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Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 92 12- EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 12.1- EQUAÇÃO REDUZIDA No caso de uma circunferência de centro C(x0, y0) e raio r, dados, temos: P(x, y) curva dCP = r 2 CPd = r2 Usando a fórmula da distância entre dois pontos, vem: dCP = 2 0 2 0 )()( yyxx 2 CPd = 22020 )()( yyxx = r2 daí, resulta a equação reduzida da circunferência, dada por (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 Exemplos: 1- Dê a equação reduzida da circunferência de centro C(3, -1) e raio r = 2: 2- Dê o centro e o raio da circunferência dada pela equação (x + 4)2 + (y – 7)2 = 25: 12.2- EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA Partindo da equação reduzida, temos: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 x2 – 2x0x + 2 0x + y2 – 2y0y + 2 0y – r2 = 0 x2 + y2 – 2x0x – 2y0y + ( 2 0x + 2 0y – r2) = 0 fazendo – 2x0 = a, – 2y0 = b e 2 0x + 2 0y – r2 = c, obtemos assim a equação geral da circunferência, dada por x2 + y2 + ax + by + c = 0 Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 93 Observe que – 2x0 = a x0 = 2 a – 2y0 = b y0 = 2 b 2 0x + 2 0y – r2 = c r = cyx 20 2 0 Exemplos: 1- Obtenha a equação geral da circunferência de centro C(2, 3) e raio 1. 2- Obtenha o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 – 8x + 12y + 3 = 0. 12.3- A CIRCUNFERÊNCIA DEFINIDA POR TRÊS PONTOS Caso nem o centro e nem o raio sejam conhecidos, temos assim três incógnitas a determinar: x0, y0 e r. O objetivo é determinar tais incógnitas a partir das condições a que a circunferência deve satisfazer. Exemplos: 1- Determine a equação da circunferência de centro C(2, 0) e que passa pelo ponto P(4, 1). 2- Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(2, 0) e N(4, -2) e tem centro na reta s: y = 2x. Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 94 3- Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(3, -1), N(0, 8) e P(0, 0). 12.4- POSIÇÕES RELATIVAS E INTERSECÇÕES 12.4.1- Reta e Circunferência Uma reta t e uma circunferência do plano podem apresentar as seguintes posições relativas: Secantes Tangentes Exteriores P P P Q t t C t C C d < r e t = {P, Q} d = r e t = {P} d > r e t = Dada a equação de t, ax + by + c = 0, o centro e o raio de , C(x0, y0) e r, pode-se estabelecer a posição relativa calculando a distância d entre o centro e a reta: d = 22 00 ba cbyax Comparando d com r, temos: d < r t e são secantes d = r t e são tangentes d > r t e são exteriores Exemplo: Considere a reta t: x + y – 4 = 0 e a circunferência = x2 + y2 = 16 e verifique a posição relativa entre t e . Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 95 12.4.2- Duas Circunferências Duas circunferências 1 e 2 do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas: Exteriores Tangentes Exteriormente Secantes 1 2 1 2 1 2 d P P r1 r2 r1 r2 Q d > r1 + r2 e 1 2 = d = r1 + r2 e 1 2 = {P} r1 – r2 < d < r1 + r2 e 1 2 = {P, Q} Uma no Interior da Outra Tangentes Interiormente Concêntricas 1 1 1 2 2 2 d < r1 – r2 e 1 2 = d < r1 – r2 e 1 2 = {P} d < r1 – r2 e 1 2 = caso particular de uma no interior da outra com r1 ≠ r2 Quando r1 = r2, 1 e 2 são coincidentes Exemplo: Verifique qual é a posição relativa das circunferências 1: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 e 2: (x – 3)2 + (y – 3)2 = 10. 12.5- POSIÇÕES DE UM PONTO EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA Dada uma circunferência , de centro C(x0, y0) e raio r, e um ponto P(xP, yP) temos: 1- P dCP = r (xP – x0)2 + (yP – y0)2 = r2 (xP – x0)2 + (yP – y0)2 – r2 = 0. 2- P interior de dCP < r (xP – x0)2 + (yP – y0)2 < r2 (xP – x0)2 + (yP – y0)2 – r2 < 0. 3- P exterior de dCP > r (xP – x0)2 + (yP – y0)2 > r2 (xP – x0)2 + (yP – y0)2 – r2 > 0. P P P C C CP P interior de P exterior de Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 96 Exemplo: Verifique a posição dos pontos M(1, 2), N(√3, -1) e P(0, √2) em relação à circunferência : x2 + y2 – 4 = 0. Exercícios 1- Dar a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos casos: a) C = (3, 5) e r = 2 b) C = (0, 2) e r = 5 2- Escrever na forma geral a equação da circunferência de centro C e raio r nos casos: a) C = (1, -2) e r = 4 b) C = (2, 0) e r = 1 3- Dar o centro e o raio das circunferências: a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4 b) x2 + y2 = 1 4- Determinar o centro e o raio da circunferência de equação 4x2 + 4y2 + 8x – 4y – 3 = 0. 5- Determinar a equação da circunferência de centro C(3, 2) e que passa pelo ponto P(5, 5). 6- Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos P(-2, 0), Q(0, 2) e R(4, 0). 7- Verificar a posição relativa de t e nos casos: a) t = x + y + 1 = 0 e : x2 + y2 = 2 b) t = x + y + 2 = 0 e : x2 + y2 = 2 c) t = x + y + 3 = 0 e : x2 + y2 = 2 8- Dar a posição de P em relação a nos casos: a) P(4, 4) e : (x – 3)2 + (y – 2)2 – 4 = 0 b) P(3, 1) e : x2 + y2 – 4x – 2y + 4= 0 c) P(5, 3) e : x2 + y2 – 8x = 0 RESPOSTAS 1- a) (x – 3)2 + (y – 5)2 = 4; b) x2 + (y – 2)2 = 25. 2- a) x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0; b) x2 + y2 – 4x + 3 = 0. 3- C(2, 3) e r = 2; b) C(0, 0) e r = 1. 4- C(-1, 1/2) e r =√2. 5- (x – 3)2 + (y – 2)2 = 13. 6- (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10. 7- a) secantes; b) tangentes; c) exteriores. 8- a) exterior; b) pertence; c) interior.
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