FEE - Aula 5 - Series Uniformes

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FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA - 
AULA 5 
Prof. M. Sc. Renato Teixeira da Silva 
renato.teixeira.prof@gmail.com 
http://sites.google.com/site/renatoteixeiraprof 
 
1 
OBJETIVOS DA AULA 
 
 Revisão da aula anterior 
 
 Estender o conceito de equivalência de capitais 
para séries uniformes 
 
 
2 
NA AULA ANTERIOR... 
 Equivalência de capitais 
3 
Quando o valor está 
DEPOIS da data focal 
Quando o valor está 
ANTES da data focal 
1 0 
A 
4 
D 
2 3 
B C 
Data 
Focal 
SÉRIES UNIFORMES 
Um jovem engenheiro quer garantir sua 
aposentadoria e decidiu guardar todo mês R$200 
começando em janeiro de 2013 até dezembro de 
2032. Sabendo que a taxa de mercado é de 0,5% 
a.m., qual será o montante acumulado em janeiro 
de 2033? 
4 
SÉRIES UNIFORMES 
5 
 
 
200*(1+0,005)360 + 200*(1+0,005)359 + 200*(1+0,005)358 + 200*(1+0,005)357 
+...+ 200*(1+0,005)2 + 200*(1+0,005)1 = Montante 
SÉRIES UNIFORMES 
 Série (anuidade): conjunto de prestações (PMT) 
periódicas e constantes. 
 positivas (plano de poupança, entradas de caixa) 
 negativas (pagamento de aluguel, saídas de caixa) 
 
 
 
 Fluxo de caixa uniforme – Composto por valor 
presente (VP) ou valor futuro (VF), taxa de juros 
(i), tempo (n) e prestações iguais e periódicas 
(PMT) 
 6 
SÉRIES UNIFORMES 
 Classificação quanto ao número de termos 
 Finita 
 
 
 
 
 
 Infinita 
7 
∞ ... 
... 
SÉRIES UNIFORMES 
 Modalidades de Pagamento - Imediata 
 Antecipada – Parcelas pagas no INÍCIO do período 
 
 
 
 
 
 Postecipada – Parcelas pagas no FINAL de cada 
período 
8 
SÉRIES UNIFORMES 
 Modalidades de Pagamento - Diferida 
 Antecipada – Parcelas pagas no início do período após 
uma carência 
 
 
 
 
 
 Postecipada – Parcelas pagas no FINAL de cada 
período após uma carência 
9 
SÉRIES UNIFORMES 
10 
VP = PMT x an,i 
VF = PMT x sn,i 
VP = PMT (1+i) x an,i 
VF = PMT (1+i) x sn,i 
Infitita e postecipada 
VP = PMT 
i 
1 0 4 2 3 
PMT 
n-1 n ... 
VP 
1 0 4 2 3 
PMT 
n-1 n ... 
VF 
1 0 4 2 3 
PMT 
n-1 n ... 
VF 
1 0 4 2 3 
PMT 
n-1 n ... 
VP 
Postecipado Antecipado 
SÉRIES UNIFORMES 
11 
Fator de valor atual (FVA) de 
uma série de pagamentos 
Fator de acumulação de capital 
(FAC) de uma série de 
pagamentos 
SÉRIES UNIFORMES - EXEMPLOS 
1) Um bem cujo preço à vista é de R$ 4.000,00 será pago 
em oito prestações mensais iguais pagas o fim de cada 
mês. Considerando que o juro composto cobrado será 
de 5% a. m., calcular o valor das prestações. 
R: R$ 618,89 
 
 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑉𝑃
𝑎𝑛 𝑖
=
4000
1,05 8 − 1
1,05 8 × 0,05
= 𝑅$ 618,89 
 
 
12 
SÉRIES UNIFORMES - EXEMPLOS 
2) No exemplo anterior, considerando que no ato da 
compra foi paga uma entrada de 20% sobre o valor à 
vista, calcular o valor das prestações. 
R: R$ 495,11 
 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑉𝑃 − 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑎𝑛 𝑖
=
4000 − 800
1,05 8 − 1
1,05 8 × 0,05
= 𝑅$ 495,11 
 
13 
SÉRIES UNIFORMES - EXEMPLOS 
3) Uma pessoa pode abater R$ 7.500 se entregar seu 
carro usado na compra de um veiculo novo, cujo valor à 
vista R$18.500. O saldo será pago por meio de uma 
determinada entrada, mais18 prestações mensais 
postecipadas de R$ 350. Considerando que foram 
aplicados juros nominais de 72% a.a. capitalizados 
mensalmente, calcular o valor da entrada. 
R: R$7.210,34 
Taxa de juros efetiva mensal 
1 + 𝑖𝑚 = 1 +
0,72
12
 → 𝑖𝑚= 6% 𝑎.𝑚. 
 
Cálculo das prestações 
𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝑎𝑛 𝑖 
 
18500 − 7500 − 𝐸 = 350 ×
1,06 18 − 1
1,06 18 × 0,06
 → 𝐸 = 𝑅$7.210,34 
 
 
14 
SÉRIES UNIFORMES - EXEMPLOS 
4) Quanto se deve aplicar hoje em um investimento de 
forma que se possa retirar R$100.000 no fim de todo mês, 
durante os próximos 20 meses, considerando uma taxa de 
juros nominal de 120% a. a. capitalizada mensalmente? 
R: R$ 851.356,37 
 
Taxa de juros efetiva mensal 
1 + 𝑖𝑚 = 1 +
1,20
12
 → 𝑖𝑚 = 10% 𝑎.𝑚. 
 
Cálculo das prestações 
 
𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝑎𝑛 𝑖 = 100.000 ×
1,10 20 − 1
1,10 20 × 0,10
 = 𝑅$851.356,37 
 15 
SÉRIES UNIFORMES - EXEMPLOS 
5) Um financiamento de R$ 50.000 será pago em 12 
prestações mensais aplicando-se juros efetivos de 8% a. m. 
Considerando que foi estipulado um período de carência 
de três meses, calcular o valor das prestações antecipadas 
e postecipadas. 
R: R$ 7.738,77 e R$8.357,87 
Atualização do financiamento para o mês 3 
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 = 50.000 1 + 0,08 3 = 62.985,60000 
 
Antecipadas 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑉𝑃
1 + 𝑖 𝑎𝑛 𝑖
=
62.985,60000
1,08
1,08 12 − 1
1,08 12 × 0,08
= 𝑅$ 7.738,77 
Postecipadas 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑉𝑃
𝑎𝑛 𝑖
=
62.985,60000
1,08 12 − 1
1,08 12 × 0,08
= 𝑅$ 8.357,87 
16 
SÉRIES UNIFORMES - EXEMPLOS 
6) Um bem cujo valor à vista é de R$ 10.000 será pago por 
meio de uma entrada de 20% mais 13 prestações 
antecipadas mensais de R$ 800 cada e mais um 
pagamento final junto com a última prestação 
Considerando que são aplicados juros efetivos de 4% a.m. 
e que há um período de carência de três meses, calcular o 
valor do pagamento final de modo que a dívida seja 
liquidada. 
 
 
 
 
 
10.000 = 2.000 + 800
1,04 13 − 1
1,04 13 × 0,04
×
1
1,04 2
+
𝑌
1,04 15
 
 
𝒀 = 𝑹$ 𝟏. 𝟏𝟎𝟔, 𝟎𝟖 
17 
PMT = R$800 
R$10.000 
1 0 4 2 3 5 15 ... 
Y E = 0,2 x R$10.000 
SÉRIES UNIFORMES - EXEMPLOS 
7) Uma pessoa deposita trimestralmente R$120 em uma 
conta remunerada que paga juros de 6%a.t. Em quanto 
tempo acumulará um capital de R$1.187,70? 
 
 
 
𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝑠𝑛 𝑖 
 
 
1.187,70 = 120 ×
1,06 𝑛 − 1
0,06
 
 
1,06 𝑛 = 1,59385 
 
𝑛 = 8 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 
 
18 
SÉRIES UNIFORMES - EXEMPLOS 
8) Uma pessoa deseja dispor de R$ 13.000 dentro de 6 meses. 
Para tal efeito, começa hoje a depositar todo início de mês 
em uma aplicação que paga juros efetivos de 4% a.m. Qual o 
valor de cada depósito antecipado de modo que disponha da 
quantia ao término do sexto mês Qual o valor de cada 
depósito antecipado de modo que disponha da quantia ao 
início do sexto mês? 
R: R$ 1884,52 e R$ 1.959,90 
Ao término do sexto mês (antecipada – montante um mês após a última parcela) 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑉𝐹
1 + 𝑖 𝑠𝑛 𝑖
=
13.000
1 + 0,04
1,04 6 − 1
0,04
= 𝑅$ 1.884,52 
 
Ao início do sexto mês (postecipada – última parcela coincide com o montante) 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑉𝐹
𝑠𝑛 𝑖
=
13.000
1,04 6 − 1
0,04
= 𝑅$ 1.959,90 
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SÉRIES UNIFORMES - EXEMPLOS 
9) Uma instituição de previdência privada utiliza-se das 
seguintes taxas de juros: paga 0,95% a.m. sobre os depósitos 
(contribuições) feitos pelos seus clientes e paga 0,45% a.m. 
sobre o capital acumulado para compor a renda vitalícia 
(aposentadoria) deles. De quanto deverá ser a 
aposentadoria de uma pessoa que contribui com R$66,36 
mensais durante 35anos? 
R: R$ 1.636,00 
Cálculo do montante acumulado no mês da última contribuição (postecipada) 
 
𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝑠𝑛 𝑖 = 66,36 ×
1,0095 35×12 − 1
0,0095
= 𝑅$ 363.557,68 
 
Cálculo da aposentadoria mensal 
 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝑖 = 363.557,68 × 0,0045 = 𝑅$ 1.636,00 20 
REFERÊNCIAS 
 Notas de aula – Prof Brandalise – EEIMVR/UFF 
 Apostila de Matemática Financeira Prof. Eron CEFET-BA 
 Matemática Financeira – Matias e Gomes . Editora atlas 
 Apostila de Matemática FinanceiraProf. Fernando Guerra – 
UFSC 
 Matemática Financeira – Carlos Patricio Samanez 
 
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