Exercícios de Probabilidade

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Exerc´ıcios de Probabilidade
Henrique Dantas Neder
Professor Associado
Universidade Federal de Uberlaˆndia
10 de novembro de 2014
1. Sabe-se que 80 % dos peˆnaltis marcados a favor do Brasil sa˜o cobrados
por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um peˆnalti ser conver-
tido e´ 40 a) Qual a probabilidade do peˆnalti ser cobrado por um jogador
do Flamengo e ser convertido?s b) Qual a probabilidade do peˆnalti ser
convertido?
2. Marina quer enviar uma carta a Veroˆnica. A probabilidade de que
Marina escreva a carta e´ de 8/10. A probabilidade de que o correio
na˜o perca e´ de 9/10. A probabilidade de que o carteiro entregue e´ de
9/10. Dado que Veroˆnica na˜o recebeu a carta, qual e´ a probabilidade
condicional de que Marina na˜o a tenha escrito?
3. Duas ma´quinas A e B produzem 3000 pec¸as em um dia. A ma´quina A
produz 1000 pec¸as, das quais 3 % sa˜o defeituosas. A ma´quina B produz
as restantes 2000, das quais 1 % sa˜o defeituosas. Da produc¸a˜o total
em um dia uma pec¸a e´ escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-
se que e´ defeituosa. Qual e´ a probabilidade de que a pec¸a tenha sido
produzida pela ma´quina A?
4. Uma moeda equilibrada e´ jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos:
A: cara na primeira jogada; B: cara na segunda jogada Verifique que A
e B sa˜o independentes.
5. Um exame de laborato´rio teˆm eficieˆncia de 95 % para detectar uma
doenc¸a quando essa doenc¸a existe de fato. Entretanto o teste aponta
um resultado “falso positivo” para 1 % das pessoas sadias testadas.
Se 0,5 % da populac¸a˜o tem a doenc¸a, qual e´ a probabilidade de uma
pessoa ter a doenc¸a dado que seu exame foi positivo?
6. Um ju´ri de 3 pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cada
um) com probabilidade p e um terceiro jurado que decide por cara ou
coroa. As deciso˜es sa˜o tomadas por maioria. Outro ju´ri tem proba-
bilidade p de tomar uma decisa˜o correta. Qual dos ju´ris tem maior
probabilidade de acerto?
7. Lanc¸a-se um dado na˜o viciado ate´ a obtenc¸a˜o do terceiro 6. Seja X o
nu´mero do lanc¸amentos em que isto ocorre. Calcule: a) P(X = 10); b)
P(X ¿ 10); c) P(X = 10).
8. Aos nu´meros inteiros de 1 a n sa˜o designadas probabilidades propor-
cionais aos seus valores. Determine p(i) para i=1,..,n.
9. Uma moeda e um dado sa˜o lanc¸ados e os resultados sa˜o colocados na
forma (x,y), onde x representa o resultado da moeda e y representa o
1
resultado do dado. Determine o espac¸o amostral e a probabilidade dos
seguintes eventos: a) A: ocorrer cara; b) B: ocorrer nu´mero ı´mpar; c)
C: ocorrer nu´mero 3; d) D: ocorrer A ∪B; e) E: ocorrer A ∩B;
10. Considere A e B dois eventos quaisquer associados a um experimento.
Se P (A) = 0, 3 ; P (A∪B) = 0, 8 e P(B)=p, para quais valores de p, A
e B sera˜o: a. eventos mutuamente exclusivos? b. independentes?
11. A probabilidade de que o aluno A resolva um problema e´ de 2/3, e a
probabilidade de que B o resolva e´ de 3/4. Se ambos tentarem inde-
pendentemente, qual a probabilidade de o problema ser resolvido?
12. Suponha que A, B e C sa˜o acontecimentos tais que:
P (A) = P (B) = P (C) = 1
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; P (A ∩B) = P (B ∩ C) = 0; P (A ∩ C) = 1
8
Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos acontecimentos A,B
ou C ocorra.
13. Considere dois acontecimentos A e B tais que:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− 0, 1
P (A/B) = 0, 2
Determine P(B) e P (A¯/B)
14. Dados dois acontecimentos A e B, tais que:
P (A) = 1
4
, P (B) = 1
3
e P (A ∪B) = 1
2
Determine
a) Se A e B sa˜o independentes;
b) Se A e B sa˜o mutuamente exclusivos;
c) P (A/B), P (A¯/B), P (B¯/A) , P (A¯/B¯)
15. Sejam A e B dois eventos independentes. Prove que o complementar
de A e o complementar de B sa˜o tambe´m eventos independentes.
16. Numa amostra constitu´ıda por 100 indiv´ıduos foram obtidos os resul-
tados apresentados no quadro seguinte:
com bronquite sem bronquite
fumante 40 20
nao fumante 10 30
1. Diga justificando os eventos ”ser fumante” e ”ter bronquite” sa˜o
independentes.
2. Calcule aprobabilidade de um individo que e´ fumante ter bronquite.
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17. Uma certa doenc¸a aparece em cerca de uma pessoa em cada mil numa
dada populac¸a˜o. Po˜e se em funcionamento um certo programa para
detectar a presenc¸a da doenc¸a, sendo utilizado um aparelho que mostra
a presenc¸a da doenc¸a em 99 por cento para uma pessoa com a doenc¸a
e em cinco por cento para uma pessoa sem essa doenc¸a. Pretende se
saber qual e´ a probabilidade de que uma pessoa com um teste positivo
tenha realmente a doenc¸a.
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