nivelamento_2

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AulaAula 2 2 –– 12/0212/02
NivelamentoNivelamento
Questão 1
Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e 
do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo 
do número x. Qual é esse número?
6,45142)6
14)5
27)4
2)3
7)2
51514)1 2
==−
−=
−
−=∆=−
xxx
yxx
e
xx
O valor da expressão pode ser encontrado para
qualquer valor de x.
ex. É uma expressão123 2 −−−−++++ xx
71412 ====−−−−−−−−
ex. é uma equação quadrática0123 2 ====−−−−++++ xx
Estas equações podem ser resolvidas. Existe um 
valor que satisfaz a equação 1 e dois valores que
satisfazem a equação dois.
ex. é uma identidade))(( 113123 2 ++++−−−−====−−−−++++ xxxx
Uma identidade é verdadeira para todos os valores
desconhecidos
====−−−−++++⇒⇒⇒⇒−−−−==== 1232 2 xxxex.
ex. é uma equação linear012 ====−−−−x
( Identidades ás vezes são escrita com ou = )≡≡≡≡
Expressões, Equações e Identidades
Resolvendo Equações
Resolvendo Equações lineares
� Coloca-se os termos desconhecidos de uma
lado da equação e as constantes do outro.
ex. 743 −−−−====++++ xx
473 −−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒ xx
112 −−−−====⇒⇒⇒⇒ x
2
11
−−−−====⇒⇒⇒⇒ x
Equações lineares possuem
termos x sem potência.
Resolvendo Equações
02 ====−−−− xx
ex. 1 xx ====2
⇒⇒⇒⇒
01 ====−−−− )(xx⇒⇒⇒⇒
0====x⇒⇒⇒⇒ 01 ====−−−−x
1====x⇒⇒⇒⇒
ou
Passamos tudo para o 1º. membro
( Fator comum)
Dois fatores que multiplicados são = 0,
então um dos fatores deve ser zero.
Fatoramos
Resolvendo Equações Quadráticas
Resolvendo Equações
ex. 2 672 −−−−==== xx
016 ====−−−−−−−− ))(( xx⇒⇒⇒⇒
Zero de um lado
(Trinômio)
Dois fatores que multiplicados são = 0,
então um dos fatores deve ser zero.
Fatorando
⇒⇒⇒⇒ 0672 ====++++−−−− xx
1====x⇒⇒⇒⇒ 6====x ou
23××××
16××××ou
01 ====−−−−x⇒⇒⇒⇒ 06 ====−−−−x ou
Resolvendo Equações Quadráticas
Resolvendo Equações
ex. 3 0872 ====++++++++−−−− xx
⇒⇒⇒⇒
Multiplicamos por -1
Trinômio
Dois fatores que multiplicados são = 0,
então um dos fatores deve ser zero..
Fatorando
⇒⇒⇒⇒ 0872 ====−−−−−−−− xx
1−−−−====x8====x⇒⇒⇒⇒ ou
24××××
18××××ou
018 ====++++−−−− ))(( xx
Resolvendo Equações Quadráticas
Resolvendo Equações
42 ====x
ex. 4
x
x
4
====
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
Neste exemplo não temos o termo linear. 
Podemos realizar o cálculo diretamente
extraíndo a raiz quadrada.
Multiplicando por x
2±±±±====x
Raiz
quadrada
de 4
Resolvendo Equações Quadráticas
Resolvendo Equações
Exercícios Resolva as seguintes equações quadráticas
12
2
++++==== xx
0652 ====−−−−−−−− xx
052 ====−−−− xx
052 ====−−−−x
x
x
9
====
0252 2 ====++++−−−− xx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
0)1)(6( ====++++−−−− xx 1,6 −−−−====⇒⇒⇒⇒ x
0)5( ====−−−−xx 50,====⇒⇒⇒⇒ x
52 ====x 55,−−−−====⇒⇒⇒⇒ x
012
2
====−−−−−−−− xx
0)3)(4( ====++++−−−− xx 3,4 −−−−====⇒⇒⇒⇒ x
9
2
====x 3±±±±====⇒⇒⇒⇒ x
0)2)(12( ====−−−−−−−− xx 2,21====⇒⇒⇒⇒ x
Soluções
Resolvendo Equações
Se a equação quadrática é escrita como 02 ====++++++++ cbxax
e ainda é um quadrado perfeito, a fatoração
ainda é possível.
acb 42 −−−−
[ ]))(( 13232 2 ++++−−−−====−−−−−−−− xxxx
))(()( 32414 22 −−−−−−−−−−−−====−−−− acb
A fatoração será:
ex. 2 0352 ====++++++++ xx
))(( 3142542 −−−−====−−−− acb
A equação não poderá ser fatorada!
32 2 −−−−−−−− xxex. 1
25241 ====++++====
351 ============ cba ,,
13====
312 −−−−====−−−−======== cba ,,
Uma informação útil:
Resolvendo Equações
ex. 5 0142 ====++++−−−− xx
Esta equação não é fatorável mas podemos completar quadrados
⇒⇒⇒⇒ 014442 =+−+− xx
032 2 ====−−−−−−−− )(x⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒ 32 2 ====−−−− )(x
Para encontrar o valor de x, precisamos isolar o termo
ao quadrado e extrair a raiz de ambos os membros.
⇒⇒⇒⇒ 32 ±±±±====−−−−x
⇒⇒⇒⇒ 32 ±±±±====x
Estas respostas são exatas mas podem ser 
dadas em decimais.
2 Soluções!
Resolvendo equações quadráticas
Resolvendo Equações
Considere 02 ====++++++++ cbxax
⇒⇒⇒⇒
0
22
22
====++++





−−−−





++++
a
c
a
b
a
b
x
⇒⇒⇒⇒
Completa os quadrados
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
Divide por a: 02 ====++++++++
a
c
x
a
b
x
a
c
a
b
a
b
x −−−−====





++++ 2
22
42
a
c
a
b
a
b
x −−−−±±±±====++++ 2
2
42
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x
−−−−±±±±−−−−====
a
acbb
x
2
42 −−−−±±±±−−−−
====
Prova da Fórmula Quadrática
Resolvendo Equações
453 −−−−====−−−−======== cba ,,
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
ex. 6 Resolva a equação 0453 2 ====−−−−−−−− xx
6
43455 2 ))(()( −−−−−−−−−−−−±±±±
====x
6
735 ++++
====x
6
48255 ++++±±±±
====x
a
acbb
x
2
42 −−−−±±±±−−−−
====Solução:
6
735 −−−−
====xou
Resolvendo Equações Quadráticas
Resolvendo Equações
Exercícios Use o método mais eficiente par resolver
as seguintes equações:
0642 ====−−−−−−−− xx
0152 2 ====−−−−−−−− xx
01522 ====−−−−++++ xx
1.
2.
3.
064)2( 2 ====−−−−−−−−−−−−x
0)3)(5( ====−−−−++++ xx
a
acbb
x
2
42 −−−−±±±±−−−−
====
1,5,2 −−−−====−−−−======== cba
4
8255 ++++±±±±
====⇒⇒⇒⇒ x
Solução: Completando quadrado
10)2( 2 ====−−−−⇒⇒⇒⇒ x
102 ±±±±====−−−−⇒⇒⇒⇒ x 102 ±±±±====⇒⇒⇒⇒ x
Solução: Usando a fórmula
4
335 ±±±±
====
3,5−−−−====⇒⇒⇒⇒ xSolução: Fatorando
Resolvendo Equações
=−− 652 xx
=−+ 652 xx
4.
5.
6. =−− 322 xx
Exercícios
Resolvendo Equações
0652 =++ xx
02142 =−+ xx
7.
01242 =−− xx
01282 =+− xx
015164 2 =+− xx
015143 2 =+− xx
8.
9.
11.
12.
10.
Exercícios
Resolvendo Equações
Raízes de uma equação
Ex. Encontre as raízes da eq. 0122 ====−−−−++++ xx
Completando quadrados:
a
acbb
x
2
42 −−−−±±±±−−−−
====
0111 2 ====−−−−−−−−++++ )(x
21 ±±±±====++++ )(x⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒ 21 ±±±±−−−−====x
Usando a fórmula:
A respostas 1 e 2 são iguais.
2
82 ±±±±−−−−
====x⇒⇒⇒⇒
)(1
)(2
2
)1)(1(4)2(2 2 −−−−−−−−±±±±−−−−
====⇒⇒⇒⇒ x
Raiz é outro termo utilizado para solução !
Solução: Podemos resolver de duas maneiras:
Resolvendo Equações
2
212 )( ±±±±−−−−
====x
A resposta anterior pode ser simplificada:
2
82 ±±±±−−−−
====xTemos
248 ××××====Então fazemos,
2224 ====××××
4 é um quadrado perfeito, pode ser extraído da raiz.
2
82 ±±±±−−−−
====xentão,
2
222 ±±±±−−−−
====x⇒⇒⇒⇒
2 é um fator comum do numerador, então:
⇒⇒⇒⇒ 21±±±±−−−−====x
Números como podem ser simplificados8
1
1
Resolvendo Equações
Exercícios
3234 ====××××
101010100 ====××××
Simplifique as seguintes raízes
====12)1
====32)2
====45)3
====1000)4
24216 ====××××
5359 ====××××