04 Séries de Taylor e Maclaurin

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Séries de Taylor e Maclaurin 
 
Definições 
 
Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo 
contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em 
x = a é 
 
...)(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()()(
!
)( )(2
0
)(



n
n
k
k
k
ax
n
af
ax
af
axafafax
k
af 
 
A série de Maclaurin gerada por f é 
 




0
)(
2
)(
...,
!
)0(
...
!2
)0´´(
)0´()0(
!
)0(
k
n
n
k
k
x
n
f
x
f
xffx
k
f 
 
a série de Taylor gerada por f em x = 0. 
 
Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n 
 
Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum 
intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 
a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio 
 
.)(
!
)(
...)(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()()(
)()(
2 n
n
k
k
n ax
n
af
ax
k
af
ax
af
axafafxP 
 
 
 
Resto de um Polinômio de Taylor 
 
Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma 
função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um 
resto Rn(x) definido por 
 
)()()( xRxPxf nn 
 
 
O valor absoluto 
)()()( xPxfxR nn 
 é chamado de erro associado à 
aproximação. 
 
 
Teorema de Taylor 
 
Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, 
então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que 
 
),()(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()()( )(
)(
2 xRax
n
af
ax
af
axafafxf n
n
n

 
 
onde 
 
.)(
)1(
)(
)( 1
)1(




 n
n
n ax
n
cf
xR
 
 
 
Teorema da Estimativa do Resto 
 
Se existirem constantes positivas M e r tais que 
1)1( )(   nn Mrtf
 para todo t 
entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a 
desigualdade 
 
.
)!1(
)(
11




n
axr
MxR
nn
n
 
 
Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do 
Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x). 
 
 
Combinando Séries de Taylor 
 
Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem 
ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os 
resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é 
a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a 
enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante. 
 
 
 
 
 
 
Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na 
série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A 
série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para 
sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de 
todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x.