CAP. 7 VAR. ALEAT

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100 
CAPÍTULO 7 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 
A probabilidade teve início com os jogos de azar (século XVII) com Cavaleiro de Nere, Fermat e 
Pascal, porém, coube a Bernoulli (1713) lançar as bases da probabilidade e a seguir Laplace fez grandes 
contribuições. 
 
1. Conceito de variável aleatória 
 Podemos estudar, por exemplo, algumas características dos alunos do Curso de estatística. 
 
 Classe de alunos variável aleatória 
 aspectos 
 alturas ( ) 
 pesos ( ) 
 idades ( ) 
 procedências ( ) 
 sexo (0,1) 
 
 Seja S: espaço amostral e 
ia
um elemento de S 
 
 
 
 
 
 
 
 Espaço amostral discreto 
( )X S
:conjunto imagem 
 
 Nestas condições podemos associar a cada 
ia S
 um único valor 
( )iX a
.
 
 A essa função X denominamos variável aleatória. A variável aleatória X representa um valor numérico 
associado a cada resultado de um experimento de probabilidade. A palavra aleatória indica que os valores são 
determinados pelo acaso. 
 Estudaremos dois tipos de variáveis aleatórias. 
 
1.1 Variável aleatória discreta 
 
 Se X é uma variável aleatória definida em S com valores possíveis de X finito ou enumerável, dizemos 
que X é variável aleatória discreta. 
 
1.2 Variável aleatória contínua 
 
 Se X é uma variável aleatória definida em S com valores no intervalo de números reais. Nessas 
condições, X denomina-se variável aleatória contínua. 
 Estudaremos primeiramente a variável aleatória discreta. 
 
Exemplo 1: 
 Seja o espaço amostral S obtido pelo lançamento de dois dados. Neste caso S é definido 
por:
 (1,1),(1,2),..., (6,6)S 
 e tem 36 elementos. 
ia
 ( )iX a
 
 101 
 Definimos a variável aleatória X por: 
 X: associa a cada ponto 
( , )ia a b S 
 a sua soma 
a b
, nesse caso o conjunto imagem é dado por: 
 ( ) 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12X S 
 
 
Exemplo 2: 
 Seja uma urna com 2 bolas brancas e 3 vermelhas. Retirando-se 2 bolas sem reposição dessa urna. 
Definimos a variável X : número de bolas vermelhas. 
O esquema abaixo mostra as possibilidades de retirada das duas bolas. 
 . 
 X 
 
 
 
 
 
 
 Logo 
 ( ) 0,1,2,X S 
 
 
2. Função probabilidade 
 Sejam X a variável aleatória discreta e seus possíveis valores 
1 2 3, , ,..., .nx x x x
 Se a cada valor 
ix
 
associamos um número 
( )ip x  ( ),ip x x
probabilidade de 
ix
, tal que: 
 
 a) 
( ) 0,ip x 
 para todos 
ix
 e 
 
 b) 
1
( ) 1
n
i
i
p x


, a essa função 
( )ip x
 denominamos função de probabilidade da variável aleatória 
discreta X. Do exemplo 2, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A distribuição de probabilidade na variável discreta X : número de bolas vermelhas é 
 
( )ip x
 
ix
 0 1 2 
 
( )ip x
 1/10 6/10 3/10 
 
 
 0 1 2 
ix
 
 
 
Resultados possíveis 
ix
 Probabilidade 
( )ip x
 X 
BB 
BV 
VB 
VV 
2 / 5.1/ 4 1/10
 
2 / 5.3/ 4 3/10
 
3/ 5.2 / 4 3/10
 
3/ 5.2 / 4 3/10
 
0 
1 
1 
2 
BB
BV 
VB 
VV 
0 
1 
1 
2 
 
0,6 
 
0,3 
0,1 
 102 
Exemplo 3: 
 No lançamento de duas moedas dar a distribuição de probabilidade da variável número de caras C e 
número de coroas K e sua representação gráfica. 
 
Solução: A tabela indica as possibilidades e suas probabilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A distribuição de probabilidade na variável discreta X : número de caras é dada por: 
 
 
ix
 0 1 2 
 
( )ip x
 1/4 2/4 1/4 
 
 
 
Exemplo 4: 
 Dar a distribuição de probabilidade da variável X do exemplo 1 e dê sua representação gráfica. 
 
Solução: A tabela indica os resultados possíveis e suas probabilidades. 
 
i
x
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
( )
i
p x
 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 
 
A representação gráfica é dada por. 
 
 
( )
i
p x
 
 6/36 
 
 5/36 
 
 4/36 
 
 3/36 
 
 2/36 
 
 1/36 
 
 
i
x
 
 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
Resultados possíveis Probabilidade X 
KK 
CK 
KC 
CC 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
0 
1 
1 
2 
 103 
 
 
3. Função de distribuição acumulada. 
 
 Seja X uma variável aleatória discreta. Denomina-se função de distribuição acumulada de um ponto x, 
como a soma das probabilidades dos valores 
ix
menores ou iguais a x, isto é: 
 
( ) ( )
i
i
x x
F x p x


 
Exemplo 5: 
Calcule 
( )F x
 para o exemplo 4, sendo x=2, x=5, x=13 e x=3,5. 
Resolução 
 
2
(2) ( ) 1/36
i
i
x
F p x

 
 
 
5
(5) ( ) 10/36
i
i
x
F p x

 
 
 
13
(13) ( ) 1
i
i
x
F p x

 
 
 
3,5
(3,5) ( ) 3/ 36
i
i
x
F p x

 
 
Exemplo 6: 
No lançamento de três moedas definimos X: número de caras. Assim 
a) O espaço amostral S é dado por. 
 , , , , , , ,S ccc cck ckc kcc ckk kck kkc kkk
 
 
b) A distribuição de probabilidade da variável número de caras é. 
 
ix
 0 1 2 3 
 
( )ip x
 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
c) A probabilidade de ocorrerem no máximo 2 caras. 
 
 Da tabela podemos escrever: 
( 2) 1/8 3/8 3/8 7/8p x     
. 
 
d) A Função de distribuição acumulada, e sua representação gráfica é dada por. Lembrando 
que
( ) ( )
i
i
x x
F x p x


.A solução é dada por: 
 
0, 0
1 / 8, 0 1
( ) 4 / 8, 1 2
7 / 8, 2 3
1, 3
se x
se x
F x se x
se x
se x

  

  
  


 
 
 
 
0 1 2 3
1/8
4/8
7/8
1
x
F(x)
 
 
 
 104 
 Exercícios de aplicação 19: 
 
 1. Seja X variável aleatória discreta definida por: 
 
 1/ 5, 1
( )
4 / 5, 0,
se x
f x
se x

 

 
 então a Função de distribuição acumulada é dada por: 
 
0, 0
( ) 4 / 5, 0 1
1, 1
sex
F x se x
se x


  
 
 
 
Dê o gráfico de 
( ) ( )f x eF x
. 
 
 
 
 
 
2. Seja X a variável aleatória discreta que assume os valores 0,1 e 2, tendo as probabili-dades 1/3, 1/6 e 1/2 
respectivamente. Determinar: 
a)A função distribuição acumulada 
( )F x
. 
 
 
 
 
 
 
b) O gráfico de 
( ).F x
 
 
 
 
 
 
 
 
3. No lançamento de um dado define-se variável aleatória X: número de pontos obtidos. Definir a função 
distribuição acumulada e dar seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 105 
 
 4. Valor esperado ou Esperança de uma variável aleatória discreta ou média 
 
 Sejam X a variável aleatória discreta e seus possíveis valores 
1 2 3, , ,..., nx x x x
, e 
 
1: ( ),P p x
 
2
( ),p x
3
( ),p x
... ,
( ),
n
p x
suas respectivas probabilidades, então denomina-se valor esperado ou 
 esperança matemática de X e se indica por E(X) a soma dos produtos dos valores da variável X pelas 
 respectivas probabilidades. 
 
1
( ) ( )
n
i i x
i
E X x p x 

 
 
Observação 1: E(X) é também denominada Média ou valor médio. 
 
 Exemplo 7: 
No lançamento de duas moedas, determinar a 
(a) distribuição de probabilidade da variável número de caras e 
(b) esperança. 
 
Solução: a) A tabela indica as possibilidades. 
 
Resultados possíveis Probabilidade X 
CC 
CK 
KC 
KK 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
2 
1 
1 
0 
 
A distribuição de probabilidade na variável discreta X , número de caras é: 
 
ix
 0 1 2 
 
( )ip x
 1/4 2/4 1/4 
(b) 
1
( ) ( )
n
i i x
i
E X x p x 

 
=
0.1/ 4 1.1/ 2 2.1/ 4 1  
(Média) 
 
Exemplo 8: 
Um par de dados é lançado e definimos a variável X como: 
 
 X: variável aleatória que associa a cada ponto 
( , )a b S
 o maior desses valores, isto é, 
 ( , ) max , .X a b a b
 Determinar E(X). 
Solução: 
 Neste caso S é dado por 
 (1,1),(1,2),..., (6,6)S 
 e tem 36 elementos. 
 
 1( 1) ( (1,1) 1/36p x p  
 
 
 2( 2) ( (1,2),(2,1),(2,2) 3/ 36p x p  
 
 3( 3) ( (1,3),(3,1),(3,2),(2,3),(3,3) 5/36p x p  
 
.......... 
 6( 6) ( (1,6),(2,6),(3,6),..., (6,6) 11/ 36p x p  
 
 
 106 
X 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
4
x
 
5
x
 
6
x
 
i
x
 1 2 3 4 5 6 
( )ip x
 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/6 
 
Usando a fórmula segue: 
1
( ) ( )
n
i i x
i
E X x p x 

 
=1.1/36+2.3/36+3.5/36+4.7/36+5.9/36+6.11/3= 161/36 = 4,47 
Exemplo 9: 
 Calcule a esperança para as distribuições de probabilidade discretas indicadas nas tabelas. 
 a) 
 
 X 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
4
x
 
5
x
 
i
x
 -2 -1 0 1 2 
( )ip x
 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 
 
 Solução: 
1
( ) ( )
n
i i
i
E X x p x

 
 -2.1/5 - 1.1/5 + 1.1/5 + 2.1/5 = 0 
 b) 
 
 2x 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
i
x
 4 1 0 
( )ip x
 2/5 2/5 1/5 
 
 Solução: E(X
2
) = 4.2/5+1.2/5+0.1/5 = 10/5 = 2=
2( ) 2E X 
 
 Logo, podemos observar que 
2 2( ) 2 [ ( )] 0E X E X  
 
 c) 
 
2x
 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
4
x
 
5
x
 
i
x
 -4 -2 0 2 4 
( )ip x
 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 
 
 Solução: E(2X) = -4.1/5-2.1/5+0.1/5+2.1/5+4.1/5= 0 
 
 
 Exemplo 10: 
Qual a esperança matemática em um jogo que paga ao jogador R$ 6,00 se obtém cara e R$ 8,00 se obtém 
 coroa? 
 
 
X 
1
x
 
2
x
 
i
x
 6 8 
( )ip x
 1/2 1/2 
 
 
 
( )E X 
6. (1/2)+8. (1/2) = R$ 7,00 
 107 
 
 
 
 5.Teoremas: 
 
 Teorema 1: Esperança de uma constante é a própria constante. 
Devemos mostrar que 
( )E k k
. 
 
A variável é dada por X: k, k, k, k,..., k ( n valores k), logo a esperança matemática é dada por: 
 
1
( ) ( )
n
i i
i
E k x p x

  ( )k p k  ( )k p k  ( )k p k 
...+
( )k p k 
 
 =
 ( ) ( ) ... ( )k p k p k p k  
1
( )
n
i
i
k p k k

 
, sendo 
( ) 1/p k n
 
 Teorema 2: Multiplicando cada valor de uma variável aleatória por uma constante a esperança ficará 
multiplicada pela constante. 
 
Devemos mostrar que 
( ) ( )E kX k E X
. 
 A variável é dada por X: 
1
,kx
 
2
,kx
3
,kx
...,
n
kx
, logo a esperança matemática é dada por: 
1
( ) ( )
n
i i
i
E kX x p x

  1 1( )k x p kx  2 2( )k x p kx 
...+
( )
n n
k x p kx
. 
Pondo k em evidência e lembrando que 
( ) ( )
n n
p kx p x
, segue: 
( )E kX 
1 1
( )k x p x 
2 2
( )k x p x 
...+
( )
n n
k x p x
=
1
( ) ( )
n
i i
i
k x p x kE X


 
 
 Teorema 3: A esperança da soma de duas variáveis aleatórias é igual a soma das esperanças. 
 
 Devemos mostrar que 
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y  
 
 
 Da definição de Esperança podemos escrever: 
 
1 1 1 1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
n n n n
i j i j i i j j
i j i j
E X Y x y p x y x p x y p y
   
       
 
( ) ( )E X E Y
 
 
 Teorema 4: 
( ) ( ) ( )E aX bY aE X bE Y  
 
 
 Da definição de Esperança e pelo teorema 2 podemos escrever: 
 
1 1 1 1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
n n n n
i j i j i i j j
i j i j
E aX bY ax by p x y ax p x by p y
   
       
( ) ( )aE X bE Y
 
 
 Exemplo 11: 
Em um dia que chove um vendedor de guarda-chuvas ganha R$ 300,00, mas, se não chove perde 
R$ 15,00. Supondo que a probabilidade de chover num determinado dia é de 30%, determinar 
( ).E X
 
Solução: 
 
( ) 300 0,3 15 0,7 79,50E X     
 
 
 108 
 6. Variância 
Sejam X a variável aleatória discreta e seus possíveis valores 
1 2 3, , ,..., nx x x x
. 
 Denomina-se variância de uma variável aleatória X e indica-se por 
 
 Var(X) = 
2( )X 2
1
[ ( )] . ( )
n
i i
i
x E X p x

 
 
 Outra maneira de definir variância é dada por: Var(X) = 
2( )X
= 
2 2( ) [ ( )]E X E X
 
 De fato: Podemos escrever Var(X) = 
2( )X 2
1
[ ( )] . ( )
n
i i
i
x E X p x

 
= 
2[ ( )]E X E X
desenvolvendo 
o quadrado, segue: 
 
 
2 2 2 2[ 2 . ( ) [ ( )] ] ( ) 2 ( ). ( ) [ ( )]E X X E X E X E X E X E X E X     
 
2 2( ) [ ( )]E X E X
 
 
 7. Desvio padrão 
 
 A raiz quadrada da variância denomina-se desvio padrão: 
( ) ( )X Var X 
 
 
 Exemplo 12: 
Um jogo consiste no lançamento de um dado. Se sair um número par, a pessoa ganha uma quantia 
equivalente ao triplo do ponto tirado, se sair um número ímpar a pessoa paga o quádruplo do ponto obtido. 
Determinar: 
 a) Esperança. 
 b) Variância. 
 c) Desvio padrão. 
 
Evento 
i
x
 
( )
i
p x
 
( )
i i
x p x
 
( )
i
x E X
 
2[ ( )]
i
x E X
 
2[ ( )] ( )
i i
x E X p x
 
1 -4 1/6 -4/6 -4 16 16. 1/6 
2 6 1/6 6/6 6 36 36. 1/6 
3 -12 1/6 -12/6 -12 144 144. 1/6 
4 12 1/6 12/6 12 144 144. 1/6 
5 -20 1/6 -20/6 -20 400 400. 1/6 
6 18 1/6 18/6 18 324 324. 1/6 

 0 177,333 
 a) 
1
( ) ( )
n
i i x
i
E X x p x 

 
= 0 
 b) 
2( )X 2
1
[ ( )] . ( )
n
i i
i
x E X p x

 
=177,333 
 c) 
( ) ( )X Var X 
=13,31 
 
 Teoremas: 
 
 Teorema 1: A variância de umaconstante é nula. 
 
( ) 0Var k 
 
Da definição de variância podemos escrever: 
 109 
2( ) [ ( )] [ ] 0Var k E k E k E k k    
 
 
 Teorema 2: 
2( ) ( )Var kX k Var X
 
 
2 2( ) [ ( )] [ ( )]Var kX E kX E kX E kX kE X   
2 2 2[ ( )] ( )k E X E X k Var X  
 
 
 Teorema 3: Se 
eX Y
 são variáveis independentes, então 
( ) ( ) ( )Var X Y Var X Var Y  
 
ou 
2 2 2( ) ( ) ( )X Y X Y    e seu desvio padrão é 2 2( ) ( ) ( )X Y X Y     
 
 Teorema 4: Se 
eX Y
 são variáveis dependentes, então 
( ) ( ) ( ) 2 ( , )Var X Y Var X Var Y Cov X Y   
 
 
 Demonstração: 
 Sabemos que Var(X) = 
2( )X
= 
2 2( ) [ ( )]E X E X
, e podemos escrever, 
 
2 2( ) [( ) ] [ ( )]Var X Y E X Y E X Y     
 
2 2 2[ 2 ] [ ( ) ( )]E X XY Y E X E Y    
 
 =
2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 ( ). ( ) [ ( )]E X E XY E Y E X E X E Y E Y    
 , simplificando os termos 
semelhantes segue: 
 
( )Var X Y 
2 2( ( ) [ ( )]E X E X
)+(
2 2( ) [ ( )]E Y E Y
)+
2[ ( ) ( )( ( )]E XY E X E Y
, 
 
portanto, 
( ) ( ) ( ) 2 ( , )Var X Y Var X Var Y Cov X Y   
 
 
 Teorema 5: Se 
eX Y
 são variáveis dependentes, então 
 
 
2 2( ) ( ) ( ) 2 ( , )Var aX bY a Var X b Var Y abCov X Y   
 
8. Covariância 
 A covariância é uma medida da força da relação entre duas variáveis aleatórias discretas X e Y e 
representamos por Cov(X,Y). 
 O valor que mede o grau de dependência entre as duas variáveis aleatórias denominamos covariância. 
 Se X e Y são duas variáveis aleatórias discretas a covariância é definida por: 
 
( ) ( , ) [( ( ))( ( ))]I Cov X Y E X E X Y E Y  
, ou seja, o valor médio do produto dos desvios de X 
e Y em relação às suas respectivas médias. 
 Outra maneira de escrever sua fórmula é dada desenvolvendo o produto, assim: 
 
 
( ) ( , ) [( ( ))( ( ))]I Cov X Y E X E X Y E Y  
=
[ ( ) ( ) ( ) ( )]E XY XE Y YE X E X E Y  
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E XY E X E Y E Y E X E X E Y   ( ) ( ) ( )E XY E X E Y
 
 
( , )Cov X Y  ( ) ( ) ( )E XY E X E Y
 
 
 Observação 2: Se a covariância é positiva, isso indica que grandes valores de uma variável X estão associados 
a grandes valores da variável Y. 
 
 Observação 3: Se a covariância é negativa, isso indica que grandes valores de uma variável X estão 
associados a pequenos valores da variável Y. 
 
Exemplo 13: 
 Sejam 
( ) 5, ( ) 6 e cov( , ) 4,Var X Var Y X Y  
determinar 
(2 3 )Var X Y
 
 110 
 
 Solução: Usando o teorema 5, podemos escrever: 
 
(2 3 )Var X Y
=
2 2
2 ( ) 3 ( ) 2.2.3cov( , )Var X Var Y X Y  
4.5+9.6+2.2.3.4=20+54+48=122. 
 Exemplo 14: 
Uma indústria produz sabão em pó e os empacota em caixas por meio de uma máquina que é regulada 
para pesar em média 200 g e desvio padrão 4 g. Se a embalagem (caixa) tem peso médio constante de 24 g e 
desvio padrão de 1 g, então nestas condições, qual a média e o desvio padrão do peso bruto da caixa de sabão 
em pó? 
 Solução: Sejam X : peso do material sabão em pó, logo 
 
2 2( ) 200 , ( ) 4 16X g X g e g     
 Y: peso da embalagem, logo 
 
2 2( ) 24 , ( ) 1 ( ) 1Y g Y g e Y g     
 Z: peso bruto da caixa, logo 
Z X Y 
 
 
 
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y  
= 200+24=224g 
 
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )Z X Y X Y      = 216 1 17g  e tem desvio padrão 
 
( ) 17 4,123Z g  
. 
 Exemplo 15: 
 Uma indústria produz rodas de magnésio de aro 17, cujo peso unitário (X) tem distribuição normal de 
média 10kg e desvio padrão 200g. As rodas são embaladas em uma caixa de papelão com 4 unidades e sabe-se 
ainda que a caixa vazia (Y) tem distribuição normal de média 2kg e desvio padrão 100g. Calcular a 
probabilidade do peso total (T) da caixa ser superior a 42,5kg. 
 
 Resolução: Do enunciado podemos escrever que a variável T é definida por: 
 
1 2 3 4T Y X X X X     
2 2 2 2 2
( ) ( ) 4 ( ) 42 42000
( ) ( ) 4 ( ) 100 4 200 170000
T Y X kg g
T
T Y X g
   
 
     
  
  
 
 Portanto, 
( ) 42000
170000 412
T g
g




 
 
Com o uso da variável padronizada z, segue: 
42500 42000
1,21
412
x
z


 
  
 
( 42500) ( 1,21) 0,5 (0 1,21) 0,5 0,38686p x p z p z         
 
( 42500) 11,314%p x  
 
 
 
 Então a probabilidade de ser maior que 42,5 kg é de 11,314% 
 Exemplo 16: 
 O professor de Matemática da turma A aplicou uma prova teste com cinco questões do tipo verdadeiro e 
falso. A distribuição das notas e as respetivas probabilidades calculadas pelo professor estão indicadas na tabela 
que segue. Determinar 
 a) A esperança e o desvio padrão da variável X. 
 b) O professor redefiniu as notas por meio da nova variável Y=5+3X. Determinar a esperança e o desvio 
padrão da variável Y. 
x 5 6 7 8 9 10 
p(x) 0,10 0,12 0,25 0,28 0,15 0,10 
 
42000 42500
x
 111 
Resolução: Para obtermos a solução completamos a tabela e utilizamos as fórmulas adequadas. 
 
a) 
1
( ) ( ) 7,56
n
i i
i
E X x p x

 
 
 
2( )X 2
1
[ ( )] . ( )
n
i i
i
x E X p x

 
=
2 2
( ) ( ( ))E X E X 
 
59,14-(7,56)
2 
=1,9864 e 
( ) 1,9864 1,409 1,41X    
 
b) Sabemos que 
( ) ( )E kX b k E X b  
, logo 
 
podemos escrever: 
 
( ) (3 5) 3 ( ) 5 3.7,56 5 27, 68E Y E X E X      
e 
 
2 2
( ) ( ) (5 3 ) 3 ( ) 9.(1,9864) 17,8776Var kX c k Var X Var X Var X      
e o desvio padrão é dado por: 
( ) 17,8776 4,23Y  
 
 
x p(x) x p(x) 
2
( )x p x
 
5 0,10 0,50 2,50 
6 0,12 0,72 4,32 
7 0,25 1,75 12,25 
8 0,28 2,24 17,92 
9 0,15 1,35 12,15 
10 0,10 1,00 10,00 
 

 7,56 59,14 
 
 
Exercícios de aplicação 20: 
 
1. Seja X uma variável aleatória com E(X)=10 e Var(X)=100 e sejam Z e Y variáveis aleatórias definidas por 
2 2 6.Z x e Y x  
 Calcular 
 a) E(Z) 
 
 
) ( )
) ( )
b Var Z
c Var Y
 
 
 
2.Seja X uma variável aleatória com E(X)=30 e 
2 49x 
 e sejam Z e Y variáveis aleatórias definidas por 
( )
( ).
x
X E X
Z e Y X E X

  
 Calcular 
 
) ( )
) ( )
) ( )
) ( )
a E Y
b Var Y
c E Z
d Var Z
 
 
 
 
 112 
 
3.Uma indústria produz camisas cujos pesos unitários (X) tem distribuição normal com média 50 g e desvio 
padrão 3g. Essas camisas são colocadas em caixas com três unidades. A caixa vazia também tem 
distribuição normal (Y) com média 40 g e desvio padrão 2 g. Calcular a probabilidade do peso total (T) ser 
superior a 180 gramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Sejam X, Y e Z são três variáveis aleatórias, sabendo-se que: E(X)=4, E(Y)=8 e 
E(Z)= -5. Determinar a esperança matemática da variável 
1
2 6
2
T X Y Z   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um medicamento tem probabilidade 0,4 de cura. Se 10 pessoas são submetidas a esse tratamento, e nas 
mesmas condições, determinar 
Observação 4: A distribuição neste caso é a binomial e tem 
( ) ( )E X np e Var X npq 
. 
 
a) E(X).b) Var(X). 
 
 
 
c) a probabilidade de que pelo menos 1 seja curado. 
 
 
 
6. Em finais de semana o número de mortes por afogamento nas praias de Santos é de 1 morte para cada 60 
000 banhistas. Em um fim de semana com 180 000 banhistas, determinar, 
Observação 5: A distribuição neste caso é Poisson e tem 
( ) ( )E X np e Var X np 
 
 
a) E(X) 
 
 113 
 
b) Var(X) 
 
 
 
c) a probabilidade de ocorrer 4 afogamentos. 
 
 
 
 
 
 
 9. Função de distribuição na variável contínua 
 
 9.1. Variável aleatória contínua. 
 Seja X uma variável aleatória. Se seu contradomínio for um intervalo de números reais, então 
diremos que X é uma variável aleatória contínua. 
 
 9.2. Função densidade de probabilidade 
 
Seja X uma variável aleatória continua definida em S e com valores no intervalo dos números reais. 
Uma função f denomina-se função densidade de probabilidade e se indica abreviadamente por fdp, se f satisfaz 
as condições: 
 
) ( ) 0, para todo 
) ( ) 1
a f x x S
b f x dx


 

 
f
f(x)
x
 
 Observação 5: São válidas as expressões: 
 a) 
( )p a x b 
=
( )p a x b  ( )p a x b   ( ) ( )
b
a
p a x b f x dx   
 
 b) 
( )E X 
 
( )
b
a
xf x dx
 
 c) Var(X)= 
2[ ( )] ( )x E X f x dx



 
 Exemplo 17: 
Verifique se 1/10(2 3) 0 2
( )
0 0 2
x se x
f x
se x ou x
  
 
 
 é uma fdp e calcule a E(X). 
 
 Solução: Devemos verificar que: 
 
 114 
 a)
( ) 0 vale para todo realf x 
. 
 b) 2
0
( ) 1/10 (2 3)f x dx x dx


   
 
2 2
0
1
( 3 ) |
10
x x 
 1/10(4+6) = 1 
 c) 
( )E X 
 
( )
b
a
xf x dx
= 3 22
0
22 3
1/10 (2 3) 1/10[ ] |
03 2
x x
x x dx   
1,133 
 
 Observação 6: Neste caso a função distribuição de probabilidade é dada por: 
 
 2
0, 0
( ) 1/10( 3 ) 0 2
1 2
se x
F x x x se x
se x


   
 
 
 
 10. Distribuição Uniforme 
 
 Uma variável aleatória X tem Distribuição Uniforme no intervalo [a,b], se sua função densidade de 
probabilidade é tal que 
 
1
( )
0, caso contrario
se a x b
f x b a

 
 

 
 Exemplo 18: 
A produção de camisas de uma costureira varia de 15 a 60 camisas. A experiência mostra que essa 
variação é uniforme. Qual a probabilidade de que uma costureira produza de 35 a 50 camisas? 
 
 
 1/45 
(35 50) 15/45 0,333p x   
 
 x 
 15 60 
 
 
 Exemplo 19: 
Seja a função densidade de probabilidade da variável X dada por: 
 
 
1
2 6
( ) 4
0, 2 6
se x
f x
se x ou x

 
 
  
 
 Verifique se é uma fdp e determine a função distribuição de probabilidade. 
 
 Solução: A função distribuição de probabilidade é dada por, 
 
2
2
1 1 1
( ) | ( 2)
4 4 4
x
xF x dt t x   
 e escrevemos 
F(x) 
 115 
 
0, 2
( ) 1/ 4( 2), 2 6
1, 6
se x
F x x se x
se x


   
 
 
 11. Distribuição Exponencial 
 
 
Seja a função densidade de probabilidade da variável X dada por: 
 
 , se 0, 0
( )
0, para qualquer outro valor de 
xe x
f x
x
   
 

 
 
a) A função distribuição de probabilidade é dada por 
0 0
( ) ( ) ( ) ( 1 , 0
x x
t xF x p X x f x dx e dt e x          e 
 
( ) 0,F x 
para qualquer outro valor de 
0.x 
 
 
 b) Esperança 
 
 E(X) 
0
0 0 0
( ) ( |x x xxf x dx x e dx xe e dx               
 
0 0 0 0
1
| | lim( ) | lim |
x
x x t x t
t t
e
xe xe e
   

    
 
      
1 1 1
lim 0 limt t
t t
te e   
 
 
 
     
 
 
 c) Variância 
 
 
 
22( ) ( ) ( )Var X E X E X 
 
 Calculando primeiramente 
2 2 2
2
0 0
2
( ) ( ) xE X x f x dx x e dx 
 
   
, segue 
 
 
22( ) ( ) ( )Var X E X E X 
=
2 2 2
2 1 1
.
  
 
 
 
 Exemplo 20: 
Verifique se 
2( ) 2 xf x e
 é função densidade de probabilidade para 
0x 
. 
 
a) A função exponencial
2( ) 2 xf x e
 é sempre positiva. 
 
b) 
2
0
( ) (2 tf x dx e dt
 


   limx
2 2
0
2 lim( 1)
x
t x
x
e dt e 

  
= 1
1 1
e
 
, isto mostra que 
2( ) 2 xf x e
é uma fdp. 
 
 
 
6 2 
1
 116 
Exercícios de aplicação 21: 
 
1. Seja X uma v. a. contínua com fdp dada pela lei 
0, 0
, 0 1
( )
(2 ), 1 2
0, 2
se x
k se x
f x
k x se x
se x

  
 
  
 
 
Determinar 
 
a) k para que seja uma fdp. 
 
 
 
b) 
( 1,5)p x 
 
 
 
 
c) E(X) 
 
 
 
 
 d)
2( )E X
 
 
 
 
 e) Var(X) 
 
 
 2. Seja X uma variável contínua com função distribuição acumulada definida por: 
 
0 0
( )
1 0x
se x
F x
e se x

 
 
 
 
 Determinar a função densidade de probabilidade fdp 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 117 
3.Seja X a variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade fdp
( )f x
 dada por: 
 2 , 0 1
( )
0, quaisquer outros valores de 
x se x
f x
x
 
 

 
 
 a) Determinar 
( )F x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 118 
4.Seja X a variável aleatória contínua com fdp dada por
( )f x
 
 
 2 1000 2000
( )
0, para quaisquer outros valores
ax se x
f x
  
 

 
Sabe-se que X representa a duração da vida (em horas) de lâmpadas fluorescentes compactas de 25 w. 
Determinar 
 
a) O valor de a para que 
( )f x
 seja fdp. 
 
 
 
 
 
 
b) Determinar E(X) 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determinar Var(X) 
 
 
 
 
 
 
5. O diâmetro X dos eixos das rodas de motos é uma variável aleatória contínua com fdp dada por: 
 23 (2 ), 0 1
( ) 2
0, 0 1
x x se x
f x
se x ou x

  
 
  
 
Calcular a probabilidade de 
 
a) 
(0 0,5)p x 
 
 
 
 
b) 
( 2)p x 
 
 
 
 
c) Definir F(x) 
 
 
 
 
 119 
6. O departamento de estoque da empresa ABS informa que a fdp de que todo estoque disponível para 
que seja atendido por semana, de pedidos, é 
 
 
2( ) 1/ 2( 3 3), 0 1f x x se x    
 e 0 caso contrário. 
a) Verifique se 
( )f x
 é uma fdp. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determinar a probabilidade de que no máximo 60% dos pedidos sejam atendidos. 
 
 
 
 
 
c) Determinar a probabilidade de que pelo menos 50% dos pedidos sejam atendidos. 
 
 
 
7. O departamento de vendas mantém em estoque 2000 geladeiras e informa que a fdp de que todo 
estoque disponível seja atendido por semana é 
23( ) , 0 2
8
f x x se x  
, e 0, caso contrário. 
 a) Verifique se 
( )f x
 é uma fdp. 
 
 
 
 
 
b) Determinar o número máximo 
0x
de geladeiras para que sejam atendidos 70% dos pedidos.c) Determinar o número máximo 
0x
de unidades para que sejam atendidos pelo menos 60% dos pedidos. 
 
 
 
 
d) Dar a lei F(x) e seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 120 
8. Seja X uma variável aleatória contínua com valores no intervalo [0,5] e com fdp dada pela 
lei
( ) 0,08f x x
. 
a) Verificar se é uma fdp. 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de 
 
 i) 
(0 2)p x  
 
 
 
 ii) 
(1 4)p x  
 
 
 
 
 
 iii) 
( 3)p x  
 
 
 
 
 iv) 
( 3)p x  
 
 
 9.Seja X uma variável aleatória contínua e tem fdp dada pela lei 2
/ , 100
( )
0, 100
k x se x
f x
se x
 
 

. 
a)Determinar o valor de k para que seja uma fdp. 
 
 
 
 
 
 
b)Calcular 
( 120)p x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 121 
10. Seja X uma variável aleatória contínua com valores no intervalo [1,3] e tem fdp dada pela lei. 
1, se 1 2
( ) 3, se 2 3
0, caso contrário.
x x
f x x x
  

    


 a) Dar o gráfico de f(x). 
 
b) Verificar se 
( )f x
 é fdp. 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determinar E(X) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) d) Determinar 
( )X
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios de aplicação 22: 
 
1.A demanda de macarrão num supermercado em centenas de quilogramas por dia é uma variável aleatória 
contínua com fdp dada pela lei
2 / 3 , se 0 1
( ) 1, se 1 3
3
0, caso contrário.
x x
x
f x x
 


    


 
a) Verificar se 
( )f x
 é fdp. 
 
 
 
 
 
 122 
 
b) Qual a probabilidade de se vender mais que 150kg num dia escolhida ao acaso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Em trinta dias, quanto o gerente do supermercado espera vender? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Quantos quilogramas se esperam vender num dia escolhido ao acaso para atender 95% dos pedidos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja X uma variável continua com função distribuição acumulada definida por: 
 
0, 0
( ) / 2, 0 2
1, 2
se x
F x x se x
se x


  
 
 
 
Determinar: 
a) A função densidade de probabilidade fdp. 
 
 
 
 
b) 
( 1,5).p x 
 
 
 
 
 
 
 123 
c) 
( 2,4).p x 
 
 
 
 
 
3. A duração em milhares de horas de um componente eletrônico é uma v.a. X, com fdp dada por: 
 0,10,1 , 0
( )
0 , 0
xe se x
f x
se x
 
 

 
 
 
 
a) Dar o gráfico de 
( )f x
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de que um componente escolhido ao acaso dure 
 
b1) menos que 4 000 horas. 
 
 
 
 
 
 
 b2) dure entre 5 000 e 10 000 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 b3) dure mais que 15 000 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 124 
 
12. Distribuição conjunta de variáveis aleatórias 
 
 Nos problemas utilizados até agora o experimento era registrado por um único elemento. Todavia, há 
casos que necessitamos representar por dois elementos. 
 Exemplo: altura e peso. 
 Definimos assim duas variáveis aleatórias: X e Y. 
 Seja S um espaço aleatório associado a um experimento aleatório e duas variáveis 
 
 1 2 3( ) , , ,..., nX X S x x x x 
 e 
 1 2 3( ) , , ,..., nY Y S y y y y 
 
 
 
 
 Denominamos (X,Y) uma variável aleatória bidimensional e definimos probabilidade conjunta por: 
 
 
 
: ( ) ( )
, ( ; ) ( , )
i j i j i j
h S S X S Y S
x y p X x Y y h x y
  
  
 
 Satisfazendo: 
 1) 
( , ) 0i jp x y 
 
 2) 
1 1
( , ) 1
n n
i j
i j
p x y
 

(Discreta) ou 
( , ) 1f x y dxdy


 (contínua) 
 Exemplo 21: 
 Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3.Retirando-se 2 bolas sem reposição, definimos os eventos: 
 X: número da primeira bola e 
 Y: número da segunda bola. 
 
 Assim podemos escrever: 
( , ) ( ). ( / )i j i j ip x y p x p y x
 
 
1 1
(1,2) (1). (2 /1) . 1 / 6
3 2
p p p  
 
 
1 1
(2,1) (2). (1 / 2) . 1 / 6
3 2
p p p  
 e a Distribuição Conjunta é dada por: 
 
X 1 1 2 2 3 3 
Y 2 3 1 3 1 2 
Prob. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
 
S
( )X S
( )Y S
 125 
 Exemplo 22: Distribuição conjunta. 
 Outra forma para representar distribuição conjunta é a tabela de dupla entrada. 
 Assim, 1 1 1
(2,3) (2). (3/ 2) .
3 2 6
p p p  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 Definimos probabilidades marginais por: 
 Probabilidades marginais de X : 
1
( ) ( , )
n
i i j
j
p x x p x x y y

   
 
 
 
( 1) ( 1, 2) ( 1, 3) 1/3p x p x y p x y       
 
 
( 2) ( 2, 1) ( 2, 3) 1/3p x p x y p x y       
 
 
( 3) ( 3, 1) ( 3, 2) 1/3p x p x y p x y       
 
 Probabilidades marginais de Y: 
( )jp y y 
1
( , )
n
i j
j
p x x y y

 
 
 
( 1) ( 2, 1) ( 3, 1) 1/3p y p x y p x y       
 
 
( 2) ( 1, 2) ( 3, 2) 1/3p y p x y p x y       
 
 
( 3) ( 1, 3) ( 2, 3) 1/3p y p x y p x y       
 
 
 Exemplo 23: 
 Usando o mesmo exemplo e nele definimos duas novas variáveis: 
 
 i) X + Y e ii) X.Y , assim temos a distribuição: 
 
(X,Y) X+Y X.Y Prob. 
(1,2) 3 2 1/6 
(1,3) 4 3 1/6 
(2,1) 3 2 1/6 
(2,3) 5 6 1/6 
(3,1) 4 3 1/6 
(3,2) 5 6 1/6 
 
Construindo as distribuições para X+Y e X.Y, seguem 
 
X+Y 3 4 5 
 Prob. 1/3 1/3 1/3 
 
X.Y 2 3 6 
Prob. 1/3 1/3 1/3 
X Y 1 2 3 
( )ip x
 
1 0 1/6 1/6 1/3 
2 1/6 0 1/6 1/3 
3 1/6 1/6 0 1/3 
( )jp y
 1/3 1/3 1/3 1 
 126 
 
 Verifique que 
 
 a) E(X)= 2 
 
 
 b) E(Y)=2 
 
 
 c) E(X+Y)=4 
 
 
 d) E(X.Y)= 11/3 
 Exemplo 24: 
 Usando o mesmo exemplo e nele façamos a reposição da bola retirada. Determinar: 
 
a) E(X). b) E(Y). c) E(X.Y). 
Solução: 
Escrevendo a distribuição conjunta e representando na tabela de dupla entrada, segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 O cálculo da primeira linha é dado por: 
 
 
1 1 1 1 1 1 1
( 1, 1) ( 1, 2) 1, 3 . .
3 3 3 3 3 3 3
p x y p x y p x y           
. Analogamente para as outras 
linhas. 
 
 Observação 7: As distribuições marginais são iguais, porém, a distribuição conjunta é diferente. 
 Determinando 
 a) E(X)=
1 1 1
1. 2. 3. 2
3 3 3
  
 
 b) E(Y)= 
1 1 1
1. 2. 3. 2
3 3 3
  
. 
 Para o cálculo de E(X.Y) construímos a tabela 
 
 
 
 c) E(X.Y)=
1 2 2 1 2 1
1. 2. 3. 4. 6. 9. 4
9 9 9 9 9 9
     
 
 
 d) Verifique que E(X.Y)= 4= E(X). E(Y) (independentes com reposição) 
 
 
 
 
 
X Y 1 2 3 
( )ip x
 
1 1/9 1/9 1/9 1/3 
2 1/9 1/9 1/9 1/3 
3 1/9 1/9 1/9 1/3 
( )jp y
 1/3 1/3 1/3 1 
X.Y 1 2 3 4 6 9 
Prob. 1/9 2/9 2/9 1/9 2/9 1/9 
 127 
 Exemplo 25: 
 Seja a distribuição conjunta de probabilidades na variável (X,Y). 
 
 
 
 
 
 Determinar: a) E(X) e E(Y) b)Var(X) e Var(Y) c) 
( ) e ( )X Y 
 d) E(2X+3Y) 
 
 Solução: Completando a tabela da distribuição de probabilidades, segue:Usando os dados da tabela segue: 
 a) E(X) =0,5 
 
 E(Y)=1,5 
 b)Var(X)= 2
2 2 4 4 1( ) [ ( )]
8 8 4
E X E X
 
    
 
 
 
 Var(Y)= 2
2 2 24 12 3( ) [ ( )] 0,75
8 8 4
E Y E Y
 
     
 
 
 
 c)
( ) 1 / 4 0,5X   
 
 
 
( ) 0,75Y 
=0,87 
 
 d) E(2X+3Y)=
2 ( ) 3 ( )E X E Y 
2.(0,5)+3.(1,5)=5,5 
 
 
 e) Cov(X,Y)=
3 1
( ) ( ). ( ) 1
4 4
E XY E X E Y   
= 0,25, sendo a distribuição de XY. 
 
X.Y 0 1 2 3 
p(XY) 4/8 1/8 2/8 1/8 
 
 
 
 
X Y 0 1 2 3 
0 1/8 2/8 1/8 0 
1 0 1/8 2/8 1/8 
X Y 0 1 2 3 
( )p x
 
. ( )x p x
 
2. ( )x p x
 
0 1/8 2/8 1/8 0 4/8 0 0 
1 0 1/8 2/8 1/8 4/8 4/8 4/8 
( )p y
 1/8 3/8 3/8 1/8 1 E(X)=4/8 E( 2X )=4/8 
. ( )y p y
 0 3/8 6/8 3/8 E(Y)=12/8 
2. ( )y p y
 0 3/8 12/8 9/8 E( 2Y )=24/8 
 128 
 Exercícios de aplicação 23: 
 
1. No lançamento de 1 dado definimos as variáveis aleatórias: 
X: a face voltada para cima, 
 Y: a face voltada para baixo. Determinar 
 
 
 
 a) E(X) 
 
 
 
 
 b) E(Y) 
 
 
 
 
 c) E(XY) 
 
 
 
 
 
d) Cov(X,Y) 
 
 
 
 
 
2. Seja a distribuição conjunta das variáveis aleatórias X e Y dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar 
 
a) p(x=4) 
 
 
 
 
b) p(y=2) 
 
 
 
X Y 1 2 3 
( )ip x
 
4 0,2 0,3 0,1 
5 0,2 0,05 0,15 
( )ip y
 
 
 129 
3. A fábrica de autopeças de Ana Carolina trabalha em dois turnos. A empresa preocupada com as faltas de 
seus operários resolveu analisar o número de faltas em cada turno. Seja 
X: número de faltas no turno diurno e Y: número de faltas no turno noturno. Essa avaliação foi feita durante 
4 meses e obteve-se a seguinte distribuição de probabilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar: 
 
 
a) Probabilidades marginais de X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Probabilidades marginais de Y. 
 
 
 
 
 
 
 
c) E(X) 
 
 
 
 
 
 
 
d)E(Y) 
 
 
 
 
 
 
X Y 0 1 2 3 
( )ip x
 
0 0,05 0,05 0,10 0 
1 0,05 0,10 0,25 0,10 
2 0 0,15 0,10 0,05 
( )ip y