NIVELAMENTO_MAT_UNIDADE_IV

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1
UNIDADE IV – EQUAÇÕES DE 1o e 2o GRAUS 
Toda igualdade da forma 0)( =xP onde )(xP é um polinômio de uma variável, é chamada equação 
de uma variável. 
O grau do polinômio determina o grau da equação. Assim, a equação 071052 23 =−+− xxx é uma 
equação de 3o grau. 
Os valores de x que fazem com que 0)( =xP , são chamados de soluções da equação. 
No exemplo acima, 1 é solução pois, 
)(00
071052
071101512 23
V=
=−+−
=−×+×−×
 
Veja por exemplo que 2 não é solução pois, 
)(09
07202016
072102522 23
F=
=−+−
=−×+×−×
 
Resolver uma equação significa determinar todos os valores de x que fazem com que )(xP seja 
igual a zero. 
Para resolver uma equação temos que observar em qual conjunto numérico estamos trabalhando 
Esse conjunto numérico é chamado conjunto universo ou referencial e iremos representá-lo por U. 
Veja o exemplo: 
NUx ==+ ;172 
O valor de x que satisfaz a igualdade 172 =+x é igual a -3, pois 
)(11
176
17)3(2
V=
=+−
=+−×
 
Porém, sabemos que, N∉−3 e assim, nestas condições, a equação acima não tem solução. 
Se tivermos ZUx ==+ ;172 , a equação passa a ter solução e ela é -3 porque Z∈−3 . 
Obs: 1) Em nosso curso adotaremos R ou um subconjunto de R como conjunto universo para todas 
as equações; 
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2) O conjunto formado pelas soluções de uma equação será chamado conjunto solução. No nosso 
exemplo, { }3−=S . 
I-) Equações polinomiais de 1º grau 
São aquelas que podem ser reduzidas à forma 0)( =xP onde )(xP é um polinômio de 1º grau. 
Assim, uma equação de 1º grau é da forma 0=+ bax , Rba ∈, 
Para resolver uma equação de 1º grau, basta isolarmos a variável x utilizando as operações 
matemáticas conhecidas. A seguir, ilustramos com alguns exemplos: 
Exemplo 1: 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
Inicialmente reduzimos todas as frações ao menor denominador comum. Assim, mmc (3,6,4,2)=12 
 
Multiplicando os 2 membros da igualdade por 12: 
 
Resulta em: 
 
Desenvolvendo: 
 
 





−
=⇒
−
=⇒−=
−=
=+
5
2
5
225
315
135
Sxx
x
x






=⇒=⇒=
−×−=−
−−=+−−+−
−−+=−++
+−=−+
2
11
2
11112
)1(112
92276
22796
)2)(1(7)3(
22
22
2
Sxx
x
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
2
)1(
4
)12(
6
)5(
3
)2( xxxx −
−
+
=
−
−
+
12
)1(6
12
)12(3
12
)5(2
12
)2(4 xxxx −
−
+
=
−
−
+
12
12)1(6
12
12)12(3
12
12)5(2
12
12)2(4 ×−
−
×+
=
×−
−
×+ xxxx
)1(6)12(3)5(2)2(4 xxxx −−+=−−+






=⇒=⇒=
−×−=−
−+−=−−+
+−+=+−+
6
1
6
116
)1(16
810636624
663621084
Sxx
x
xxxx
xxxx
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Observação: na prática, omitimos alguns passos. Veja: 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
 
Neste caso a equação é chamada equação fracionária e devemos estabelecer o conjunto universo. 
Como sabemos, não é possível dividir um número por zero. Assim, x não poderá ter alguns valores: 
 
 
Fatorando temos: 
Teremos: 
 
 
 
 
 
 
Com os exemplos dados servindo como referência, procure resolver a lista de exercícios propostos 
ao final do capítulo ( pagina12 ) 






=⇒=⇒=
−×−=−
−+−=−−+
+−+=+−+
−−+=−−+
=
−
−
+
=
−
−
+
6
1
6
116
)1(16
810636624
663621084
)1(6)12(3)5(2)2(4
12
2
)1(
4
)12(
6
)5(
3
)2(
Sxx
x
xxxx
xxxx
xxxx
mmc
xxxx
9
13
3
2
3
12
2
2
−
+−
=
+
−
+
−
+
x
xx
x
x
x
x
{ }
309
3,3Ulogo303
303
2 ±≠⇒≠−
−−=−≠⇒≠+
≠⇒≠−
xx
Rxx
xx
92 −x )3)(3(92 −+=− xxx
{ }






−=−−∈−
−=⇒−=
−−=+−−++−+
+−=+−−++++
+−=−−+++
−+=
−
+−
=
+
−
+
−
+
3
8
,3,3
3
8
3
883
36132632
13632362
)13(1)2)(3()12)(3(
)3)(3(
9
13
3
2
3
12
222
222
2
2
2
SentãoRComo
xx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxx
xxmmc
x
xx
x
x
x
x
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II-) Sistema de equações polinomiais de 1º grau com 2 variáveis 
Quando temos uma equação da forma , dizemos que ela é uma equação de 
1º grau com duas varáveis. Exemplo: 
Uma equação de 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. 
 Vejamos o exemplo dado: . 
São soluções: 
 
 
 
e assim, temos várias outras soluções. 
Representamos as soluções por pares ordenados de números onde o 1º elemento é x e o 2º y: 
Assim, o conjunto solução é: 
Quando juntamos duas equações de 1º grau com duas variáveis, temos um sistema de equações 
de 1º grau, que é representado como no exemplo abaixo: 
 
Um sistema pode ter: 
- solução única: existe um único par de números que satisfaz as duas equações. Diz-se que o 
sistema é possível e determinado. 
- Infinitas soluções: existem infinitos pares de números que satisfazem as duas equações. Diz-se 
que o sistema é possível e indeterminado. 
- Nenhuma solução: não existe nenhum par de números que satisfaz as duas equações. Diz-se que 
o sistema é impossível. 
A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis pode ser feita inicialmente por 3 
métodos. 
A-) Método da Adição: consiste em tornar os coeficientes de uma mesma variável iguais e de sinais 
contrários e em seguida, somar as duas equações, termo a termo. 
Exemplo 1: 
 
532 =+ yx
532 =+ yx
Rcbacbyax ∈=+ ,,,
)(55
532
51312pois1e1
V
yx
=
=+
=×+×==
)(55
5914
5)3(372pois3e7
V
yx
=
=−
=−×+×−==
{ }),.....3,7(),1,1( −=S
),( yx



=−
=+
35
523
yx
yx
2
13
262613
1269
3864
)3(423
)2(1932
423
1932
=⇒=⇒=



−=−
=+
⇒



×−=−
×=+
⇒



−=−
=+
xxx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
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Substituindo x por 2 em qualquer uma das equações do sistema, determinamos o valor de y. 
Veja, substituindo x por 2 na equação 1932 =+ yx , teremos: 
 
 
Assim, o sistema é possível e determinado e sua solução única é o par (2,5). Representamos a 
solução por : 
Exemplo 2: 
 
Veja que não achamos o valor de x mas igualdade 0=0 é verdadeira. Neste caso, ignoramos uma 
equação e trabalhamos somente com a outra. Assim, 
 
Qualquer valor que atribuirmos a k, formará um par ordenado que é solução do sistema: 
 
Assim, o sistema possui infinitas soluções e é um sistema possível e indeterminado. 
Exemplo 3: 
 
 
Veja que não encontramos o valor de x e a igualdade 0=1 é falsa. O sistema é impossível e não tem 
solução. 
Trabalharemos daqui em diante com sistemas possíveis e determinados. 
B-) Método da Substituição: consiste e encontrar uma variável em uma equação e em seguida 
substituir na outra. Vamos resolver o sistema do exemplo 1 citado anteriormente: 
Encontrando x na 1ª equação: 
Substituindo na 2ª equação: 
 
 
 
5
3
15153
4193
19322
=⇒=⇒=
−=
=+×
yyyy
y
{ })5,2(=S
00
933
933
933
)3(3
933
3
=



−=+−
=−
⇒



−=+−
×=−
⇒



−=−
=−
xx
yx
yx
yx
xy
yx
{ } RkkkStemosRkyFazendoyxyx ∈+=∈=+=⇒=− ,),3(,33
{ }
{ })2,1(2
)1,4(1
−=⇒−=
=⇒=
Sk
Sk
140
533
933
533
)3(3
533
3
=



=+−
=−
⇒



=+−
×=−
⇒



=−
=−
xx
yx
yx
yx
xy
yx
φ=S



−=−
=+
423
1932
yx
yx
2
3191932 yxyx −=⇒=+
5
13
656513)1(6513
57813
84957
242
2
95742)
2
319(3
=⇒=⇒=⇒−×−=−
−−=−
−=−−
=−=−
−
⇒−=−
−
yyyy
y
yy
mmcyyyy
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Determinando o valor de x: 
Então a solução é 
B-) Método da Comparação: consiste em encontrar a mesma variável as duas equações e em 
seguida comparar os resultados. 
Exemplo: 
 
Da 1ª equação temos: 
 
Da 2ª equação temos: 
Comparando: 
2
2
4
2
1519
2
5319
2
319
=⇒=⇒
−
=⇒
×−
=⇒
−
= xxxx
y
x
{ })5,2(=S



−=−
=+
423
1932
yx
yx
2
3191932 yxyx −=⇒=+
3
24423 yxyx +−=⇒−=−
{ })5,2(
2
2
4
2
53195
13
656513
57849
48957
)24(2)319(3
6
3
24
2
319
=
==⇒
×−
==
−
−
=⇒−=−
−−=−−
+−=−
+−=−
=
+−
=
−
S
xxxdosubstituinyyy
yy
yy
yy
mmc
yy
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III-) Equação polinomiais de 2º grau 
É a equação da forma 0)( =xP onde )(xP é um polinômio de 2º grau: 
Quando 00 == coub , a equação é chamada incompleta. 
Solução: 
A-) Equações Incompletas 
 1º) Equação da forma : 
 
 
 Exemplo: 1) 
 
 
 2) 
 
 
 
2º) Equação da forma: 
 
 
 
Exemplo: 
0,02 ≠=++ acbxax
a
c
x
a
c
x
cax
cax
−±=⇒−=
−=
=+
2
2
2 0
{ }2,2244
3
12
123
0123
22
2
2
−=±=⇒±=⇒=⇒=
=
=−
Sxxxx
x
x
φ=⇒∉−±=⇒−=⇒−=
−=
=+
SRxxx
x
x
44
5
20
205
0205
22
2
2





 −
=⇒
−
=⇒−=
=+=
=+
=+
a
bS
a
b
xbax
baxoux
entãozeroéprodutoumse
baxx
bxax
,0
00
,
0)(
02






=⇒=
=
=−=
=−
=−
3
7
,0
3
7
73
0730
0)73(
073 2
Sx
x
xoux
xx
xx
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B-) Equações Completas 
Resolver uma equação completa já não é tão simples. Vamos deduzir uma fórmula que permita 
resolver esta equação (tente entender). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fórmula acima é conhecida como fórmula de Báskara. 
Vejamos alguns exemplos: 
1) 
acbonde
a
b
x
aa
b
x
aa
b
x
aa
b
x
aa
b
x
aa
b
xa
acb
a
acb
a
b
xa
c
a
b
a
b
xa
a
b
x
a
b
x
a
b
x
c
a
b
a
b
x
a
b
xaa
c
a
b
a
bbxax
a
b
cbxax
acbxax
4
2
224242
4
)
2
(
4
)
2
(
4 façamos facilitar, Para
4
4)
2
(
4
)
2
(
:se- temEntão,
)
2
(:perfeito quadrado trinômioum é
4
 expressãoa
4
)
4
(:evidênciaem colocando
44
:membros2nos
4
termoosomando
0,0
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
−=∆∆±−=⇒
∆±−=⇒∆±−=⇒∆±=+
∆
=+
∆
=+
−=∆−=+
−=+
+++
−=++
−=++
−=+
≠=++
25169
)2(24)3(2
43
2
0232
2
2
2
=∆⇒+=∆
−××−−=∆−=
−=∆−=
=
=−−
c
acbb
a
xx





−
=
−
=
−
=
==⇒
±
=⇒
×
±−−
=
∆±−
=
2,
2
1
2
1
4
2
"
2
4
8
'
4
53
22
25)3(
2
S
x
xxx
a
b
x
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Observe que neste exemplo 0>∆ (positivo) e a equação tem 2 soluções reais e desiguais. 
2) 
 
 
 
 
 
Observe que neste exemplo 0=∆ e a equação tem 2 soluções reais e iguais. 
3) 
 
 
 
Observe que neste exemplo 0<∆ (negativo) e a equação não em solução em R. 
IV-) Sistemas de equações polinomiais de 2º grau com duas variáveis 
São sistemas que contém equações de 2º grau. 
1º caso: Uma equação é de 1º grau e a outra de 2º grau 
Encontramos uma das variáveis na equação de 1º grau e substituímos na de 2º grau. 
Exemplo: 
 
03636
194)6(1
46
9
0169
2
2
2
=∆⇒−=∆
××−−=∆=
−=∆−=
=
=+−
c
acbb
a
xx
42016
514)4(5
44
1
054
2
2
2
−=∆⇒−=∆
××−−=∆=
−=∆−=
=
=+−
c
acbb
a
xx
44427126147
444)94249(3
444)37(3
411
4
)37(311
2
3y73
:equação outra na x de valor este levando
2
37372732
:Solução
113
732
22
22
22
2
2
2
2
22
=−++
=−++
=−+
==−
+
⇒=−




 +
+
=⇒+=⇒=−




=−
=−
yyy
yyy
yy
mmcyyy
y
xyxyx
yx
yx






=
==
==⇒
±
=⇒
×
±−−
=
∆±−
=
3
1
3
1
18
6
"
3
1
18
6
'
18
06
92
0)6(
2
S
x
xxx
a
b
x
φ=
∉
−±
=⇒
×
−±−−
=
∆±−
=
S
Rxx
a
b
x
2
44
12
4)4(
2
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2º caso: As duas equações são de 2º grau 
Exemplo: 
 
 
 
 
Montando um novo sistema com a equação encontrada e com uma das duas apresentadas, como 
por exemplo a 1ª delas: 
 
 
E procedemos como no caso anterior: 





 −−
−=∴
−
=⇒×
−
=
−
=
−
=
−
=
−
×+
=⇒
−
=
==
−
=
−×+
=⇒=
−
=
−
=
−−
=
−=
−
=
+−
=
±−
=⇒
×
±−
=
=∆⇒−=∆
××−=∆
−=∆
===
=++
=−++−
)
23
103
,
23
74();1,2(
23
74
2
1
23
148
1
2
23
148
2
23
309161
2
23
3097
2
)
23
103(37
23
103
2
2
4
2
37
2
)1(371
23
103
46
206
46
80126
"
1
46
46
46
80126
'
46
80126
232
6400126
6400947615876
103234126
4
10312627
010312623
044147126427
2
2
2
22
Sxx
xySe
xySe
y
y
yy
acb
cba
yy
yyy
1
6
5
6
)1(5
:as-somando e equação uma de escoeficient os alterando :Solução
6
5
22
22
22
22
22
22
=−




=−++
−=−−
⇒




=−++
−×=+




=−++
=+
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx




=−
=+
1
522
yx
yx
yxyx +=⇒=− 11
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EXERCÍCIOS 
01-) Resolva as equações seguintes, sendo U = ℜℜℜℜ 
a) (((( )))) (((( ))))






====−−−−====−−−−−−−−++++
17
47354323 S:spRexx.x. 
b) 






====
−−−−
++++====
−−−−
10
17
8
12
4
5
2
23 S:spRexx 
c) {{{{ }}}}12202223 −−−−−−−−========−−−−−−−−++++ ,,S:spRexxx 
d) {{{{ }}}}211022 23 ,,S:spRexxx −−−−========++++−−−−−−−− 
02-) Estabeleça o conjuntouniverso e dê o conjunto solução para cada uma das equações 
seguintes: 
a) 






====






−−−−ℜℜℜℜ========
−−−−
++++
−−−−
−−−−
−−−− 22
171
2
10
12
4
33
2
1
1 S,U:spRe
xxx
 
b) { }






=−ℜ==
+−
−
−
−
+
+
−
−
2
13,2:Re0
65
32
3
2
2
1
2
2
SUsp
xx
x
x
x
x
x
 
c) {{{{ }}}}






====−−−−−−−−ℜℜℜℜ====
−−−−
====
++++
−−−−
−−−−
++++
3
4202
4
3
2
2
2
11
2 S,,U:spRexxxx
 
 
03-) Resolva as equações seguintes, sendo U = ℜℜℜℜ 
{ })2,1(),1,2(:
1212
2111
: temos,1 Como
2
2
4
''
1
2
2
'
2
31
2
91
981)2(141211
02
2por equação a todadividindo0422
05122
5215y)(1
:equação outra na x de valor este levando
2
2
2
2
2222
−−=
−=⇒−=⇒=
=⇒+=⇒=
+=
−=
−
=
==⇒
±−
=⇒
±−
=
=+=∆⇒−××−=∆⇒−===
=−+
=−+
=−++
=+++⇒=++
SEntão
xx-yse
xxyse
yx
y
yyy
cba
yy
yy
yy
yyyy
 UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 12
a) {{{{ }}}}101101922 ++++−−−−========−−−− ,S:spRexx 
b) {{{{ }}}}333332122 ,S:spRexx −−−−====−−−−====−−−− 
04) Estabeleça o conjunto universo e dê o conjunto solução para cada uma das equações 
seguintes: 
a) {{{{ }}}}






====−−−−−−−−ℜℜℜℜ====
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
++++ 4
21133
9
21
3
2
3
6
2 ,S,U:spRe
x
x
x
x
x
x
 
b) ( ) { }






−=−−ℜ==
−
+
−
+
−
+
−
2,
3
11,1:Re0
22
16
1
12
1 2
SUsp
x
x
x
x
x
x
 
c) {{{{ }}}} {{{{ }}}}531
96
62
2 ====−−−−ℜℜℜℜ========++++−−−−
−−−− SU:spRe
xx
x
 
d) {{{{ }}}}






−−−−====−−−−−−−−ℜℜℜℜ========
++++
++++
−−−−
++++
3
2
3305
3
3
3
4
2 ,S,U:spRexxx
x
x
x
 
05-) Resolva as equações seguintes, sendo U = ℜℜℜℜ 
a) OS:spRexx ========++++++++ 03613 24 
b) (((( )))) {{{{ }}}}33352 22 ,S:spRex.x −−−−========−−−− 
06) Estabeleça o conjunto universo e dê o conjunto solução para cada uma das equações 
seguintes: 
a) { }








−−=−−ℜ==
−
+
2
6
,
2
6
,2,21,1:Re9
1
32
2
2 SUsp
x
x
 
b) (((( )))) {{{{ }}}}226
3
732 2
2
2
,SU:spRe
x
x
x −−−−====ℜℜℜℜ========
++++
++++−−−− 
07-) Resolva os sistemas seguintes: 
a) ( ){ }3,2:Re
247
42123
=



=−
=+
Ssp
yx
yx
 
b) (((( )))){{{{ }}}}122
3116
5743
1525
,,S:spRe
zyx
zyx
zyx
−−−−====





====−−−−−−−−
====++++++++
====++++−−−−
 
 
/
 UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 13
c) 












=









=+
=+
=+
4
1
,
5
1
,
3
1
:Re
711
911
811
Ssp
xz
zy
yx
 
d) ( )( ){ }babaSsp
y
a
x
b
y
b
x
a
++−=






=+
=+
,:Re
1
1
 
e) 






====
−−−−
++++
−−−−
====
−−−−
++++
−−−−
a
b
yb
a
xa
b
b
a
yb
b
xa
a
 












+
+
= bab
b
abSsp 2,1:Re 
08-) Determine k na equação (((( )))) (((( )))) kxkxk −−−−====−−−−++++++++ 31622 de modo que uma das raízes seja 
3
1
. 
Resp: k = 1 
09-) Determine k de modo que uma das raízes da equação 0425 ====++++++++ kxx seja o triplo da outra. 
Resp: 
5
3
====k 
10-) Determine k na equação (((( )))) 0024212 ========−−−−−−−−++++−−−−++++ kkxkx de modo que a soma dos 
quadrados de suas raízes seja 10. Resp: 51 ======== kouk 
11-) Subtraindo-se a unidade de cada termo de uma fração, a fração resultante é igual a 
4
1
 e 
somando-se 5 unidades a cada termo, a fração resultante é igual a 
2
1
. Determine a fração. Resp: 
13
4
 
12-) Calcular a idade de uma pessoa, sabendo-se que é igual à diferença entre o dobro da mesma 
e o triplo da que ela tinha 6 anos atrás. Resp: 9 anos. 
13-) Dividir o número 10 em duas partes, de modo que a soma de seus inversos seja 
12
5
. Resp: 4 
e 6. 
14-) Determine dois números naturais e consecutivos cuja soma de seus quadrados seja 365. 
Resp: 13 e 14 
15-) Dois círculos tangentes exteriormente têm juntos uma área de pi13 cm 2. Seus centros estão 
afastados de 5 cm. Determine seus raios. Resp: 2 cm e 3 cm