Lista_AlgebraLinear
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Lista_AlgebraLinear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

6a Lista de Exercícios – Álgebra Linear

1. Verifique se o vetor v é autovetor do operador A : R
3
 → R3 onde:

(a) A(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z) e v = (1, 1, 2);

(b) A(x, y, z) = (−2x + 3y − z, y − z, x + 2y − 2z) e v = (−2, 1, 3).

2. Determine os auto espaços do operador linear A : R
2
 → R2 quando:

(a) A(x, y) = (−3x +4y,−x + 2y);
(f) A(x, y) = (x − y, x + y).

3. Determine os auto espaços do operador linear A : R
3
 → R3 quando:

(a) A(x, y, z) = (3x + y − z, x + 3y − z,−x − y + 5z);
(c) A(x, y, z) = (2z,−y, 2x);

4. Mostre que um operador linear A : R
3
 → R3 possui pelo menos um autovalor.

Mais geralmente, mostre que qualquer operador em R
n
, n ímpar, possui um

autovalor.

5. Mostre a afirmação sobre um operador linear A : R
n
 → Rn: A não é invertível

⇔ λ = 0 é raiz do polinômio característico de A.

6. Sejam A,B : R
n
 → Rn dois operadores lineares tais que o vetor v0 ∈ R

n
 é um

autovetor de A associado ao autovalor λ1 e ´e um autovetor de B associado ao
autovalor λ2 . Mostre que v0 é autovetor dos operadores A + B e A ◦ B.

7. Construa um operador linear A : R
2
 → R2 satisfazendo as condições pedidas.

(a) V1 : x + y = 0 é o auto espaço associado ao autovalor λ1 = 1 e
 V2 : 2x + y = 0 é o auto espaço associado ao autovalor λ2 = −2.
(b) V1 : 2x + 3y = 0 ´e o auto espaço associado ao autovalor λ = −3 e
 NA : x + 2y = 0.

8. Determine quais dos operadores lineares do são automorfismo:

a) T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z)

b) T(x, y, z) = (x, x - y, 2x + y - z)

9. Considere o operador linear T do satisfazendo as seguintes condições T(1,0,0) =

(1,1,1), T(0,1,0) = (1,0,1) e T(0,1,2) = (0,0,4). T é um isomorfismo? Se for determine o

isomorfismo inverso.

10. Suponhamos que B={v1, v2} é base de V e T:V→V é o operador linear para o qual
T(v1)=3v1- 2v2, T(v2)=v1+4v2. Suponhamos que C={w1, w2} é base de V para a qual

w1= v=v1+v2, w2 = 2v1+3v2. Encontre a matriz de T em relação à base C.

11. Sejam B ={(1; 0),(0; 1)} e C = {(-1; 1), (1; 1)} bases de R
2

. Encontre a matriz de

mudança da base B para a base C

12. A matriz de mudança de uma base B do R
2
 para a base {(1; 1), (0; 2)} desse mesmo

espaço é [

]. Determine B.

13. Encontre o operador linear T:R
2→ R2 cujos valores próprios são λ1 =1 e λ2 =3,

associados aos vetores próprios v1 = (y, -y) e v2= (0,y)

14. Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?

15. Se λ1 = 4 e λ2 = 2 são valores próprios de um operador linear T: R
2→ R2 associados

respectivamente aos vetores próprios v1=(2,1) e v2= (-1,3), encontre T(3u-v).