AP1 CG 2014 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2013/2
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis.
Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para
ponsa´vel; ela reservado.
Questa˜o 1 [2,5 pt]Determine os pontos P , Q e R, tais que P ∈ s, R ∈ λ, P e Q sejam
sime´tricos em relac¸a˜o a r e R e Q sejam sime´tricos em relac¸a˜o a t.
Soluc¸a˜o: Encontre a reta s′ sime´trica de s em relac¸a˜o a r. Encontre a circunfereˆncia λ′
sime´trica de λ em relac¸a˜o a t. As intersec¸a˜o entre λ′ e s′ sa˜o os pontos Q1 e Q2, resultando em
duas soluc¸o˜es. Para encontrar os pontos P e R basta trac¸ar as perpendiculares por esses pontos
em relac¸a˜o as retas r e t, respectivamente.
Questa˜o 2 [2,5 pt]Determine os pontos P , Q e R, tais que P ∈ r, R ∈ λ, OQ
OP
=
5
3
e
O′Q
O′R
=
3
2
.
Soluc¸a˜o: Multiplique a reta r pela raza˜o
5
3
com centro de homotetia em O, obtendo a reta r′.
Multiplique a circunfereˆncia λ pela raza˜o
3
2
com centro de homotetia em O′, obtendo a circun-
fereˆncia λ′. As intersec¸a˜o entre λ′ e r′ sa˜o os pontos Q1 e Q2, resultando em duas soluc¸o˜es. Para
encontrar os pontos P e R basta trac¸a por esses pontos os raios de homotetia e interceptando
as figuras originais.
Construc¸o˜es Geome´tricas AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2013/2 2
Questa˜o 3 [2,5 pt]Construa o retaˆngulo de per´ımetro ma´ximo sendo P , Q e R pontos perten-
centes a treˆs lados distintos do retaˆngulo conhecendo-se a diagonal.
Soluc¸a˜o: Trace as semicircunfereˆncias de diaˆmetros PQ e QR. Ligue os centros O e O′ e trace
uma paralela a esse segmento passando por Q, interceptando as semicircunfereˆncias nos pontos
A e B. Ligue estes pontos aos pontos P e R. Com centro em A e raio igual a diagonal dada,
trace um arco que interceptara´ o prolongamento de BR no ponto C. Com centro em B e raio
igual a diagonal dada, trace um arco que interceptara´ o prolongamento de AP no ponto D. O
retaˆngulo ABCD e´ a soluc¸a˜o.
Questa˜o 4 [2,5 pt]De uma elipse sa˜o dados os diaˆmetros menor e maior. Determine a distaˆncia
focal. Resolva graficamente.
Soluc¸a˜o: Os diaˆmetros maior e menor de uma elipse correspondem aos eixos da elipse. Con-
siderando a o semi-eixo maior, b o semi-eixo menor e c a metade da distaˆncia focal, temos que
a2 = b2 + c2. Esta propriedade tambe´m valera´ para o eixo maior, o eixo menor e a distaˆncia
focal, pois formariam triaˆngulo semelhantes. Assim, basta construir um triaˆngulo retaˆngulo
ABC onde a hipotenusa AB e´ o eixo maior e um dos catetos AC e´ o eixo menor. Assim, o
cateto BC e´ a distaˆncia focal. Sobre uma reta construa uma segmento AB de comprimento
igual ao eixo maior. Construa uma circunfereˆncia de diaˆmetro AB. Com centro em A e raio
igual ao eixo menor marque um ponto C sobre a circunfereˆncia. O segmento BC e´ a distaˆncia
focal.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Construc¸o˜es Geome´tricas AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2013/2 3
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ