespaços: 1) F1 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1x2 = 0} Para verificar se F1 é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições para ser um subespaço: contém o vetor nulo, é fechado sob a adição e é fechado sob a multiplicação por escalar. - O vetor nulo (0, . . . , 0) pertence a F1, pois 0 * 0 = 0. - No entanto, F1 não é fechado sob a adição, pois se considerarmos dois vetores (1, 1, . . . , 1) e (0, 1, . . . , 1), a soma deles (1, 2, . . . , 2) não pertence a F1, já que 1 * 2 ≠ 0. Portanto, F1 não é um subespaço de Rn. 2) F2 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 + . . .+ xn = 1} Para verificar se F2 é um subespaço, novamente precisamos verificar as três condições. - O vetor nulo (0, . . . , 0) não pertence a F2, pois 0 + . . . + 0 ≠ 1. - F2 é fechado sob a adição, pois se considerarmos dois vetores (x1, . . . , xn) e (y1, . . . , yn) em F2, a soma deles (x1 + y1, . . . , xn + yn) também pertence a F2, já que (x1 + y1) + . . . + (xn + yn) = (x1 + . . . + xn) + (y1 + . . . + yn) = 1 + 1 = 2. - F2 é fechado sob a multiplicação por escalar, pois se considerarmos um vetor (x1, . . . , xn) em F2 e um escalar c, o vetor resultante (cx1, . . . , cxn) também pertence a F2, já que c(x1 + . . . + xn) = c(1) = c. Portanto, F2 é um subespaço de Rn. 3) F3 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 + . . .+ xn = 0} Da mesma forma, vamos verificar as três condições para F3. - O vetor nulo (0, . . . , 0) pertence a F3, pois 0 + . . . + 0 = 0. - F3 é fechado sob a adição, pois se considerarmos dois vetores (x1, . . . , xn) e (y1, . . . , yn) em F3, a soma deles (x1 + y1, . . . , xn + yn) também pertence a F3, já que (x1 + y1) + . . . + (xn + yn) = (x1 + . . . + xn) + (y1 + . . . + yn) = 0 + 0 = 0. - F3 é fechado sob a multiplicação por escalar, pois se considerarmos um vetor (x1, . . . , xn) em F3 e um escalar c, o vetor resultante (cx1, . . . , cxn) também pertence a F3, já que c(x1 + . . . + xn) = c(0) = 0. Portanto, F3 é um subespaço de Rn. 4) F4 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 ∈ Z} Para verificar se F4 é um subespaço, novamente vamos verificar as três condições. - O vetor nulo (0, . . . , 0) pertence a F4, pois 0 ∈ Z. - F4 não é fechado sob a adição, pois se considerarmos dois vetores (1, . . . , 1) e (0, . . . , 0), a soma deles (1, . . . , 1) não pertence a F4, já que 1 ∉ Z. - F4 é fechado sob a multiplicação por escalar, pois se considerarmos um vetor (x1, . . . , xn) em F4 e um escalar c, o vetor resultante (cx1, . . . , cxn) também pertence a F4, já que cx1 ∈ Z. Portanto, F4 não é um subespaço de Rn. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.