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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas Nome: Matr´ıcula: Po´lo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para ponsa´vel; ela reservado. Questa˜o 1 [2,5 pt]Construir um triaˆngulo ABC sendo dados as altura h1 e a mediana m1 relativas aos lados AC e AB, respectivamente, e a medida do lado BC. Soluc¸a˜o: Trace uma reta r e um segmento perpendicular a r de comprimento igual a altura. No extremo do segmento trace uma paralela a r. De centro no mesmo extremo, que indicamos por B, trace um arco de circunfereˆncia de raio BC interceptando r no ponto C. Com centro em C trace um arco de raio igual ao dobro da mediana que interceptara´ a reta paralela a r no ponto P . Ligue os pontos P e C. Marque a mediana nesse segmento a partir de C obtendo o ponto M , que sera´ o ponto me´dio do lado AB. Assim, ligue os pontos B e M que no prolongamento sobre r obtemos o ponto A. Questa˜o 2 [2,5 pt]Construa as circunfereˆncias tangentes a reta r de raio igual a R que passam pelo ponto B. Soluc¸a˜o: Trace um segmento PQ perpendicular a r no ponto P e de comprimento igual ao raio dado. Pelo ponto Q trac¸amos uma paralela a` reta r. Com centro em B e raio R trac¸amos um arco que interceptara´ a paralela nos pontos C1 e C2 que sa˜o os centros das circunfereˆncias pedidas. Basta agora construir as circunfereˆncias de centros nesses pontos e raios iguais a R. Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2 Questa˜o 3 [2,5 pt]Dados os segmentos de comprimento a, b e c, construa o segmento x = a2 − c2 b √ 10 . Soluc¸a˜o: Construa o segmento y = b √ 10. Para isso, construa um triaˆngulo retaˆngulo de catetos b e 3b. Nesse caso, a hipotenusa e´ o segmento y. Note que x = a2 − c2 b √ 10 ⇔ x = (a+ c)(a− c) b √ 10 ⇔ b √ 10 (a+ c) = (a− c) x . Isto e´, x e´ a quarta proporcional entre os segmentos y, a + c e a − c. Assim, para encontrar o segmento x construimos duas retas concorrentes e, partir do ponto de concorreˆncia, sobre a primeira reta construimos dois segmentos consecutivos de comprimentos y e a− c e na segunda reta um segmento de comprimento igual a a+ c. Unimos os extremos de y e a+ c por uma reta e pelo extremo final de a− c trac¸amos uma paralela a essa reta, que interceptara´ a reta conte´m o segmento a+ c formando um segmento consecutivo a este de comprimento x. Questa˜o 4 [2,5 pt]Obtenha o ponto equ¨idistante dos pontos A e B, de onde podemos observar o segmento CD sob um aˆngulo de 75◦. Soluc¸a˜o: Trace a mediatriz dos pontos A e B. Construa o arco capaz do segmento CD relativamente ao aˆngulo de 75◦. A mediatriz e o arco capaz se encontrara˜o em dois ponto P e Q que sera˜o soluc¸o˜es para a questa˜o. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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