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Universidade Federal Rural do Semi-Árido Departamento de Ciências Exatas e Naturais Disciplina: Álgebra Linear Período: 2013.2 Prof a : Suene Campos Lista 1: Espaços Vetoriais 1. Seja V = {(x, y) ∈ R2| y ≥ 0}, com as operações usuais do R2. É o conjunto V um espaço vetorial? 2. Com relação às operações (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, yy′) e λ(x, y) = (λx, λy), seria o R2 um espaço vetorial sobre R? 3. Verifique se V = {(x, y) ∈ R2| x, y ∈ R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar dadas por: (a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); α(x, y) = (x, αy). (b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1); α(x, y) = (αx, αy). (c) (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y2,−x2 + y1); α(x, y) = (x, αy). (d) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 − 1, y1 + y2 − 1); α(x, y) = (αx− α+ 1, αy − α+ 1). 4. Seja V = {x ∈ R| x > 0} com as operações de adição e de multiplicação por escalares dadas por: x+ y = xy e α(x, y) = xα, α ∈ R Verifique que V é um espaço vetorial sobre R. 5. Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão. (a) Matrizes diagonais n× n (b) {( a a+ b a b ) : a, b ∈ R } . (c) V = {(a, a, ..., a) ∈ R; a ∈ R}. (d) {(1, a, b) : a, b ∈ R}. (e) A reta {(x, x+ 3);x ∈ R}. (f) {(a, 2a, 3a) : a ∈ R} 6. Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos: (a) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0} (b) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 | x é um número inteiro }. (c) V =M(2, 2) e S = {A ∈M(2, 2) | A é invertível }. (d) V = P3 e S = {p ∈ P3 | p(t) ≥ 0,∀t ∈ R}. (e) V = P e S = {p ∈ P | p(0) = 2p(1)}. 7. Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços. (a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x+ y = 0 e z − t = 0} (b) U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x+ y − t = 0 e z = 0} 8. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços deM(2, 2). Em caso afirmativo exiba geradores. (a) V = { ( a b c d ) com a, b, c, d ∈ R e b = c} (b) W = { ( a b c d ) com a, b, c, d ∈ R e b = c+ 1} 9. Mostre que W = {(x, y) ∈ R2 | (x− 1)(y − 1) = 1} não é um subespaço vetorial do R2. 1 10. Por que o subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y − z = 1} não é um subespaço vetorial? 11. Seria W = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1} um subespaço vetorial do R3? Por que? 12. Expresse o vetor v = (1, 1, 2,−1) como combinação linear dos vetores v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 0), v4 = (1, 0, 0, 1) 13. Identifique o subespaço W de M(2, 2) gerado pelo vetores v1 = ( 0 1 0 0 ) , v2 = ( 0 0 0 1 ) , v3 = ( 1 0 1 0 ) 14. Identifique o subespaço W do R3 gerado pelo conjunto S = {(1, 0, 0), (1, 0, 1)} 15. Encontre um conjunto gerador do subespaço W = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y + z = 0}. 16. Verifique que os vetores 1, 1− t, (1− t)2 e (1− t)3 geram o espaço P3. 17. Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se ad−bc = 0, mostre que eles são LD. Se ad−bc 6= 0, mostre que eles são LI. 18. Considere o subespaço do R4 S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)] • O vetor (2/3, 1,−1, 2) pertence a S? • O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? 19. Seja W o subespaço de M(2, 2) definido por W = {( 2a a+ 2b 0 a− b ) | a, b ∈ R } (a) ( 0 −2 0 1 ) ∈W? (b) ( 0 2 3 1 ) ∈W? 20. SejaW o subespaço deM(3, 2) gerado por 0 01 1 0 0 , 0 10 −1 1 0 e 0 10 0 0 0 . O vetor 0 23 4 5 0 pertence a W? 21. Quais são as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relação à base β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}? 22. Seja V =M(2, 2), e seja W o subespaço gerado por( 1 −5 −4 2 ) , ( 1 1 −1 5 ) , ( 2 −4 −5 7 ) , ( 1 −7 −5 1 ) Encontre uma base, e a dimensão de W . 23. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1, ) e v4 = (1, 0, 0, 0). (a) O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique. (b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual é a dimensão? (c) [v1, v2, v3, v4] = R4? Por que? 2 24. Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,−1, 1) e v3 = (1, 1, 1). [v1, v2, v3] = R3? Por que? 25. Seja W = [v1, v2, v3] o subespaço do R3, gerado pelos vetores v1 = (2, 1, 0), v2 = (−1, 0, 1), v3 = (1, 1, 1) (a) Determine uma base e a dimensão de W . (b) Determine o valor de λ para que o vetor v = (λ, 2,−2λ) pertença à W . 26. No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau ≤ 2, verifique se os vetores são LI ou LD. (a) p1(t) = 1 + 2t+ t 2, p2(t) = 2 + 4t+ 2t 2 . (b) p1(t) = t+ t 2, p2(t) = 2, p3(t) = 1 + 2t 2 . (c) p1(t) = 1 + t, p2(t) = 2 + t, p3(t) = 2t 2 . 27. Mostre que β = {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} é uma base do subespaço W = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0}. 28. Determine a dimensão do subespaço do R3 gerado pelo conjunto de vetores S = {(1, 0, 2), (0,−1, 2), (2, 1, 1), (2, 2, 2)} 29. Verifique se os vetores v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3, 2), v3 = (2, 5, 6, 4), v4 = (2, 6, 8, 5) formam uma base do R4. Se não, encontre a dimensão e uma base do subespaço gerado por eles. 30. Seja W = [v1, v2, v3, v4] o subespaço do R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0) (a) O vetor v = (2,−3, 2, 2) está em W? (b) Exiba uma base do espaço W? (c) W = R4 ou W é um subespaço próprio do R4. 31. Sejam W1 e W2 os subespaços do R3 dados por W1 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} e W2 = {(x, y, x− y) | x, y ∈ R} (a) Calcule dim(W1 ∩W2) e dim(W1 +W2). (b) O conjunto W1 ∪W2 é um subespaço vetorial do R3? Se for, qual a dimensão? 32. Considere os seguintes subespaços do R4: W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y = z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y − z + t = 0} Determine bases dos subespaçosW1,W2,W1∩W2 eW1+W2. É correto afirmar queW1+W2 = R4? 33. No espaço M(2, 2), considere os subespaços W1 = {( a b b a ) : a, b ∈ R } e W1 = {( x y x y ) : x, y ∈ R } (a) Determine bases de W1,W2,W1 ∩W2 e W1 +W2. (b) Exiba um vetor do espaço M(2, 2) que não pertença a W1 +W2. 34. (a) Dado o subespaço V1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y + z = 0} ache um subespaço V2 tal que R3 = V1 ⊕ V2. (b) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R3 tais que V1 + V2 = R3. A soma é direta? 3 35. Seja W = [v1, v2, v3] o subespaço de P2, gerado pelos vetores v1 = 1, v2 = 1− t+ t2 e v3 = 1− 2t+ 2t2 (a) Os vetores v1, v2 e v3 são LI ou LD? (b) Determine uma base e a dimensão de W . (c) Construa uma base de P2, da qual façam parte os vetores v1 e v2. 36. Mostre que R3 = [(1, 0, 0)]⊕ [(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0,−1)]. 37. Se W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + z = 0}, encontre um subespaço W2, de dimensão 1, tal que R3 =W1 ⊕W2. Por que dimW2 deve ser igual a 1? 38. Sejam β{(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {( √ 3, 1), ( √ 3,−1)} e β3 = {(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de R2. (a) Ache as matrizes de mudança de base: (i)[I]β1β (ii)[I] β β1 (iii)[I]β2β (iv)[I] β3 β (b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação à base: (i)β (i)β1 (iii)β2 (iv)β3 (c) As coordenadas de um vetor v em relação à base β1 são dadas por [v]β1 = ( 4 0 ) Quais são as coordenadas de v em relação à base: (i)β (ii)β2 (iii)β3 39. Se [I]α ′ α = 1 1 00 −1 1 1 0 −1 ache (a) [v]α onde [v]α′ = −12 3 (b) [v]α′ onde [v]α = −12 3 40. Em R3 considere as bases β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)} e β′ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (a) Encontre as matrizes de mudança de base [I]β ′ β e [I] β β′ e verifique que [I] β′ β [I] β β′ = I3 (b) Determine as coordenadas do vetor v = (1, 2,−1) nas bases β e β′. 41. No espaço dos polinômios P2 considere as bases β = {1, 1 + t, t2} e β′ = {2,−t, 1 + t2} (a) Encontre as matrizes de mudança de base [I]β ′ βe [I] β β′ e verifique que [I] β′ β [I] β β′ = I3 (b) Determine as coordenadas do vetor v = t2 + t− 2 nas bases β e β′. 42. Determine [v]β′ , sabendo que as coordenadas do vetor v do R3 na base β e a matriz de mudança [I]β ′ β são dadas por [v]β = −12 3 e [I]β′β = 1 1 00 −1 1 1 0 −1 4
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