Aula4_zerosdefuncoesReais2

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Zeros de 
Funções ReaisFunções Reais
Métodos iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção 
II. Método da Posição Falsa 
III. Método do Ponto FixoIII. Método do Ponto Fixo
IV. Método de Newton-Raphson
V. Método da Secante
Métodos iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção
Seja com zero em 
As iterações são realizadas da forma
1)
)(xf
( )

 ∈ξ

 <
+
000 ,0)( xaafba
],[ ba
1)
2)
3) Continue o processo até que e 




=
=




>
>⇒==
+
=
01
01
0
000
00
0
0)(
0)(
2
xb
aa
xf
bfSebbaabax então e com
( )





=
=
∈ξ





<
>
<
⇒
+
=
12
12
11
1
1
1
11
1
,
0)(
0)(
0)(
2
bb
xa
bx
xf
bf
af
Sebax então 
( ) ε<nn ba , ),( é nn bax∈∀ξ
% Metodo da Bisseccao ( funcao bisseccao.m )
clc;
clear all;
format long;
x0 = input('digite o limite inferior (a) = '); 
x1 = input('digite o limite superior (b) = '); 
e = input('digite o valor de epsilon(e) = '); 
max = input('digite o valor maximo de iteracoes = ');
Código MatLab
max = input('digite o valor maximo de iteracoes = ');
x=sym('x');
f=x.^3-9.*x+3 %input('digite a expressao da funcao: '); 
f0=subs(f,x,x0); f1=subs(f,x,x1);
if f0.*f1<0 & abs(x1-x0)/abs(x1)<e
disp('CONVERGIU ');
solucao=[0 xm fm abs(x1-x0)/abs(x1)];
fprintf('%6.5d %6.12e %6.12e %6.12e\n',solucao);
break;
end
for k=1:max
xm=(x0+x1)/2;
fm=subs(f,x,xm);
if f0.*fm<0
x1=xm;
f1=fm;
else
x0=xm;
f0=fm;
end
if abs(x1-x0)/abs(x1)<e
disp('CONVERGIU ');
solucao=[k xm fm abs(x1-x0)/abs(x1)];solucao=[k xm fm abs(x1-x0)/abs(x1)];
fprintf('%6.5d %6.12e %6.12e %6.12e\n',solucao);
break;
end
solucao=[k xm fm abs(x1-x0)/abs(x1)];
fprintf('%6.5d %6.12e %6.12e %6.12e\n',solucao);
end
if k==max
disp('NAO CONVERGIU ');
end
Métodos iterativos - Zeros
II. Método da Posição Falsa
Seja contínua em , tal que 
. Se preserva o sinal em 
então o intervalo contem uma única raiz 
)(xf ],[ ba
0)()( <bfaf )(xf ′ ),( ba
),( baentão o intervalo contem uma única raiz 
de .
Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que 
contém a raiz até que , dividindo 
por meio de uma média aritmética ponderada
em .
ε<− )( ab ],[ ba
)(xf
],[ ba
),( ba
Métodos iterativos - Zeros
II. Método da Posição Falsa
Podemos esperar conseguir a raiz aproximada 
usando as informações sob os valores de
disponíveis a cada iteração.
)(xf
disponíveis a cada iteração.
Métodos iterativos - Zeros
)(xf
a
b
Métodos iterativos - Zeros
)( 0bf
 e 00 bbaa ==Considerando 
)(xf
)( 0af
b=b0
a=a0
Métodos iterativos - Zeros
)( 0bf
 e 00 bbaa ==Considerando 
)( 0xr
)(xf
)( 0af
b=b0
a=a0
x0
fazendo ( )00
0
0
0
00
0000
0 , então
0)(
0)(
0)(
 Se )()(
)()(
xa
xf
bf
af
bfaf
afbbfa
x ∈




>
>
<
⇒
+
+
= ξdesconsidera
este ponto 
Métodos iterativos - Zeros
)( 0bf
 e 00 bbaa ==Considerando 
)( 0xr
)(xf
)( 0af
b=b0
a=a0
x0
Graficamente, o ponto é a intersecção entre o eixo x
e a reta que passa por e ou 
equivalentemente e . 
0x
)( 0xr ( ))(, afa ( ))(, bfb( ))(, 00 afa ( ))(, 00 bfb
Métodos iterativos - Zeros
)( 0bf
 e 00 bbaa ==Considerando 
)( 0xf
)( 0xr
)(xf
)( 0af
b=b0
a=a0
x0
fazendo ( )00
0
0
0
00
0000
0 , então
0)(
0)(
0)(
 Se )()(
)()(
xa
xf
bf
af
bfaf
afbbfa
x ∈




>
>
<
⇒
+
+
= ξdesconsidera
este ponto 
Métodos iterativos - Zeros
)( 0bf
 e 00 bbaa ==Considerando 
)( 0xr
)(xf
)( 0af
b=b0
a=a0
x0
fazendo ( )00
0
0
0
00
0000
0 , então
0)(
0)(
0)(
 Se )()(
)()(
xa
xf
bf
af
bfaf
afbbfa
x ∈




>
>
<
⇒
+
+
= ξdesconsidera
este ponto 
Métodos iterativos - Zeros
)( 0bf
 e 00 bbaa ==Considerando 
)( 0xr
)(xf
ξ
)( 0af
b=b0
a=a0
x0
fazendo ( )00
0
0
00
0000
0 , então
0)(
0)(
 Se )()(
)()(
xa
xf
af
bfaf
afbbfa
x ∈




>
<
⇒
+
+
= ξ
Métodos iterativos - Zeros
)( 1bf
Considerando e 0101 xbaa ==
)(xf
)( 1af
a=a0=a1
x0=b1
Métodos iterativos - Zeros
)( 1bf
Considerando e 0101 xbaa ==
)(xf
)( 1af
a=a0=a1
x0=b1
fazendo ( )11
1
1
1
11
1111
1 , então
0)(
0)(
0)(
 Se )()(
)()(
bx
xf
bf
af
bfaf
afbbfa
x ∈




<
>
<
⇒
+
+
= ξ
Métodos iterativos - Zeros
)( 1bf
Considerando 
)( 1xr
 e 0101 xbaa ==
)(xf
)( 1af
a=a0=a1
x0=b1
fazendo ( )11
1
1
1
11
1111
1 , então
0)(
0)(
0)(
 Se )()(
)()(
bx
xf
bf
af
bfaf
afbbfa
x ∈




<
>
<
⇒
+
+
= ξ
Métodos iterativos - Zeros
)( 1bf
Considerando 
)( 1xr
 e 0101 xbaa ==
)(xf
)( 1af
a=a0=a1
x0=b1
fazendo ( )11
1
1
1
11
1111
1 , então
0)(
0)(
0)(
 Se )()(
)()(
bx
xf
bf
af
bfaf
afbbfa
x ∈




<
>
<
⇒
+
+
= ξContinua o processo até que 
ε<)( kxf kx=ξ
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa
Seja com um zero em .
As iterações são realizadas da forma
)(xf ],[ ba
1)
2) Continue o processo até que e .
( )





=
=
∈ξ





>
>
<
⇒
+
+
=
01
01
00
0
0
0
00
0000
0
,
0)(
0)(
0)(
)()(
)()(
xb
aa
xa
xf
bf
af
bfaf
afbbfa
x então Se 
ε<)( kxf kx=ξ
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - Exemplo
Seja com e .
Temos . 
39)( 3 +−= xxxf ]1,0[=I 310−=ε
0)1(e0)0( <> ff
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - Exemplo
Seja com e .
Temos . 
39)( 3 +−= xxxf ]1,0[=I 310−=ε
0)1(e0)0( <> ff
Obtemos em três iterações. O Método da bissecção 
necessitava de 10 iterações para tal precisão.
3376.0=x
Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak
k=1 0 1 0.375 -3.2226 0.375
k=2 0 0.375 0.3386 -8.7902X10-3 0.3386
k=3 0 0.3386 0.3376 -2.2588X10-4 0.3376
Um dos critérios de parada foi atingido
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - Exemplo
Seja com e .
Temos . 
39)( 3 +−= xxxf ]1,0[=I 310−=ε
0)1(e0)0( <> ff
Obtemos em três iterações. O Método da bissecção 
necessitava de 10 iterações para tal precisão.
3376.0=x
Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak
k=1 0 1 0.375 -3.2226 0.375
k=2 0 0.375 0.3386 -8.7902X10-3 0.3386
k=3 0 0.3386 0.3376 -2.2588X10-4 0.3376
Um dos critérios de parada foi atingido
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - Exemplo
Seja com e .
Temos . 
39)( 3 +−= xxxf ]1,0[=I 310−=ε
0)1(e0)0( <> ff
Obtemos em três iterações. O Método da bissecção 
necessitava de 10 iterações para tal precisão.
3376.0=x
Iteraçãoak bk xk f(xk) bk-ak
k=1 0 1 0.375 -3.2226 0.375
k=2 0 0.375 0.3386 -8.7902X10-3 0.3386
k=3 0 0.3386 0.3376 -2.2588X10-4 0.3376
Um dos critérios de parada foi atingido
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - Exemplo
Seja com e .
Temos . 
39)( 3 +−= xxxf ]1,0[=I 310−=ε
0)1(e0)0( <> ff
Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak
k=1 0 1 0.375 -3.2226 0.375
k=2 0 0.375 0.3386 -8.7902X10-3 0.3386
k=3 0 0.3386 0.3376 -2.2588X10-4 0.3376
Um dos critérios de parada foi atingido
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - Exemplo
Seja com e .
Temos . 
39)( 3 +−= xxxf ]1,0[=I 310−=ε
0)1(e0)0( <> ff
Obtemos em três iterações. O Método da bissecção 
necessitava de 10 iterações para tal precisão.
3376.0=x
Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak
k=1 0 1 0.375 -3.2226 0.375
k=2 0 0.375 0.3386 -8.7902X10-3 0.3386
k=3 0 0.3386 0.3376 -2.2588X10-4 0.3376
Um dos critérios de parada foi atingido
Método da Posição Falsa
I. Estudo da Convergência
Teorema: O método da posição falsa gera uma 
sequência convergente se for contínua em )(xfsequência convergente se for contínua em 
com e se preserva o 
sinal em .
Comentário: A convergência é mais rápida que no 
método da bisecção.
)(xf
],[ ba 0)()( <bfaf )(xf ′
),( ba
Método do Ponto Fixo (MPF)
� Seja contínua em , intervalo este 
contendo uma raiz da equação .
)(xf ],[ ba
0)( =xf
� O MPF consiste em transformar esta 
equação em uma equação equivalente 
e a partir de um gerar uma sequência 
de aproximações para através da relação
=> Processo Recursivo
)(xx ϕ=
0x }{ kxξ
)(1 kk xx ϕ=+
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
Método do ponto fixo (MPF)
� Exemplo1. Considere a equação 062 =−+ xx


−= 6)( 21 xxϕ
� Possíveis funções 
de iterações 









+
=
−=
−±=
−=
1
6)(
16)(
6)(
6)(
4
3
2
1
x
x
x
x
xx
xx
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Método do ponto fixo (MPF)
� Exemplo1. Considere a equação 062 =−+ xx
22 6 06 xxxx −=⇒=−+
xxxxxx −±=⇒−=⇒=−+ 6 6 06 22
)1(
6
 06)1( 062
x
xxxxx
+
=⇒=−+⇒=−+
xxxxxx −±=⇒−=⇒=−+ 6 6 06 22
16 061 062 −=⇒=−+⇒=−+
x
x
x
xxx
Método do ponto fixo (MPF)
� Forma geral das funções de iteração:
)()()( xfxAxx +=ϕ
com a condição . 
Exemplo: 
0)( ≠ξA
)6(6)(
606
22
)(
22
−+−=−=⇒
−=⇒=−+
xxxxx
xxxx
x
ϕ
ϕ
321
Método do ponto fixo (MPF)
� As raízes da equação são 
e . Consideremos e a 
função de iteração . Tomando 
062 =−+ xx
31 −=ξ 22 =ξ 22 =ξ
2
1 6)( xx −=ϕ
5.1=x , temos5.10 =x
)(1 kk xx ϕ=+







−=−−==
−=−==
=−==
M
003906.59)0625.8(6)(
0625.8)75.3(6)(
75.3)5.1(6)(
2
23
2
12
2
01
xx
xx
xx
ϕ
ϕ
ϕ
não está convergindo para}{ kx 22 =ξ
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
2
1 6)( xx −=ϕ
x
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
2
1 6)( xx −=ϕ
x0
x
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
2
1 6)( xx −=ϕ
x0
x
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
2
1 6)( xx −=ϕ
x0
x
x1
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
2
1 6)( xx −=ϕ
x0
x
x1
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
2
1 6)( xx −=ϕ
x0
x
x1
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
x2
2
1 6)( xx −=ϕ
x0
não está convergindo para}{ kx 22 =ξ
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
xx −= 6)(2ϕ
xx0
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
xx −= 6)(2ϕ
xx0
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
xx −= 6)(2ϕ
xx0
Método do ponto fixo (MPF) - Graficamente
xx −= 6)(2ϕ
xx0
Método do ponto fixo (MPF)
� Consideremos agora a função de iteração 
com xx −= 6)(2ϕ 5.10 =x

 =−=ϕ= 12132.25.16)( 01 xx
)(1 kk xx ϕ=+










=−=ϕ=
=−=ϕ=
=−=ϕ=
=−=ϕ=
M
00048.299809.16)(
99809.100763.26)(
00763.296944.16)(
96944.112132.26)(
45
34
23
12
01
xx
xx
xx
xx
está convergindo para}{ kx 22 =ξ
Método do ponto fixo (MPF)
� Teorema: 
Seja uma raiz da equação , isolada 
num intervalo I centrado em . E seja 
uma função de iteração de .
ξ 0)( =xf
ξ )(xϕ
uma função de iteração de .
Se (i) e são contínuas em I,
(ii) e
(iii) ,
então converge para .
)(xϕ′)(xϕ
IxMx ∈∀<≤′ ,1|)(|ϕ
Ix ∈0
}{ kx ξ
0)( =xf
Método do ponto fixo (MPF)
� Demonstração do teorema MPF: 
� 1ª parte: se , então .
Se , então: .
Ix ∈0
( )ξϕ=ξ⇒=ξ 0)(f
ℑ∈∀∈ kIxk ,
( ) ( )ξϕ−ϕ=ξ−+ kk xx 1Se , então: .
Do Teorema do Valor Médio, se é 
contínua e diferenciável, então:
Obs: O intervalo seguinte é menor e centrado em .
)(xϕ
( )ξϕ=ξ⇒=ξ 0)(f ( ) ( )ξϕ−ϕ=ξ−+ kk xx 1
( )[ ]( ) ( )ξ∈ξ−ϕ′=ξ−+ ,1 kkkkk xcxcx
( ) ( )[ ] IxIxcxx kkkkk ∈⇒∈<ϕ′ξ−<ξ− ++ 11 Se.1pois
ξ
Método do ponto fixo (MPF)
� Demonstração do teorema MPF: 
� 2ª parte: Provar que .ξ=
∞→
kk
xLim
( )ξ−≤ξ− xMx
Obs: Como , então .
( )ξ−≤ξ− 01 xMx
( ) ( )ξ−≤ξ−≤ξ− 0212 xMxMx
( ) ( )ξ−≤ξ−≤ξ−
− 01 xMxMx
k
kk
10 <<M ξ=
∞→
kk
xLim
Estudo da Convergência do MPF
� Estudo da raiz da equação 
quando consideramos a função de iteração 
062 =−+ xx2=ξ
2
1 6)( xx −=ϕ
� A- e são contínuas.
� B- . Não existe intervalo
em torno de que satisfaça a condição do 
teorema MPF.
2
1 6)( xx −=ϕ xx 2)(1 −=′ϕ
2
1
2
11)(1 <<
−
⇔<′ϕ xx
2=ξ
Estudo da Convergência do MPF
� Estudo da raiz da equação 
quando consideramos a função de iteração 
062 =−+ xx2=ξ
xx −=ϕ 6)(2
� A- e são 
contínuas se . Em torno de a condição é 
satisfeita. 
� B-
No intervalo em torno de a condição do 
teorema MPF é satisfeita.
6<x 2=ξ
xx −=ϕ 6)(2 ( ) 12 62)( −−−=′ϕ xx
( ) 75.51621)( 12 <⇒<−⇒<′ϕ − xxx
2=ξ
Método do ponto fixo (MPF)
� Critérios de Parada do MPF
Critério 1: ( ) ε<−ϕ=−
−−− 111 kkkk xxxxCritério 1:
Critério2: 
( ) ε<−ϕ=−
−−− 111 kkkk xxxx
( ) ε<kxf
Método do ponto fixo (MPF)
� Exemplo do critério de parada do MPF
� Seja a função com equação 
equivalente ,
e .
( ) 393 +−= xxxf
( ) 3/19/3 +=ϕ xx ( ) 5.0com1,0 0 =∈ξ x
4105 −×=εe .105×=ε
Iteração x f(x)
1 0.3472 -0.8314X10-1
2 0.3380 -0.3253X10-2
3 0.3376 -0.1240X10-3
ε=<==−=− −− 4423 10x510x40004.03380.03376.0xx
Método do ponto fixo (MPF)
� Ordem de convergência
Seja uma sequência que converge para e seja
o erro na iteração . Se existir um número
{ }kx
ξ−=ε kk x
ξ
k 1≥p
e uma constante , tais que
Então é chamada de ordem da convergência e 
é a constante assintótica.
CLim p
k
k
k
=
ε
ε +
∞→
1
0>C
p C
Método do ponto fixo (MPF)
� Do Teorema doValor Médio, se é 
contínua e diferenciável, então
)(xϕ
( )[ ]( ) ( )ξ∈ξ−ϕ′=ξ−+ ,1 kkkkk xcxcx
� Ordem de convergência do MPF
Vimos que no MPF
para que haja convergência
( ) ( ) 11 <ξϕ′=ϕ′=
ξ−
ξ−
∞→
+
∞→
kk
k
k
k
cLim
x
x
Lim
( )[ ]( ) ( )+ ,1 kkkkk xcxcx
Método do ponto fixo (MPF)
Obs1: O MPF converge linearmente.
Obs2: A convergência é mais rápida quanto menor for o 
valor de . ( )ξϕ′
Método Newton-Raphson (MNR)
Vimos que no MPF, para que haja convergência,
1: e
2: a convergência é mais rápida quanto menor for o 
valor de . ( )ξϕ′
( ) 1<ξϕ′
valor de . 
O MNR é MPF com convergência acelerada.
Consiste em escolher tal que .
( )ξϕ′
( ) 0=ξϕ′( )ξϕ
Método Newton-Raphson (MNR)
Temos para o Método de Newton-Raphson 
( ) ( )
( ) ( )
)()()()(1)()( xfxAxfxAxxfxAxx ′+′+=′⇒+= ϕϕ
( ) ( )
( )
( ) )(
)(
)(
1)( Logo,
)(
1)(0)()(10 Queremos
)()(1)()()()(1
xf
xf
xx
xfxA
fAfA
fAfAfA
′
−=⇒
′
−
=
′
−
=⇒=′+⇒=′
′+=′⇒′+′+=′
ϕ
ξξξξξϕ
ξξξϕξξξξξϕ
Método Newton-Raphson (MNR)
Exemplo do Método de Newton-Raphson.
Seja a função com . 
Seja . Do MNR devemos escolher a função
equivalente
( ) 62 −+= xxxf 2=ξ
5.10 =x
6)(
2
−+
−=ϕ xxxxequivalente
Obtemos
� A convergência do MNR é mais rápida que aquela do 
MPF 
12
6)(
+
−+
−=ϕ
x
xx
xx
0625.2)5.1(1 =ϕ=x5.10 =x
0008.2)0625.2(2 =ϕ=x
0000.2)0008.2(3 =ϕ=x
Método Newton-Raphson (MNR)
Teorema: Sejam contínuas num 
intervalo que contem a raiz de . 
Suponha que , então existe um intervalo 
contendo a raiz , tal que se , a 
ξ=x
)(),(),( xfxfxf ′′′
0)( =xf
Ix ∈0
I
0)( ≠ξ′f
II ⊂ ξcontendo a raiz , tal que se , a 
sequência gerada pela fórmula recursiva
,
convergirá para a raiz.
Ix ∈0
{ }kx
II ⊂ ξ
)(
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx
′
−=+
Método Newton-Raphson (MNR)
� Ordem de convergência do MNR
Suponha que o MNR gere uma sequência que
converge para . A ordem de convergência do MNR é
{ }kxξconverge para . A ordem de convergência do MNR é
quadrática.
Comentário: A ordem de convergência do MPF é linear, 
mas o fato da exigência de , faz a 
convergência do MNR ser quadrática.
ξ
( ) 0=ξϕ′
Método da Secante
No método de Newton há a necessidade de
calcular e o seu valor numérico a cada
iteração. Esta é uma desvantagem do MNR.
O Método da Secante substitui a derivada 
( )xf ′
O Método da Secante substitui a derivada 
pela secante. Assim
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1
11
1
1
1
−
−−
−
−
+
−
−
=






−
−
−=
kk
kkkk
kk
kk
k
kk
xfxf
xfxxfx
xx
xfxf
xf
xx
Método da Secante
No método de Newton há a necessidade de
calcular e o seu valor numérico a cada
iteração. Esta é uma desvantagem do MNR.
O Método da Secante substitui a derivada 
( )xf ′
O Método da Secante substitui a derivada 
pela secante. Assim
Note que são necessárias duas aproximações para 
iniciar o Método da Secante.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1
11
1
1
1
−
−−
−
−
+
−
−
=






−
−
−=
kk
kkkk
kk
kk
k
kk
xfxf
xfxxfx
xx
xfxf
xf
xx
Método da Secante
Exemplo do Método da Secante
Seja a função com . 
Seja e . Do Método da Secante obtemos
a seqüência
( ) 62 −+= xxxf 2=ξ
5.10 =x 7.11 =x
7.11 =x
5.10 =x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0335.2
25.241.1
25.27.141.15.1
01
0110
2 =
+−
−−−
=
−
−
=
xfxf
xfxxfx
x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 9977.1
41.11798.0
41.10357.21798.07.1
12
1221
3 =
+
−−
=
−
−
=
xfxf
xfxxfx
x
( ) ( )
( ) ( ) 0000.223
2332
4 =
−
−
=
xfxf
xfxxfx
x
Método da Secante
Ordem de Convergência do Método da Secante
Mostra-se que a ordem de convergência do 
Método da Secante é maior que aquela do 
MPF (p=1) e menor que aquela do MNR 
(p=2). Verifica-se que a ordem de 
convergência do Método da Secante é 
p=1.618 ...
Comparação dos Métodos
� O MPF, MNR e MS têm convergência mais rápida 
que os Métodos da Bissecção e da Posição Falsa, 
considerando apenas o número de iterações.
� Por outro lado, o MNR é aquele que efetua o maior 
número de operações, pois calcula o valor da número de operações, pois calcula o valor da 
derivada de f(x) a cada iteração.
� O esforço computacional depende do número de 
operações efetuadas a cada iteração, a 
complexidade destas operações, de número de 
decisões lógicas, do número de avaliações de 
funções a cada iteração e do número de iterações.
Comparação dos Métodos
No caso geral, não há método melhor!!!!!
Obs: Se o cálculo da derivada de f(x) não for 
muito elaborado, o MNR é indicado, caso 
contrário o MS é aconselhável.
Exercícios
Resolver os seguintes exercícios do capítulo 2 
11, 12, 16, 19