Lista_AlgebraLinear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
6a Lista de Exercícios – Álgebra Linear 
1. Verifique se o vetor v é autovetor do operador A : R
3
 → R3 onde: 
(a) A(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z) e v = (1, 1, 2); 
(b) A(x, y, z) = (−2x + 3y − z, y − z, x + 2y − 2z) e v = (−2, 1, 3). 
 
2. Determine os auto espaços do operador linear A : R
2
 → R2 quando: 
(a) A(x, y) = (−3x +4y,−x + 2y); 
(f) A(x, y) = (x − y, x + y). 
 
3. Determine os auto espaços do operador linear A : R
3
 → R3 quando: 
(a) A(x, y, z) = (3x + y − z, x + 3y − z,−x − y + 5z); 
(c) A(x, y, z) = (2z,−y, 2x); 
 
4. Mostre que um operador linear A : R
3
 → R3 possui pelo menos um autovalor. 
Mais geralmente, mostre que qualquer operador em R
n
, n ímpar, possui um 
autovalor. 
 
5. Mostre a afirmação sobre um operador linear A : R
n
 → Rn: A não é invertível 
⇔ λ = 0 é raiz do polinômio característico de A. 
 
6. Sejam A,B : R
n
 → Rn dois operadores lineares tais que o vetor v0 ∈ R
n
 é um 
autovetor de A associado ao autovalor λ1 e ´e um autovetor de B associado ao 
autovalor λ2 . Mostre que v0 é autovetor dos operadores A + B e A ◦ B. 
 
7. Construa um operador linear A : R
2
 → R2 satisfazendo as condições pedidas. 
(a) V1 : x + y = 0 é o auto espaço associado ao autovalor λ1 = 1 e 
 V2 : 2x + y = 0 é o auto espaço associado ao autovalor λ2 = −2. 
(b) V1 : 2x + 3y = 0 ´e o auto espaço associado ao autovalor λ = −3 e 
 NA : x + 2y = 0. 
 
8. Determine quais dos operadores lineares do são automorfismo: 
a) T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z) 
b) T(x, y, z) = (x, x - y, 2x + y - z) 
 
9. Considere o operador linear T do satisfazendo as seguintes condições T(1,0,0) = 
(1,1,1), T(0,1,0) = (1,0,1) e T(0,1,2) = (0,0,4). T é um isomorfismo? Se for determine o 
isomorfismo inverso. 
 
10. Suponhamos que B={v1, v2} é base de V e T:V→V é o operador linear para o qual 
T(v1)=3v1- 2v2, T(v2)=v1+4v2. Suponhamos que C={w1, w2} é base de V para a qual 
w1= v=v1+v2, w2 = 2v1+3v2. Encontre a matriz de T em relação à base C. 
 
11. Sejam B ={(1; 0),(0; 1)} e C = {(-1; 1), (1; 1)} bases de R
2 
. Encontre a matriz de 
mudança da base B para a base C
 
 
12. A matriz de mudança de uma base B do R
2
 para a base {(1; 1), (0; 2)} desse mesmo 
espaço é [
 
 
]. Determine B. 
 
13. Encontre o operador linear T:R
2→ R2 cujos valores próprios são λ1 =1 e λ2 =3, 
associados aos vetores próprios v1 = (y, -y) e v2= (0,y) 
 
14. Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade? 
 
15. Se λ1 = 4 e λ2 = 2 são valores próprios de um operador linear T: R
2→ R2 associados 
respectivamente aos vetores próprios v1=(2,1) e v2= (-1,3), encontre T(3u-v).