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Resolução de Sistemas de Equações Lineares Métodos Diretos e Iterativos Prof. Gilson de Souza Santos Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 2 Introdução É definido como um conjunto “m” de equações que contêm “n” incógnitas, geralmente escrito na forma: Pode ser escrito em forma matricial: A.x=B “Sistemas de equações lineares são equações que devem ser satisfeitas simultaneamente” A é a matriz dos coeficientes; • x é o vetor de incógnitas; • b é o vetor de constantes. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 3 Introdução ou, em sua forma de matriz estendida: Já a matriz é uma solução para o sistema de equações se, para cada xi=xi, tem-se uma identidade numérica para o sistema A.x=B. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 4 Características Um sistema de equações algébricas lineares é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula, isto é, os bj=0. Um sistema de equações algébricas lineares é dito compatível, quando apresenta uma solução, e dito incompatível, quando não apresenta solução. (Neste curso, estudaremos os sistemas de equações compatíveis, que poderão se homogêneos ou não.) Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 5 Características Um sistema de equações é dito triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem nulos, ou seja: E triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal forem nulos, ou seja: Os sistemas triangulares têm solução trivial se os elementos da diagonal principal forem diferentes de zero. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 6 Equações lineares A resolução de um sistema linear, consiste no cálculo dos valores de xj, (j=1,...,n), caso eles existam e que eles satisfaçam as m equações simultaneamente. Usando-se a notação matricial, o sistema linear pode ser assim representado: Ax=b onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das variáveis e b é o vetor constante. Então, resolver o sistema linear Ax = b consiste em “dado b m obter, caso exista, x n , tal que Ax=b”. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 7 Problemas na Engenharia (método da rigidez) Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 8 Problemas na Engenharia (circuitos elétricos) Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 9 Problemas na Engenharia (interpolação) Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 10 Métodos Os métodos numéricos para a resolução de sistemas lineares podem ser divididos em dois grupos: métodos diretos e métodos iterativos. Métodos Diretos são aqueles que, exceto por erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações. Métodos Iterativos por sua vez, geram uma seqüência de vetores a partir de uma aproximação inicial x(o), e sob certas circunstâncias esta seqüência converge para a solução do sistema, caso ela exista. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 11 Gauss Consiste em, por meio de um número de (n-1) passos, transformar o sistema linear A.x=B em um sistema triangular equivalente, U.x=C. É mais usado em sistemas lineares de pequeno e médio portes (n=30 e n=50 respectivamente). Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 12 Gauss Para descrever o método seja det A 0, através do exemplo : Estágio 1 : Eliminação x1 das equações 2 e 3. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 13 Exemplo Dado o sistema, determine a sua solução através do método de Gauss. Escreve-se o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de coeficientes e o Vetor B de resultados). Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhe-se o elemento a11 como Pivô e calcula-se os multiplicadores: Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 14 Exemplo Substitui-se os valores das linhas 2 e 3 de acordo com: L1→L1 m21*L1+L2→L2 m31*L1+L3 →L3 Obtendo-se: A partir desta matriz ampliada, repete-se o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a22=-2. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 15 Exemplo Construindo as novas linhas: L1→L1 L2→L2 m32*L2+L3 →L3 O sistema original foi reduzido a um sistema de equações triangular equivalente dado por: De modo trivial, chega-se à solução do problema: x1=1, x2=2, x3=3 Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 16 Exemplo Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 17 Inconsistências do método Se houver algum elemento nulo na diagonal principal, não será possível encontrar a resposta ; Pode-se trocar as linhas de forma a corrigir este problema; Valores de pivô muito próximos de 0 propagam erros de arredondamento muito facilmente, podendo até mesmo invalidar os resultados alcançados; O ideal é que os multiplicadores das linhas sejam todos menores que 1. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 18 Pivotação Muito semelhante ao método de Gauss; Exige somente que se troque as linhas de modo que o pivô seja sempre o maior valor em módulo na matriz; É pouco utilizado devido ao esforço computacional antes de cada cálculo, para que seja determinado o maior pivô. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 19 Exemplo Dado o sistema, determine a sua solução através do método da Pivotação. Escreve-se o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de coeficientes e o Vetor B de resultados). Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhe-se o elemento a21 ou a22 como Pivô (maior valor) e calcula-se os multiplicadores: Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 20 Exemplo Substitui-se os valores das linhas 1 e 3 de acordo com: m1*L2 + L1 →L1 L2→L2 m3*L2+L3 →L3 Obtendo-se (já colocando a linha 2 no lugar da linha 1): A partir desta matriz ampliada, repete-se o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a32=-5. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 21 Exemplo Construindo as novas linhas: L1→L1 m32*L3 +L2 →L2 L3 →L3 Mais uma vez, de modo trivial chegamos até a solução do problema: x1=1, x2=2, x3=3 Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 22 Método de Jordan Muito semelhante ao método de Gauss; O cálculo da pivotação leva em consideração todas as linhas da tabela, incluindo aquelas que já foram processadas, obtendo-se uma matriz diagonal no final. Este método consiste em operar transformações elementares sobre as equações do sistema linear original até que se obtenha um sistema diagonal equivalente. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 23 Exemplo Dado o sistema, determine a sua solução através do método de Jordan. Escreve-se o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de coeficientes e o Vetor B de resultados). Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhe-se o elemento a11 como Pivô e calcula-se os multiplicadores: Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 24 Exemplo Substitui-se os valores das linhas 2 e 3 de acordo com: L1→L1 m21*L1+L2→L2 m31*L1+L3 →L3 Obtendo-se: A partir desta matriz ampliada, repete-se o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a22=-2. Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 25 Exemplo Construindo as novas linhas: m1*L2+L1→L1 L2→L2 m3*L2+L3 →L3 Repetindo-se o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a33=5. E construindo-se novamente as linhas: m1*L3+L1→L1 m2*L3+L2→L2 L3 →L3 Cálculo Numérico Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares Versão 00 26 Exemplo O sistema original foi reduzido a um sistema de equações triangular equivalente dado por: De modo trivial, chega-se à solução do problema: x1=1, x2=2, x3=3
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