Ajuste de curvas por minimos quadrados

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PROVAS 
Ciência da Computação 
2a Prova: 13/02/2014 (Quinta) 
Reavaliação: 20/02/2014 (Quinta) 
Ajuste de Curvas 
 
Objetivo 
 
Ajustar curvas pelo método dos 
mínimos quadrados 
 Em geral, experimentos geram uma gama de 
dados que devem ser analisados para a 
criação de um modelo. 
 
 
 Obter uma função matemática que represente 
(ou que ajuste) os dados permite fazer 
simulações do processo de forma confiável, 
reduzindo assim repetições de experimentos 
que podem ter um custo alto. 
1 - INTRODUÇÃO 
Em geral, usa-se aproximação de funções nas 
seguintes situações: 
 
 
 
 
• Quando se desejar extrapolar ou fazer previsões 
em regiões fora do intervalo considerado; 
• Quando os dados tabelados são resultados de 
experimentos, onde erros na obtenção destes 
resultados podem influenciar a sua qualidade; 
• Quando deseja-se substituir um função 
conhecida f(x) por outra função g(x) que facilite 
cálculos como derivadas e integrais. 
1 - INTRODUÇÃO 
 O objetivo é obter uma função que seja uma “boa 
aproximação” e que permita extrapolações com 
alguma margem de segurança. 
 
 
 A escolha das funções pode ser feita 
observando o gráfico dos pontos tabelados, 
baseando-se em fundamentos teóricos dos 
experimentos que forneceu a tabela ou através 
de uma função já conhecida. 
1 - INTRODUÇÃO 
1 - INTRODUÇÃO 
O s m é t o d o s u t i l i z a d o s b u s c a m u m a 
aproximação do que seria o valor exato. Dessa 
forma é inerente aos métodos trabalhar com a 
aproximação, levando-se em consideração os 
erros e os desvios. 
 
 
O Método dos Mínimos Quadrados é um método 
bastante utilizado para ajustar uma determinada 
quantidade de pontos e aproximar funções. 
MÉTODO DOS 
MÍNIMOS 
QUADRADOS 
•  Método dos Mínimos Quadrados consiste em 
escolher os αi (i = 1, 2, ..., n) de tal forma que: 
Se aproxime ao máximo de f(x). 
Onde: fornece os pontos exatos; 
 os pontos estimados. 
2. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 
(1) 
2. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 
O Método dos Mínimos Quadrados consiste em 
escolher os αi (i = 1, 2, ..., n) de tal forma que a 
soma dos quadrados dos desvios seja mínima. 
(2) E = f xk( )−ϕ xk( )"# $%
2
k=1
m
∑
2.1 Caso discreto 
 Dado um conjunto de pontos (xi; f(xi)), 
 i = 0; 1; 2; ...; m (f dada por TABELA DE VALORES) 
 
 O problema de ajuste de curvas consiste em 
encontrar funções gi(x) tais que o desvio em cada 
ponto i, definido por (2) seja mínimo, ou seja: 
 
 
 
 se aproxime ao máximo de f(x). 
 
 
Neste caso o ajuste é linear. 
 
 
ATENÇÃO!!!! 
 
 
 Linear em relação aos αi e não às gi(x). 
2.1 Caso discreto 
COMO ESCOLHER g(x)???? 
 
 A escolha da função g(x) depende do gráfico dos 
pontos, chamado de diagrama de dispersão, 
através do qual pode-se visualizar o tipo de curva 
que melhor se ajusta aos dados. 
 
2.1 Caso discreto 
2.1 Caso discreto 
 
Tabela 1 
Considerando os dados da Tabela 1, e através do gráfico 
gerado pela Tabela 1, pode-se definir que tipo de curva 
melhor se ajusta aos dados. 
y
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12
x
Figura 1. Diagrama de Dispersão para os dados da Tabela 1 
2.1 Caso discreto 
 
2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear) 
 Como pode ser observado na Figura 1, 
uma possível aproximação seria através de 
uma função linear do tipo: g(x)=a1xi+a0. 
 Assim o objetivo é determinar o valor de α0 
e α1, que minimize: 
(3) E = yi − α1xi +α0( )"# $%
2
i=1
m
∑
2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear) 
Para que E seja mínimo é necessário que: 
(4) 
(5) 
∂E
∂α0
= 0
∂E
∂α1
= 0
2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear) 
 As equações (4) e (5) simplificam-se nas 
equações normais: 
 
(6) 
 (7) 
2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear) 
A solução para o sistema de equações é: 
(8) 
(9) 
2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear) 
 Considerando a Tabela 1, e os dados necessários 
para as equações (8) e (9) a seguinte Tabela pode 
ser calculada: 
Tabela 2 
2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear) 
 Considerando os dados da Tabela 2, os 
parâmetros α1 e α0 podem ser calculados como: 
Assim a reta de ajuste linear é determinada por: 
(10) 
α0 = −0,360 α1 =1,538
y =1,538x − 0,360
2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear) 
 Na Figura 2, pode-se observar o ajuste através da 
reta (10) 
Figura 2. Ajuste linear 
2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial) 
 O processo usado para o ajuste linear pode ser 
estendido para ajuste polinomial. 
 Assim, uma função polinomial de grau n é dada 
por: 
(11) 
O objetivo é minimizar o erro: 
(12) 
2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial) 
 Como no caso linear, para que E seja minimizado é 
necessário que para cada 
 j=0,1,...,n. 
 
Isto fornece as n+1 equações normais nas n+1 
incógnitas αj: 
 
2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial) 
(13) 
2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial) 
 Exemplo: Ajustar os dados da Tabela 3 com um 
polinômio de grau dois utilizando o método dos 
mínimos quadrados. 
 Tabela 3 
i xi yi xi2 xi3 xi4 xiyi xi2yi 
1 0 1 0 0 0 0 0 
2 0,25 1,284 0,0625 0,1563 0,0039 0,321 0,0803 
3 0,5 1,6487 0,25 0,125 0,0625 0,8244 0,4122 
4 0,75 2,117 0,5625 0,4219 0,3164 1,5878 1,1908 
5 1 2,7183 1 1 1 2,7183 2,7183 
Σ 2,5 8,768 1,875 1,5625 1,3828 5,4514 4,4015 
2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial) 
 Para este problema, n=2, m=5 e as três equações 
normais são: 
(14) 
Resolvendo o sistema (14), obtêm-se: 
α0 =1,0051 α1 = 0,8647 α2 = 0,8432
2.1 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial) 
Figura 3. Ajuste polinomial 
y =1,0051+ 0,8647x + 0,8432x2
E = yi −P xi( )"# $%
2
i=1
5
∑ = 2, 74×10−4
O erro total 
é o mínimo que pode ser 
obtido usando um 
polinômio com grau 
máximo 2 
 Outro problema é a aproximação de funções. 
 
 Para o caso discreto temos um conjunto de dados. 
 
Para o caso contínuo temos funções. 
 
 
2.2 Caso Contínuo 
2.2 Caso Contínuo 
Dada uma função f(x), contínua em [a,b] e 
escolhidas funções g1(x), g2(x), ..., gn(x), todas 
contínuas em [a,b], determinar constantes α1, 
α2,..., αn, tal que: 
 
 
 
se aproxime ao máximo de f(x) em [a,b]. 
ϕ x( ) =α1g1 x( )+α2g2 x( )++αngn x( )
O objetivo é determinar um polinômio de grau 
máximo n (ϕ (x) = Pn(x)): 
 
 
que minimize o erro total: 
(16) 
(15) 
2.2 Caso Contínuo 
 O problema é encontrar os coeficientes αj que 
minimizem E. 
Uma condição necessária para que os números αj 
minimizem E é que: 
para cada j=0, 1, . . .,n 
2.2 Caso Contínuo 
As derivadas ficam na seguinte forma: 
 (18) 
Como: 
(17) 
2.2 Caso Contínuo 
 que devem ser resolvidas para se determinar as 
(n+1) incógnitas αj, para cada j = 0,1,...,n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar Pn(x), temos (n + 1) equações 
normais: 
 (19) 
2.2 Caso Contínuo 
Exemplo 
Encontrar o polinômio de aproximação 
por mínimos quadrados de segundo 
grau para a função abaixo no intervalo 
[0,1]. 
 f x( ) = sen π x( )
2.2 Caso Contínuo 
Resolvendo o sistema obtêm-se o seguinte 
polinômio: 
Calculando as integrais obtêm-se: 
P2 x( ) = −4,1225x2 + 4,1225x − 0,0505
α0 +
1
2α1 +
1
3α2 =
2
π
1
2α0 +
1
3α1 +
1
4α2 =
1
π
1
3α0 +
14α1 +
1
5α2 =
π 2 − 4
π 3
2.2 Caso Contínuo 
Resolvendo o sistema obtém-se o seguinte 
polinômio: 
 Figura 4. Aproximação de f(x) pelo polinômio P2(x). 
P2 x( ) = −4,1225x2 + 4,1225x − 0,0505
2.2 Caso Contínuo 
2.3 Caso não-linear 
Existem casos, onde o diagrama de dispersão de 
uma função indica que os dados devem ser ajustado 
por uma função não linear. 
 
Para estes casos um processo de linearização 
deve ser empregado, para que seja possível aplicar 
o Método dos Mínimos Quadrados. 
 
Neste caso podemos proceder da seguinte forma: 
n  Ocasionalmente, é apropriado supor que os 
dados estejam relacionados 
exponencialmente. 
n  Exemplo: φ(x) = aebx, para a e b constantes. 
 
A dificuldade de aplicação do método dos 
mínimos quadrados neste caso consiste na 
tentativa de minimizar E. 
 
2.3 Caso não-linear 
Caso I: Função Exponencial 
Aplicando logaritmo em ambos os lados, obtêm-se: 
Realizando as seguintes substituições: 
Obtêm-se: 
2.3 Caso não-linear 
ϕ x( ) = y = aebx
Caso II: Função Logarítmica 
Expandindo: 
Realizando as seguintes substituições: 
Obtêm-se: 
2.3 Caso não-linear 
Caso III: Função Potencial 
Aplicando logaritmo em ambos os lados: 
Realizando as seguintes substituições: 
Obtêm-se: 
2.3 Caso não-linear 
Caso IV: Função Hiperbólica 
Realizando as seguintes substituições: 
Obtêm-se: 
2.3 Caso não-linear 
2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear) 
 As equações (4) e (5) simplificam-se nas 
equações normais: 
 
(6) 
 (7) 
2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear) 
A solução para o sistema de equações é: 
(8) 
(9) 
n  Após aplicar o método dos mínimos 
quadrados , é prec i so fazer as 
substituições necessárias para encontrar 
os parâmetros a e b da função de 
aproximação original. 
n  Observe que os parâmetros assim 
obtidos não são ótimos dentro do 
critério dos quadrados mínimos, porque 
estamos a justando o prob lema 
l inearizado e não o problema 
original. 
Exemplo 1: Encontrar uma função exponencial que se 
ajusta aos valores da tabela abaixo: 
2.3 Caso não-linear 
y = ae−bx
y = ae−bx
Y = ln y
α0 = ln a( )
α1 = −b
2.3 Caso não-linear 
Como o ajuste será realizado por uma função 
exponencial é necessário calcular: 
A tabela para os cálculos fica da seguinte forma: 
i x y Y = ln(y) xi2 xiYi 
1 -1 36,547 3,599 1 -3,599 
2 -0,7 17,264 2,849 0,49 -1,994 
3 -0,4 8,155 2,099 0,16 -0,839 
4 -0,1 3,852 1,349 0,01 -0,135 
5 0,2 1,820 0,599 0,04 0,120 
6 0,5 0,860 -0,151 0,25 -0,075 
7 0,8 0,406 -0,901 0,64 -0,721 
8 1 0,246 -1,402 1 -1,402 
Σ 0,3 69,15 8,041 3,59 -8,645 
2.3 Caso não-linear 
α0 =1,099 α1 = −2,5
α0 = ln a( ) α1 = −b
a = eα0 = e1,099
a = 3,001 b = 2,5
n  Os parâmetros α0 eα1 que ajustam a 
função ϕ(x) à função Y no sentido dos 
quadrados mínimos. 
n  Não se pode afirmar que os parâmetros 
a e b (obtidos através de α0 eα1) são 
os que ajustam ϕ(x) à função y dentro 
dos critérios dos quadrados mínimos. 
TESTE DE ALINHAMENTO 
n  Uma vez escolhida uma função não 
linear em a, b, … para ajustar uma 
função. Uma forma de verificar se a 
escolha foi razoável é aplicar o Teste de 
Alinhamento. 
TESTE DE ALINHAMENTO 
n  a) Fazer a “linearização” da função não 
linear escolhida; 
n  b) Fazer o diagrama de dispersão dos 
novos dados; 
n  c) Se os pontos do diagrama estiverem 
alinhados, isto significará que a função 
não linear escolhida foi uma “boa 
escolha”. 
Exemplo 1 
i x y Y = ln(y) 
1 -1 36,547 3,599 
2 -0,7 17,264 2,849 
3 -0,4 8,155 2,099 
4 -0,1 3,852 1,349 
5 0,2 1,820 0,599 
6 0,5 0,860 -0,151 
7 0,8 0,406 -0,901 
8 1 0,246 -1,402 
Σ 0,3 69,15 8,041 
Teste de Alinhamento (Exemplo 1) 
Diagrama de Dispersão dos novos dados (Y=lny).