Lista de Exercícios1_AL1 Álgebra Linear - Espaço Vetorial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Lista de Exerc´ıcios 1: A´lgebra Linear I Data: 28/01/2016
Professora: Adina Rocha
ESPAC¸OS VETORIAIS
1. Considere R2 com a operac¸a˜o multiplicac¸a˜o por um escalar usual e a adic¸a˜o definida por:
(a) (x, y) + (x′, y′) = (x+ y′, x′ + y),
(b) (x, y) + (x′, y′) = (xx′, yy′),
(c) (x, y) + (x′, y′) = (3x+ 3x′, 5y + 5y′).
Em cada item, verifique quais as propriedades de espac¸os vetorial continuam va´lidas e
quais sa˜o violadas.
2. Considere em R3 as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por um escalar λ ∈ R definidas,
respectivamente, por
(x1, y1, z1)⊕ (x2, y2, z2) = (x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2),
λ · (x1, y1, z1) = (λx1, λy1, λz1).
Verifique se (R3,⊕, ·) e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo R.
3. Seja V = {v ∈ R; v > 0} um conjunto com as seguintes operac¸o˜es:
u⊕ v = uv e α� v = vα
para u, v ∈ V e α ∈ R. Mostre que (V,⊕,�) e´ um espac¸o vetorial.
4. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V com as operac¸o˜es indicadas e´ um espac¸o
vetorial sobre R.
(a) V =
{(
a −b
b a
)
; a, b ∈ R
}
com as operac¸o˜es usuais de M2(R).
(b) V = C[x]n = {polinoˆmios com coeficientes complexos} com as operac¸oes usuais.
(c) V = R2, (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′), α(x, y) = (αx, 0).
(d) V = {f : R→ R; f(−x) = f(x), ∀x ∈ R} com as operac¸o˜es usuais de func¸o˜es.
(e) V = {(x, y) ∈ R2; 3x− 2y = 0} com as operac¸o˜es usuais de R2.
(f) V = {(x, y, z, w) ∈ R4; y = x, z = w2} com as operac¸o˜es usuais de R4.
5. Prove que todo espac¸o vetorial sobre C tambe´m e´ um espac¸o vetorial sobre R.
6. Sejam I o conjunto formado pelos nu´meros inrracionais e Q o conjunto formado pelos
nu´meros racionais. Verifique se I e Q, com as operac¸o˜es usuais de R, sa˜o espac¸os vetoriais
sobre o corpo R.
7. Verifique se o conjunto V = {(x, x2) ∈ R2} com as operac¸o˜es
(x, x2)⊕ (y, y2) = (x+ y, (x+ y)2) e α� (x, x2) = (αx, α2x2)
e´ um espac¸o vetorial sobre R.